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2016三轮——考前体系通关(苏教版文科):猜想31



猜想 31 数列问题 【例题】 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 Sn+1=pSn+q(p,q 为常数,n∈N*),a1=2,a2=1,a3=q-3p. (1)求 p,q 的值; (2)求数列{an}的通项公式; Sn-m 2m (3)是否存在正整数 m,n,使 < 成立?若存在, Sn+1-m 2m+1 求出所有符合条件的有序实数对(m,n);若不存在,说明理 由.

思路分析 根据条件建立方程组求解(1);将前n项和转化为 通项,再利用等比数列的通项公式求解(2);利用等比数列的 前n项求和公式化简不等式,根据不等式的结构特点利用正 整数的条件解不等式. 解 ? ?S2=pa1+q, (1)由题意,知? ? ?S3=pS2+q, ? ?3=2p+q, 即? ? ?3+q-3p=3p+q, 1 ? ?p= , 解之得? 2 (4 分) ? ?q=2. 1 (2)由(1)知,Sn+1= Sn+2, 2 1 当 n≥2 时,Sn=2Sn-1+2, 1 ①-②得,an+1=2an(n≥2),(6 分) ① ② 1 1 又 a2=2a1,所以 an+1=2an(n∈N*),所以{an}是首项为 2,公比为 1 1 2的等比数列,所以 an=2n-2.(8 分) ? 1? 2?1-2n? ? ? ? 1? =4?1-2n?, ? ? (3)由(2)得,Sn= 1 1-2 Sn-m 2m 由 < ,得 Sn+1-m 2m+1 ? 1? 4?1-2n?-m 2n?4-m?-4 2m 2m ? ? < m ,即 n < m ,(10 ? ? 1 2 + 1 2 ? 4 - m ? - 2 2 + 1 ? 1 - + 4? n 1 ? ?-m 2 ? ? 分) 2 1 即 n > m ,因为 2m+1>0,所以 2n(4-m)>2, 2 ?4-m?-2 2 +1 所以 m<4,且 2<2n(4-m)<2m+1+4,(*),因为 m∈N*, 所以 m=1 或 2 或 3.(12 分) 当 m=1 时,由(*)得,2<2n×3<8,所以 n=1; 当 m=2 时,由(*)得,2<2n×2<12,所以 n=1 或 2; 当 m=3 时,由(*)得,2<2n<20,所以 n=2 或 3 或 4, 综上, 存在符合条件的所有有序实数对(m, n)为: (1,1), (2,1), (2,2), (3,2),(3,3),(3,4).(16 分) 反思点评 1.求解数列的通项公式时,应该先根据已知条件 确定数列的性质,然后通过条件的灵活变形构造或者直接转 化为等差、等比数列的通项公式问题进行求解,所以要熟练 掌握等差、等比数列的定义及其性质,才能简化运算过程. 2 .数列求和问题的关键是数列通项公式的求解,数列求和 的方法取决于其通项公式的形式,基本思路是将其转化为等 差、等比数列的求和问题进行求解. 【训练】 已知数列{xn}和{yn}的通项公式分别是 xn=an 和 yn=(a+1)n+b(n∈N*). (1)当 a=3,b=5 时, ①试问 x2,x4 分别是数列{yn}中的第几项? * ②记 cn=x2 ,若 c 是数列 { y } 中的第 m 项 ( k , m ∈ N ),试问 n k n ck+1 是数列{yn}中的第几项?请说明理由; (2)对给定自然数 a≥2, 试问是否存在 b∈{1,2}, 使得数列{xn} 和{yn}有公共项?若存在, 求出 b 的值及相应的公共项组成的 数列{zn};若不存在,说明


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