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15-16学年初三第一学期期中考数学试题卷及答案



2015—2016 学年第一学期期中考试 九年级数学
(全卷共 4 页,三大题,25 小题;满分 150 分;考试时间 120 分钟)
友情提示:所有答案都必须填涂在答题卡上,答在本试卷上无效.

班级________座号______姓名__________
一、选择题(共 10 小题,每题 3 分,满分 30 分;每小题只有一个

正确的选项,请在答题 卡的相应位置填涂) 1.已知 x=1 是一元二次方程 x +x+m=0 的一个解,则 m 的值是( A.-2 B.2 C.0 或 1
2



D.0 或-1.

2.随着人们生活水平的提高,我国拥有汽车的居民家庭也越来越多,下列汽车标志中, 是中心对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

3.如图 1,AB 是⊙O 的直径,CD 为弦,CD⊥AB 于 E,则下列结论中 不一定成立的是( A.∠COE=∠DOE ) B.CE=DE C.OE=BE
⌒ ⌒ D.CB =BD

图1

4.已知圆的半径等于 5cm,点 P 到圆心的距离为 5cm,判断点 P 与圆的位置关系是( A.不能确定
2



B.点 P 在圆内

C.点 P 在圆外 )

D.点 P 在圆上

5.用配方法解方程 x ? 2 x ? 5 ? 0 时,原方程应变形为( A. ? x ? 1? ? 6
2

B. ? x ? 2 ? ? 9
2

C. ? x ? 2 ? ? 9
2

D. ? x ? 1? ? 6
2

6.如图 2,点 A、B、C 在⊙O 上,∠AOC=70° , 则∠ABC 的度数为( A.10° B.20° ) C.35° D.55° 图2
第 1 页(共 4 页)

7.二次函数 y=x 的图象是(

2

)

A.

B.

C.

D. )

8.如图 3,图形旋转一定角度后能与自身重合,则旋转的角度可能是( A.300 B.600 C.900
2

D.1200 ) 图3 D.开口向上, 顶点坐标 (?5, 3)

9.对于抛物线 y= ?2 ? x ? 5 ? ? 3 ,下列说法正确的是( A.开口向下, 顶点坐标 (5, 3) B.开口向上, 顶点坐标 (5, 3)

C.开口向下, 顶点坐标 (?5, 3)

10.如图 4,P 是⊙O 外一点,OP 交⊙O 于点 A,OA=AP.甲、乙两人想作一条通过点 P 与⊙O 相切的直线,其作法如下. 甲:以点 A 为圆心,AP 长为半径画弧,交⊙O 于点 B,则 直线 BP 即为所求。 乙:过点 A 作直线 MN⊥OP:以点 O 为圆心,OP 为半径画弧, 交射线 AM 于点 B,连接 OB,交⊙O 于点 C,直线 CP 即为所求。 图4 对于甲、乙两人的作法,下列判断正确的是( ) A.甲正确,乙错误
2

B.乙正确,甲错误

C.两人都正确

D.两人都错误

二、填空题(共 6 小题,每题 4 分,满分 24 分) 11.将抛物线 y=2x 向上平移 3 个单位长度,得到的抛物线的解析式是____________. 12.如图 5,在⊙O 中,OC⊥弦 AB 于点 C,AB=4,OC=1,则 OB 的长是 .

13.如图 6,⊙O 是△ABC 的内切圆,其切点分别为 D、E、F,且 BD=3,AE=2,则 AB= .

图5

图6 .

14.点 P(3,5)关于原点对称的点的坐标为

图7

15.二次函数 y ? x 2 ? 2 x ? 4 与 y 轴的交点坐标为 __________. 16.如图 7,在△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 CB, CA 分别相交于点 E,F,则线段 EF 长度的最小值是 。
第 2 页(共 4 页)

三、解答题(请注意写出合理的步骤.,共 9 小题,满分 96 分) 17. (每小题 6 分,共 12 分)解方程: (1) x ? x ?1? ? 2 ? x ?1? (2) x ? 2 x ? 3 ? 0
2

(用公式法求解,否则无分)
2

18. (本小题 8 分)已知关于 x 的方程 x +(2k-1)x+4=0 有两个相等的实数根,求 k 的值. 19 .(本小题 9 分)已知抛物线的图象经过点 A(3,-2)和 B(1,0),且对称轴是直 线 x=3,求这条抛物线的解析式. 20.(本小题 9 分)如图,在 Rt ? ABC 中, ? BAC= 90 ,将 ? ABC 绕点 A 顺时针旋转
?

90? 后得到 ? A B ?C ? (点 B 的对应点是点 B ? ,点 C 的对应点是点 C ? ),连接 C C ? 。若

? C C ? B ? = 32? ,求 ? B 的度数?

21 . ( 本小题 9 分 ) 在平面直角坐标系中, 已知 ?AOB 三个顶点的坐标分别为 A(?3,0), O ? 0,0? , B(?3,4) . ①画出 ?AOB ; ②画出 ?AOB 绕点 O 顺时针旋转 90° 后得到的 AOB 1 1, 注 意 标 明 对 应 字 母 , 并填出 A 1, B 1 的坐标。

解: A1 (



)

B1 (



)

22.(本小题 11 分)某商店决定购进一批某种衣服,若商店以每件 60 元卖出, 售价-进价 × 盈利率为 20﹪.( 盈利率= 100﹪ ) 进价 (1)试求这种衣服的进价。(2)商店决定试销售这种衣服时,每件售价不低于进价,又不 高于每件 70 元,若试销中销售量 y(件)与销售单价 x(元)的之间的关系可近似看作满足 一次函数 y ? ? x ? 100 , 问当销售单价定为多少元时,商店销售这种衣服的利润最大?
第 3 页(共 4 页)

23.(本小题 11 分)如图, ⊙O 是 Rt△ ABC 的外接圆, ?ACB ? 90 ,点 O 在 AB 上,
0

OC . DB ? AB , OD ∥ AC , 点 B 是垂足, 连接 CD ,
(1)求证: ?COD ? ?BOD (2)求证: CD 是 ⊙O 的切线. (3)若 ⊙O 的半径为 8cm , ?A ? 60 ,求 CD 的长.
?

24.(本小题 13 分)已知抛物线 C : y ? x ? ?m ? 1?x ? 1 与 x 轴只有一个交点.
2

(1)求 m 的值; (2) m ? 0 时,抛物线 C 向下平移 n?n ? 0? 个单位后,再作关于 y 轴的轴对称变换得 (3)m<0 时,抛物线 C 的顶点为 M ,且过点 P?? 2, y0 ? ,连接 OP,问在抛物线上 是否存在一点 Q ,使以点 Q 和 O、M、P 中任意两点构成的三角形与△ OPM 的 面积相等?如果存在,求出点 Q 的坐标,如果不存在,请说明理由. 25. (本小题 14 分)如图,已知抛物线 y ? ax2 ? b 的图像经过 A(4 , 4) 和 B(0 , ? 4) , 点C 是 到抛物线 C1 ,并且 C1 过点 ?n,3? ,求 C1 的函数关系式;

x 轴上的一个动点.
(1) 求抛物线的解析式; (2) 当点 C 在以 AB 为直径的圆上,求点 C 的坐标; (3) 将点 A 绕 C 点逆时针旋转 90 得到点 D ,当点 D 落 所有满足条件的点 C 的坐标.
0

在抛物线的图像上,请求出

九年级数学参考答案
第 4 页(共 4 页)

一、选择题: 1.A 二、填空题 11. y=2x +3 15.(0,4) 三、解答题:
2

2.B

3.C 4.D

5.D 6.C 7.B 8.C 9.A 10.C

12 . 16. 4 .8

5

13.5

14 . (-3,-5)

17. (每小题 6 分,共 12 分)(1) x ? x ?1? ? 2 ? x ?1? 解: x ? x ?1? ? 2 ? x ?1? ? 0 -----2 分

? x ? 2?? x ?1? ? 0
? x ? 2 ? 0 , x ?1 ? 0 解得 x1 ? 2
(2) 解 : a= 1 X= b=2

-----4 分

x2 ? ?1 -----6 分
c= -3 -----4 分

?2?

2

2

? 4 ? 1 ? (?3)

2 ?1

X 1 =-3,x 2 =1--- --6 分 18. ( 8 分 ) 解:∵方程 x 2 ? (2m ? 1) x ? 4 ? 0 有两个相等的实数根, ∴△= (2m ? 1)2 ? 16 ? 0 .-----4 分 解得 m=

3 5 ,或 m= ? .-----8 分 2 2

19. ( 9 分 ) 解 : ? 对称轴是直线 x=3,且点 A 的横坐标是 3 ? 点 A(3,-2)是抛物线的顶点---3 分

? 设这个二次函数的解析式为 y ? a( x ? 3)2 ? 2 ,---5 分
将 B(1,0)代入 y ? a(x ? 3) 2 ? 2 ,得 a(1 ? 3)2 ? 2 ? 0 -------6 分 ∴a=

1 ,-------8 分 2

1 ( x ? 3) 2 ? 2 -------9 分 2 20. ( 9 分 ) 解 : 由 旋 转 的 性 质 可 知 , AC= AC , -- ---2 分
∴这个函数的解析式为 y ?

? ?CAC,
? ?CC, B,

? 90

0

,可知 ? CAC, 为等腰直角三角形,则 ?C CA ? 45 -----5 分
0

,

? 32

0

??C, B, A ? ?C,CA ? ?CC, B,

? 45 ? 32 ? 77

0

0

0

-----7 分

? ?B ? ?C, B, A -----8 分 ? ?B ? 770 -----9 分
第 5 页(共 4 页)

21. (9 分) ①略 …… 3 分 解: A 1( 22. , ) (

②略…… 7 分 , ) …… 9 分 11 分 )

B1 (

(2)? y ? ? x ? 100

23.(11 分)(1)∵OD//AC, ∴∠COD=∠ACO, ∠CAO=∠BOD ∵OA=OC, ∴∠ACO=∠CAO, ∴∠COD=∠BOD…… 4 分 (2)又∵OD=OD,OC=OB,∠COD=∠BOD ∴△COD≌△BOD∴∠OCD=∠OBD 又∵ BD ? AB ∴∠OCD=∠OBD =90° ∴OC⊥CD,OB 为半径,即 CD 是 ⊙O 的切线…… 7 分 (3)∵△COD≌△BOD,得 CD ? BD , ∵BD⊥AB ∴∠OBD=90° ∵OD//AC ∴∠DOB=∠A=60°∴∠ODB=30° ∵OB=8,∴OD=16 在 Rt△OBD 中 由勾股定理得,BD=8 3 ∴CD=8 3 …… 11 分 24. (本小题 13 分)
2

解 : 由 题 意 ? ? ?? ?m ? 1?? ? 4 ? 0 , 解 得 m ? 1 或
第 6 页(共 4 页)

m ? ?3 .…3 分

(2)当 m ? 0 时, m ? 1 ,抛物线 C 为 y ? x 2 ? 2 x ? 1 . 向下平移 n?n ? 0? 个单位后得到 y ? x2 ? 2x ? 1 ? n , ∴由对称性可知抛物线 C1 : y ? x 2 ? 2 x ? 1 ? n .…………………………………4 分 ∵ C1 过点 ?n,3? ,∴ n 2 ? 2n ? 1 ? n ? 3 , 即 n 2 ? n ? 2 ? 0 . …………………… 5 分 解得 n1 ? 1, n2 ? ?2 (由题意 n ? 0 ,舍去),∴ n ? 1 . ∴抛物线 C1 : y ? x 2 ? 2 x . ························ 6 分 (3)存在. ································ 7 分 当 m<0 时, m ? ?3 ,抛物线 C : y ? x 2 ? 2x ? 1 ? ?x ? 1? ,顶点 M ?? 1,0? .
2

∵过点 P?? 2, y0 ? ,∴ y0 ? 1 ,∴ P?? 2,1? . ①当 PQ∥OM 时, S?OMQ ? S?OPM ,

················ 8 分

由对称性可知点 Q1 的坐标是(0,1). ···················· 9 分 ②当 OQ∥PM 时, S?PQM ? S?OPM 直线 PM 的解析式为 y ? ? x ? 1 ,所以直线 OQ 的解析式为 y ? ? x . 解方程组 ?

? y ? x 2 ? 2x ? 1 ?3? 5 3? 5 ,求出点 Q 的坐标分别是 Q2 ( , ), 2 2 ?y ? ?x

?3? 5 3? 5 , ). · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 2 2 ③当 MQ∥OP 时, S?OPQ ? S?OPM

Q3 (

直线 OP 的解析式为 y ? ?

1 1 1 x ,所以直线 MQ 的解析式为 y ? ? x ? . 2 2 2

? y ? x 2 ? 2x ? 1 ? 解方程组 ? 1 1 ,求出点 Q 的坐标分别是 y ? ? x ? ? 2 2 ? 3 1 ( ? , ). 2 4
综上所述,存在符合条件的点共有 4 个,分别为

Q3
x

y

Q1 (0,1)、 Q2 (

?3? 5 3? 5 Q1 P , )、 2 2 Q2 O Q4 M x 3 1 ?3? 5 3? 5 , )、 Q4 ( ? , ). · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 Q3 ( x 2 4 2 2 x

x

25(本小题 14 分).解: (1)∵抛物线 y =ax2 +b 的图像经过点 A(4,4)和点 B(0,-4), y
第 7 页(共 4 页)

A

M

1 ? ?16a +b=4 ? a= 2 ∴? ,解得: ? , ? b= ? 4 ?b = ? 4 ?

∴抛物线的解析式为: y = 1 x 2 ? 4 ;…………3 分 2 (2)过点 A 作 AE⊥x 轴于 E,连接 AB 交 x 轴于点 E, ∴OB=AE=4,∠MOB=∠AEM=90° ,∠OMB=∠AME ∴△OMB≌△EMA,…………………………………………… 4 分 ∴ MB ? MA ,OM=ME= 1 OE ? 2 ,………………………………………… 5 分 2 ∴以 M 为圆心,MB 为半径的⊙M,即为以 AB 为直径的圆.………………6 分 根据勾股定理得 MB ? OM 2 +OB2 ? 22 +42 ? 2 5 ,……………………7 分 ∴点 C 的坐标为 (2 ? 2 5,0) , (2+2 5,0) .…………………………………8 分 (3)如图 2,当点 C 在点(4,0)的右侧时, 作 AE⊥x 轴于 E,DF⊥x 轴于 F, ∵△ACD 为等腰直角三角形, ∴AC=DC,∠ACD=90° ,即∠ACF+∠DCF=90° , ∵∠FDC+∠DCF=90° ,∴∠ACF=∠FDC, 又∵∠DFC=∠AEC=90° , ∴△DFC≌△CEA,……………………………9 分 ∴EC=DF,FC=AE, ∵A(4,4),∴AE=OE=4, ∴FC=OE,即 OF+EF=CE+EF, ∴OF=CE,∴OF=DF,…………………………10 分 当点 C 与点(4,0)的重合时,点 D 与原点重合;…11 分 当点 C 在点(4,0)的左侧时(如图 3),同理可得 OF=DF;…12 分 ∴综上所述,点 D 在直线 y ? ?x 的图像上. 设点 C 的坐标为(m,0), 则点 D 的坐标为(m-4,4-m), · · · · · · · · · · · · · 13 分 又∵点 D 在抛物线 y = 1 x 2 ? 4 的图像上, 2
第 8 页(共 4 页)

y
A D

F

O

C

E

x

B
图3

∴ 4 ? m ? 1 ? m ? 4? ? 4 , 2
2

m2 =6 , 解得: m1 =0,

∴当点 C 的坐标为(6,0)或(0,0)时, 点 D 落在抛物线 y = 1 x 2 ? 4 的图像上. · · · · · · · · · · · 14 分 2

第 9 页(共 4 页)



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