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2015-2016学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 18空间向量的数量积运算课时作业 新人教A版选修2-1


课时作业(十八)

空间向量的数量积运算

A 组 基础巩固 1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,有下列命题: → → → 2 →2 → → → → → ①(AA1+AD+AB) =3AB ;②A1C·(A1B1-A1A)=0;③AD1与A1B的夹角为 60°.其中正确命 题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.0 → → 解析:①,②均正确;③不正确,因为AD1与A1B夹角为 120°. 答案:B 2.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,点 E,F 分别是 BC,AD 的中点, → → 则AE·AF的值为( ) 1 2 1 2 3 2 2 A.a B. a C. a D. a 2 4 4 → → 1 → → 1→ 1 → → → → 解析:AE·AF= (AB+AC)· AD= (AB·AD+AC·AD) 2 2 4 1 1? 1 2 1? = ?a×a× +a×a× ?= a . 2 2? 4 4? 答案:C 3.已知四边形 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,连接 AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向 量中,数量积不为零的是( ) → → → → A.PC与BD B.DA与PB → → → → C.PD与AB D.PA与CD → → 解析:可用排除法.因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥CD,PA·CD=0,排除 D.又因为 AD → → → → ⊥AB,所以 AD⊥PB,所以DA·PB=0,同理PD·AB=0,排除 B,C,故选 A. 答案:A → → → → → → 4.设 A,B,C,D 是空间中不共面的四点,且满足AB·AC=0,AC·AD=0,AB·AD=0, 则△BCD 是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 → → → → → → → → → → → → →2 →2 解析:BC·BD=(AC-AB)·(AD-AB)=AC·AD-AC·AB-AB·AD+AB =AB >0, → → → → 同理,可证CB·CD>0,DB·DC>0. 所以△BCD 的每个内角均为锐角,故△BCD 是锐角三角形. 答案:B 5.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,对角线 AC1 和 BD1 相交于点 O,则有( )

→ → 2 A.AB·A1C1=2a → → 2 B.AB·AC1= 2a → → 1 2 C.AB·AO= a 2
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→ → 2 D.BC·DA1=a → → → 1 → 1→ → → → 解析:∵AB·AO=AB· AC1= AB·(AB+AD+AA1) 2 2 1 →2 → → → → 1→2 1 → 2 1 2 = (AB +AB·AD+AB·AA1)= AB = |AB| = a . 2 2 2 2 答案:C 6.在空间四边形 OABC 中,OB=OC,∠AOB=∠AOC= 1 2 1 B. C.- 2 2 2 解析:如图所示, A. D.0 → → π ,则 cos〈OA,BC〉的值为( 3 )

→ → → → → → → → → ∵OA·BC=OA·(OC-OB)=OA·OC-OA·OB → → → → =|OA||OC|·cos∠AOC-|OA|·|OB|·cos∠AOB=0, → → → → → → π ∴OA⊥BC,∴〈OA,BC〉= ,cos〈OA,BC〉=0. 2 答案:D 7.设向量 a 与 b 互相垂直,向理 c 与它们构成的角是 60°,且|a|=5,|b|=3,|c|=8, 则(a+3c)·(3b-2a)=__________. 2 解析:(a+3c)·(3b-2a)=3a·b-2|a| +9b·c-6a·c=-62. 答案:-62 → → → → → 8.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量AB,AD,AA1两两夹角均为 60°,且|AB|=1,|AD → → |=2,|AA1|=3,则|AC1|=________. → → → → 解析:由于AC1=AB+AD+AA1, → 2 → → → 2 ∴|AC1| =(AB+AD+AA1) = → 2 → 2 → 2 → → → → → → |AB| +|AD| +|AA1| +2(AB·AD+AB·AA1+AD·AA1) 1 1 1? ? 2 2 2 =1 +2 +3 +2?1×2× +1×3× +2×3× ? 2 2 2? ? → =25,故|AC1|=5. 答案:5 9.已知 a,b 是异面直线,A、B∈a,C、D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且 AB=2,CD=1,则 a, b 所成的角是________. → → → → 解析:AB=AC+CD+DB, → → → → → → → 2 ∴CD·AB=CD·(AC+CD+DB)=|CD| =1, → → → → CD·AB 1 ∴cos〈CD,AB〉= = , → → 2 |CD||AB| ∴异面直线 a,b 所成角是 60°. 答案:60°
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B 组 能力提升 10.已知非零向量 a,b,c,若 p= + + ,那么|p|的取值范围( ) |a| |b| |c| A.[0,1] B.[1,2] C.[0,3] D.[1,3] ? a + b + c ? 2 = 3 + 2 ? a·b + a·c + c·b ? ≤3 + 2×3 = 9 , ∴ 2 解析:p =? ? ?|a||b| |a||c| |c||b|? ?|a| |b| |c|? ? ? 0≤|p|≤3. 答案:C 11.在四面体 OABC 中,棱 OA、OB、OC 两两垂直,且 OA=1,OB=2,OC=3,G 为△ABC → → → → 的重心,则OG·(OA+OB+OC)=________. → → → → → → 解析:由已知OA·OB=OA·OC=OB·OC=0, → → → → OA+OB+OC 且OG= , 3 → → → → → 2 → 2 1 1 → → → 2 1 → 2 14 故OG·(OA+OB+OC)= (OA+OB+OC) = (|OA| +|OB| +|OC| )= (1+4+9)= . 3 3 3 3 14 答案: 3 12.如图,正四面体 V-ABC 的高 VD 的中点为 O,VC 的中点为 M.

a

b

c

(1)求证:AO,BO,CO 两两垂直; → → (2)求〈DM,AO〉 . → → → 解:(1)证明:设VA=a,VB=b,VC=c,正四面体的棱长为 1, → 1 → 1 则VD= (a+b+c),AO= (b+c-5a), 3 6 → 1 → 1 BO= (a+c-5b),CO= (a+b-5c), 6 6 → → 1 1 2 所以AO·BO= (b+c-5a)·(a+c-5b)= (18a·b-9|a| ) 36 36 1 = (18×1×1×cos60°-9)=0, 36 → → 所以AO⊥BO,即 AO⊥BO. 同理,AO⊥CO,BO⊥CO. 所以 AO,BO,CO 两两垂直. → → → 1 1 1 (2)解:DM=DV+VM=- (a+b+c)+ c= (-2a-2b+c), 3 2 6 → 所以|DM|= → 又|AO|=

?1?-2a-2b+c??2=1. ?6 ? 2 ? ? ?1?b+c-5a??2= 2, ?6 ? 2 ? ?
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→ → 1 1 1 DM·AO= (-2a-2b+c)· (b+c-5a)= , 6 6 4 1 4 → → 2 所以 cos〈DM,AO〉= = . 2 1 2 × 2 2 → → → → π 又〈DM,AO〉∈[0,π ],所以〈DM,AO〉= . 4 13.如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长为 2.

(1)设侧棱长为 1,求证:AB1⊥BC1; π (2)设 AB1 与 BC1 的夹角为 ,求侧棱的长. 3 解: → → → → → → (1)证明:AB1=AB+BB1,BC1=BB1+BC. → → → → ∵BB1⊥平面 ABC,∴BB1·AB=0,BB1·BC=0. → → → → π 2π 又△ABC 为正三角形,∴〈AB,BC〉=π -〈BA,BC〉=π - = . 3 3 → → → → → → → → → → →2 → → ∵AB1·BC1=(AB+BB1)·(BB1+BC)=AB·BB1+AB·BC+BB1 +BB1·BC → → → → →2 =|AB|·|BC|·cos〈AB,BC〉+BB1 =-1+1=0, ∴AB1⊥BC1. → → → → → → →2 →2 (2)由(1)知AB1·BC1=|AB|·|BC|·cos〈AB,BC〉+BB1 =BB1 -1. → →2 → 2 →2 → 又|AB1|= AB +BB1 = 2+BB1 =|BC1|, → → → BB12-1 1 ∴cos〈AB1,BC1〉= = , →2 2 2+BB1 → ∴|BB1|=2,即侧棱长为 2. 14.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线 AC 将△ACD 折起,使 AB 与 CD 成 60°角,求此时 B,D 间的距离.

→ → 解析:∵∠ACD=90°,∴AC·CD=0. → → 同理AC·BA=0. ∵AB 与 CD 成 60°角,
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→ → → → ∴〈BA,CD〉=60°或〈BA,CD〉=120°. → → → → 又BD=BA+AC+CD, → 2 → 2 → 2 → 2 → → → → → → → ∴|BD| =|BA| +|AC| +|CD| +2BA·AC+2BA·CD+2AC·CD=3+2×1×1×cos〈BA, →

CD〉
→ → → 2 ∴当〈BA,CD〉=60°时,|BD| =4,此时 B,D 间的距离为 2; → → → 2 当〈BA,CD〉=120°时,|BD| =2, 此时 B,D 间的距离为 2.

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