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空间向量与立体几何.板块五.用空间向量解柱体问题(2).学生版



板块五.用空间向量解柱体问 题(2)

典例分析
【例1】 如图, 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AC ? BC ,AA1 ? AB ,D 为 BB1 的中点,E 为 AB1 上的一点, AE ? 3EB1 .
C C1

B A

D B1 E A1

⑴ 证明: D

E 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线; ⑵ 设异面直线 AB1 与 CD 的夹角为 45? ,求二面角 A1 ? AC1 ? B1 的大小.

【例2】 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 AA1C1C ? 底面 ABC , AA1 ? A1C ? AC ? 2 ,
AB ? BC ,

且 AB ? BC , O 为 AC 中点. ⑴ 证明: AO ? 平面 ABC ; 1 ⑵ 求直线 A1C 与平面 A1 AB 所成角的正弦值; ⑶ BC1 上是否存在一点 E ,使得 OE // 平面 A1 AB ,若不存在,说明理由;若存在, 在 确定点 E 的位置.

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【例3】 如图,已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 , ?ACB ? 90? , E 是棱 CC1 上动点, F 是 AB

中点 , AC ? BC ? 2 , AA1 ? 4 .
⑴ 求证: CF ? 平面 ABB1 ; ⑵ E 是棱 CC1 中点时,求证: CF ∥ 当 平面 AEB1 ; ⑶ 在棱 CC1 上是否存在点 E , 使得二面角 A ? EB1 ? B 的大小是 45? , 若存在, CE 求 的长,若不存在,请说明理由.
C1

A1 E

B1

C

A

F

B

【例4】 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 侧棱与底面垂直,?ABC ? 90 ,AB ? BC ? BB1 ? 2 ,
?

M , N 分别是 AB , AC 的中点. 1
⑴ 求证: MN ∥ 平面 BCC1 B1 ; ⑵ 求证: MN ? 平面 A1 B1C ; ⑶ 求二面角 M ? B1C ? A1 的余弦值.
A M B C

N

A1 B1 C1

【例5】 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,每个侧面均为正方形, D 为底边 AB 的中点,

E 为侧棱 CC1 的中点.
⑴ 求证: CD ? 平面 A1 EB ;
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⑵ 求证: AB1 ? 平面 A1 EB ; ⑶ 求直线 B1 E 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值.
A1 B1 E C1

A D B

C

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