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函 数 解 析 式 的 七 种 求 法(学生)



函 数 解 析 式 的 七 种 求 法
一、 待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。
例1 设 f ( x) 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ,求 f ( x)

二、 配凑法:已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式,求 f ( x) 的解析式, f [g (x)] 的表达式容易配成 g

( x) 的运
算形式时,常用配凑法。但要注意所求函数 f ( x ) 的定义域不是原复合函数的定义域,而是 g ( x) 的值域。 例 2 已知 f ( x ?

1 1 ) ? x 2 ? 2 ( x ? 0) ,求 f ( x) 的解析式 x x

三、 换元法:已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式时,还可以用换元法求 f ( x) 的解析式。与配凑法一样,要注
意所换元的定义域的变化。 例 3 已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ? 1)

四、代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。
例 4 已知:函数 y ? x ? x与y ? g ( x) 的图象关于点 (?2,3) 对称,求 g ( x) 的解析式
2

五、构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程
组求得函数解析式。 例 5 设 f ( x)满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? x, 求 f ( x)

1 x

例 6 设 f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数,又 f ( x) ? g ( x) ?

1 , 试求 f ( x)和g ( x) 的解析式 x ?1

六、赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,
使问题具体化、简单化,从而求得解析式。 例 7 已知: f (0) ? 1 ,对于任意实数 x、y,等式 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 恒成立,求 f ( x)

七、递推法:若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代
等运算求得函数解析式。 例 8 设 f ( x) 是 定 义 在 N ? 上 的 函 数 , 满 足 f (1) ? 1 , 对 任 意 的 自 然 数 a , b 都有

f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? ab ,求 f ( x)



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