函 数 解 析 式 的 七 种 求 法(学生)

函 数 解 析 式 的 七 种 求 法
一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设 f ( x) 是一次函数，且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ，求 f ( x)

二、 配凑法：已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式，求 f ( x) 的解析式， f [g (x)] 的表达式容易配成 g ( x) 的运
算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数 f ( x ) 的定义域不是原复合函数的定义域，而是 g ( x) 的值域。 例 2 已知 f ( x ?

1 1 ) ? x 2 ? 2 ( x ? 0) ，求 f ( x) 的解析式 x x

三、 换元法：已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式时，还可以用换元法求 f ( x) 的解析式。与配凑法一样，要注
意所换元的定义域的变化。 例 3 已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ，求 f ( x ? 1)

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例 4 已知：函数 y ? x ? x与y ? g ( x) 的图象关于点 (?2,3) 对称，求 g ( x) 的解析式
2

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程
组求得函数解析式。 例 5 设 f ( x)满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? x, 求 f ( x)

1 x

例 6 设 f ( x) 为偶函数， g ( x) 为奇函数，又 f ( x) ? g ( x) ?

1 , 试求 f ( x)和g ( x) 的解析式 x ?1

六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，
使问题具体化、简单化，从而求得解析式。 例 7 已知： f (0) ? 1 ，对于任意实数 x、y，等式 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 恒成立，求 f ( x)

七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代
等运算求得函数解析式。 例 8 设 f ( x) 是 定 义 在 N ? 上 的 函 数 ， 满 足 f (1) ? 1 ， 对 任 意 的 自 然 数 a , b 都有

f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? ab ，求 f ( x)