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方程的根与函数的零点-说课稿



各位评委老师, 各位同事, 下午好! 我是来自林州市实验中学杨少勇, 今天我说课的题目是 《方 程的根与函数的零点》第一课时,选自人教版《普通高中课程标准实验教科书》A 版必修 1 第三章 第一节。下面我将从教材分析、教学目标分析、重难点分析、教法与学法分析、教学过程设计、板 书设计六个方面来进行阐述。 【教材分析】 就整个数学而言,函数是打开整个数学宝库的一把钥匙,原因之一在于函数与其他知识具有广 泛的联系性,而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的 联系在一起。 就本节课而言,它着重阐述了两个方面,一是零点的概念,二是零点存在性定理。它是在学生 学习了基本初等函数及其相关性质, 具备初步数形结合的能力基础之上, 进一步讨论零点的概念和 寻求某个区间上存在零点的方法,而且又为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习作了充分 的准备。 因此本节内容具有承前启后的作用,地位至关重要. 【教学目标分析】 根据本节课的地位,我制定如下的三维教学目标: 知识与技能目标:理解方程的根与函数零点之间的关系,学会函数零点存在的判定方法,理解利 用函数单调性判断函数零点的个数。 过程与方法目标:经历“类比——归纳——应用”的过程,培养学生分析问题探究问题的能力, 感悟由具体到抽象的研究方法,培养学生的归纳概括能力。 能力与情感目标:培养学生自主探究,合作交流的能力,激发学生的学习兴趣并培养学生严谨的 科学态度。 【重难点分析】 根据本节课的地位和教学目标,我制定的如下的重点和难点 教学重点:判定函数零点的存在及其个数的方法。 教学难点:探究发现函数零点的存在性,及利用函数的图像和性质判别函数零点的个数。 【教法分析和学法指导】 结合本节课的教学目标、重难点和学生的认知水平,我决定采用以下教法和学法: 在教法上,我借助多媒体和几何画板软件,采用“启发—探究—讨论”的教学模式。充分发挥 教师的主导作用,引导、启发、充分调动学生学习的主动性,让学生真正成为教学活动的主体。 在学法上,我体会到 “授人以鱼,不如授人以渔” ,因此我以培养学生探究精神为出发点, 着眼于知识的形成和发展,注重学生的学习体验,精心设置一个个问题链,并以此为主线,由浅入 深、循序渐进,给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的舞台。 【教学过程】 为了突出重点,突破难点,在教学上我将用九个环节来达成我的教学目标。 第一环节:牛刀小试、新知引入
问题 1: 求方程 x2-2x-3=0 的实数根,画出函数 y=x2-2x-3 的图象;并观察他们之间的联系? 学生通过观察分析易得:方程 x2-2x-3=0 的实数根就是 y=x2-2x-3 的图象与 x 轴的交点 横坐标。

[设计意图说明]以学生熟悉二次函数图象和二次方程为平台, 观察方程和函数形式上的联系, 从而得
到方程实数根与函数图象之间的关系,很自然的引入零点的概念。

初步提出零点的概念:-1、3 既是方程 x2-2x-3=0 的根,又是函数 y=x2-2x-3 在 y=0 时 x 的值,也是 函数图象与 x 轴交点的横坐标。-1、3 在方程中称为实数根,在函数中称为零点。

问题 2:对于一般的一元二次函数和相应方程,这种关系是否成立? 几何画板动画演示 [设计意图说明]由特殊到一般,利用几何画板,学生从动态的角度体会方程的根与函数的零点之 间的关系。 引出函数零点的定义。 零点的定义:对于函数 y ? f ( x) ,我们把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点。

方程 f ( x) ? 0 有实数根

函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点

函数 y ? f ( x) 有零点。

问题 3: (学生独立完成)求下列函数的零点
(1) f ( x) ? 3x ? 2 ; (2) f ( x) ? x 2 ? 5x ? 6 ; (3) f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 .

对于(1) (2)两小题,学生容易求得函数零点,而第(3)小题学生则意识 到无论用代数还是几何方法入手,在不借助计算机作图的前提下,不易求得函数 零点。 [设计意图说明]借助这个练习题既巩固检测了学生对知识点的掌握情况,又引发学生认知冲 突,引出本节课题,为新课的教学作好铺垫 首先重温《小马过河的故事》 第二环节:生活实例、创设情境 问题 4(观察下列两组画面,请你推断一下哪一组一定能说明小马已经成功过河?)





不同的学生可能有不同的答案,但大部分学生会发现第Ⅰ组能说明它已经成功地渡过河, 而第Ⅱ组中它就不一定渡过河。

[设计意图说明] 从日常生活情境出发,通过动画演示,激发学生学习兴趣,让学生体会动与静的 关系。 接着进入 第三环节:抽象实例、合情推理 追问学生 问题 5:将河流抽象成 x 轴,将小马前后的两个位置抽象为 A、B 两点。请问当 A、B 与 x 轴满足怎样的位置关
系时 AB 间的一段函数图象与 x 轴会有交点?并画出函数图像

通过类比,学生不难发现只要满足 A、B 两点在 x 轴的两侧这种位置关系就可以达到要求。同 时这种位置关系可以用 f(a)·f(b)<0 来表示。 [设计意图说明] 将现实生活中的问题抽象成数学模型,进行合情推理,同时由原来的图形语言 抽象成数学语言,再转换成函数图像。培养学生的观察能力和提取有效信息的能力。体验语言转化 的过程。

随后进入 第四环节:组织探究、归纳结论 问题 6:结合图像,试用恰当的语言表述如何判断函数在某个区 间上是否存在零点? 学 生 容 易 表 述 为 : 如 果 函 数 y ? f ( x) 在 区 间 ?a, b? 上 有
f (a) ? f (b) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内有零点。

y

0

a

b

x

[设计意图说明]结合函数零点的定义,启发学生自主发现函数零点的判定方法,培养学生自 主探究和归纳创造的能力。

针对问题 6 的回答,我继续追问, 问题 7:仅满足 f (a) ? f (b) ? 0 可以确定有零点吗?
1 , x 强调判定方法的条件——图像是连续不断的一条曲线。

从而,引导学生构造反例: f ( x) ?

[设计意图说明] 让学生体验从现实生活中抽象成数学模型时, 需要一定修正。 同时问题设计层层 递进,有助于学生理解概念,学生经历总结方法,发现缺陷,完善方法的过程,有利于学生对知识 的理解和掌握,也培养了学生归纳概括能力。
通过上述探究,学生可以自己概括出零点存在定理: 一般地,我们有:

如果函数 y ? f ( x) 在区间 ?a, b? 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么,函数

y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内有零点,即存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根.

第五环节:知识应用、解决疑难 问题 8:请学生解决问题 3 中的第三小题: 已知函数 f(x)=㏑ x+2x -6 试确定零点所在的区间?此区间唯一吗? [设计意图说明]学生能够初步应用零点存在定理来判断函数零点的存在性问题。 本题可以使学生意识到零点的区间是不唯一的,为下一节二分法求方程的近似解奠定基础 第六环节:讨论辨析、提高认识 结合零点的存在定理,分组讨论: (1)函数具备了哪些条件,就可确定它有零点存在呢? (2)若函数 f(x) 在区间 ?a, b? 内有零点,一定能得出 f(a)·f(b)<0 的结论吗? (3)如果函数具备上述两个条件时,函数零点的个数是惟一吗? (4)在什么样的条件下,就可确定零点的个数呢? [设计意图说明]这四个问题对学生而言存在一定的挑战,但对定理的理解却至关重要,通过 教师的设问让学生进一步全面深入地领悟定理的内容。 同时鼓励学生相互之间合作交流, 培养学生 的合作学习的能力。 讨论结束后,请学生先阐述他们的讨论结果,并引导学生分析条件的作用,结合特殊图象来帮 助学生理解,将抽象的问题转化为直观的图形加以解决,体现了数形结合的思想。 在第四小问中只要加上函数单调性的条件即可保证零点有且仅有一个, 为利用单调性判定函数 零点的个数打下基础。 第七环节:题组练习、双基落实
练习 1:在下列哪个区间内,函数 f(x)= x3+x-1 一定有零点( ) A、(-1,0) B、(0,2) C、(1,2) D、(2,3) 练习 2:已知函数 f(x)的图象是连续不断的, 且有如下的 x,f(x)对应值表:

那么该函数在区间[1,6]上至少有( A、5 B、 4 C、 3 D、2

)个零点.

[设计意图说明]立足教材, 选取难易适当且适量的习题, 给学生提供一个完整的运用知识的平台, 从而帮助学生进一步落实基本知识,提高基本能力。 第八环节:归纳小结、培养能力 1、函数的零点的定义 2、方程的根与函数零点的等价关系

3、函数零点的判断方法: ①方程法 ②图象法 ③定理法 4、函数零点的存在性定理 5、体会函数与方程和数形结合的思想 [设计意图说明]小结是一堂课的概括和总结,有利于优化学生的认知结构,能把课堂所学的知识 与方法较快转化为学生的素质,也更进一步培养学生的归纳概括能力。 第九环节:课后作业,自主学习 [设计意图说明]课后作业将围绕课堂的重点,适当适量的布置,且在层次上逐层深化,帮助学 生进一步理解相关的知识与方法,利于拓展学生的自主发展的空间

最后我展示下我的板书设计。

§3.1.1 方程的根与函数的零点
一、三个等价关系.
问题 1:……

分组讨论: (1)…
多 媒 体 演 示

二、零点的存在性定理 …… 问题 2:……

(2)… (3)… (4)…

以上是我对本节课粗浅的认识和想法,恳请各位评委老师给予指正,谢谢。 三、零点存在且唯一

[ a, b]上连续 ? f ( x)在区间 ? ? f ( a ) ? f (b) ? 0 ? f ( x)单调函数 ?
问题 3:……

已知函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 (1)…… (2)……



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