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【轻松突破120分】2014高考数学精炼20 文



2014 高考数学(文)轻松突破 120 分 20
一、选择题

(

x 16y 2 1.双曲线 - 2 =1 的左焦点在抛物线 y =2px(p>0)的准线上,则该双曲线的离心率为 3 p ) 4 A. B. 3 3
C. 2 3 3
2

2

2

D.4

解析: 由题意得 c=

p p c 2 2 3 3+ = ,p=4,所以 e= = = .故选 C. 16 2 a 3 3

答案: C 2.若双曲线过点(m,n)(m>n>0),且渐近线方程为 y=±x,则双曲线的焦点( ) A.在 x 轴上 B.在 y 轴上 C.在 x 轴或 y 轴上 D.无法判断是否在坐标轴上 解析: ∵m>n>0, ∴点(m,n)在第一象限且在直线 y=x 的下方, 故焦点在 x 轴上. 答案: A x2 y2 3 x2 y2 3.若椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,则双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为( ) a b 2 a b 1 A.y=± x B.y=±2x 2 1 C.y=±4x D.y=± x 4

a2-b2 3 2 2 = ,所以 a =4b . a 2 x2 y2 故双曲线的方程可化为 2- 2=1, 4b b
解析: 由题意 1 故其渐近线方程为 y=± x. 2 答案: A

x → → → → 4. 设 F1、 F2 是双曲线 -y2=1 的两个焦点, 点 P 在双曲线上, 且PF1?PF2=0, 则|PF1|?|PF2 4 |的值为( ) A.2 B.2 2 C.4 D.8 2 2 2 2 2 解析: 由题意知:|PF1| +|PF2| =(2c) ,所以(|PF1|-|PF2|) +2|PF1|?|PF2|=4c , 2 2 2 得到|PF1|?|PF2|=2(c -a )=2b =2,故选 A. 答案: A → → 5. 已知双曲线的焦点分别为 F1(-5,0)、 F2(5,0), 若双曲线上存在一点 P 满足|PF1|-|PF2 |=8,则此双曲线的标准方程为( )
A. C. - =1 16 9 - =1 64 36

2

x2 x2

y2

B. - =1 9 16 D. - =1 4 3
2 2

x2

y2

y2

x2 y2

x y → → 解析: 由焦点在 x 轴上,可设此双曲线的标准方程为 2- 2=1.由|PF1|-|PF2|=8 得 a a b

-1-

=4,又 c=5,从而 b =c -a =9. 所以双曲线的标准方程为 - =1.故选 A. 16 9 答案: A 6.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F1(- 5,0),点 P 位于该双曲线上,线段 PF1 的中点坐标为(0,2),则双曲线的方程是( ) A. -y =1 4 C. - =1 2 3

2

2

2

x2

y2

x2

2

B.x - =1 4 D. - =1 3 2

2

y2

x2 y 2

x2 y2

解析: 由 PF1 中点为(0,2)知,PF2⊥x 轴,P( 5,4),即 =4,b =4a,∴5-a =4a,

b2 a

2

2

y2 a=1,b=2,双曲线方程为 x2- =1,故选 B.
4 答案: B 二、填空题

x2 y2 3 7.若双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=± x,则该双曲线的焦点坐标是________. 4 m 2
解析: 由于该双曲线的焦点在 x 轴上,所以 a=2,b= m,由渐近线方程为 y=± 得 m=3,这时 c= 4+3= 7,故焦点坐标为( 7,0),(- 7,0). 答案: ( 7,0),(- 7,0) 8.已知过点 P(-2,0)的双曲线 C 与椭圆 + =1 有相同的焦点,则双曲线 C 的渐近线 25 9 方程是________. 解析: 由题意,双曲线 C 的焦点在 x 轴上且为 F1(-4,0), F2(4,0),∴c=4. 又双曲线过点 P(-2,0),∴a=2. 2 2 ∴b= c -a =2 3, ∴其渐近线方程为 y=± x=± 3x. 答案: 3x±y=0 3 x 2

x2

y2

b a

9.双曲线 - =1 上一点 P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项, 16 9 则 P 点到左焦点的距离为________. 解析: 由 a=4,b=3,得 c=5,设左焦点为 F1,右焦点为 F2, 1 则|PF2|= (a+c+c-a)=c=5, 2 由双曲线的定义得|PF1|=2a+|PF2|=8+5=13. 答案: 13 三、解答题 10.已知椭圆 D: + =1 与圆 M:x +(y-5) =9,双曲线 G 与椭圆 D 有相同焦点,它 50 25 的两条渐近线恰好与圆 M 相切,求双曲线 G 的方程. 解析: 椭圆 D 的两个焦点 F1(-5,0),F2(5,0), 因而双曲线中心在原点,焦点在 x 轴上, 且 c=5.

x2

y2

x2

y2

2

2

x2 y2 a b 2 2 ∴渐近线为 bx±ay=0 且 a +b =25,

设双曲线 G 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0)

-2-

圆心 M(0,5)到两条渐近线的距离为 r=3. |5a| ∴ 2 =3,得 a=3,b=4, b +a2 ∴双曲线 G 的方程为 - =1. 9 16

x2

y2

11.如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,F1、F2 分别为左、右焦点,双 π 曲线的左支上有一点 P,∠F1PF2= ,且△PF1F2 的面积为 2 3,又双曲线的离心率为 2,求该 3 双曲线的方程. ?【解析方法代码 108001112】

x2 y2 a b F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0). 在△PF1F2 中,由余弦定理,得:

解析: 设双曲线方程为: 2- 2=1(a>0,b>0),

π 2 2 2 |F1F2| =|PF1| +|PF2| -2|PF1|?|PF2|?cos 3 2 =(|PF1|-|PF2|) +|PF1|?|PF2|. 2 2 即 4c =4a +|PF1|?|PF2|. 又∵S△PF1F2=2 3. 1 π ∴ |PF1|?|PF2|?sin =2 3. 2 3 2 2 2 ∴|PF1|?|PF2|=8.∴4c =4a +8,即 b =2. c 2 2 又∵e= =2,∴a = . a 3 2 2 3x y ∴双曲线的方程为: - =1. 2 2

12.如图,直线 l:y= 3(x-2)和双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)交于 A,B 两点, 且|AB| = 3,又 l 关于直线 l1:y= x 对称的直线 l2 与 x 轴平行. (1)求双曲线 C 的离心率; (2)求双曲线 C 的方程.?【解析方法代码 108001113】 解析: (1)设双曲线 C: 2- 2=1 过一、三象限的渐近线 l1: - =0 的倾斜角为 α . 因为 l 和 l2 关于 l1 对称,记它们的交点为 P. 而 l2 与 x 轴平行,记 l2 与 y 轴交点为 Q 点. 依题意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α . 又 l:y= 3(x-2)的倾斜角为 60°,则 2α =60°,

x2 y2 a b

b a

x2 y2 a b

x y a b

-3-

所以 tan30°= =
2 2

b a

3 . 3

c b 1 4 2 3 2 于是 e = 2=1+ 2=1+ = ,所以 e= . a a 3 3 3 b 3 x2 y2 (2)由 = ,于是设双曲线方程为 2- 2=1, a 3 3k k 2 2 2 即 x -3y =3k . 2 2 2 2 2 2 2 2 将 y= 3(x-2)代入 x -3y =3k 中得 x -3?3(x-2) =3k .化简得到 8x -36x+36+3k
=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= 1+3|x1-x2|=2 ? 2 2 36 -4?8?? 36+3k ? =2 8 = 9-6k = 3,求得 k =1. 故所求双曲线方程为 -y =1. 3
2 2

x1+x2?

2

-4x1x2

x2

2

-4-



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