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立体几何 (2)



立体几何测试题
一.填空题(共 70 分,14 题,每题 5 分) 1.下列命题中,正确序号是 ①经过不同的三点有且只有一个平面②分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 ③垂直于同一个平面的两条直线是平行直线④垂直于同一个平面的两个平面平行 2.如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图, 则这个平面图形的面 积是 . ′ y

-

2

O



x



3.给出四个命题:①线段 AB 在平面 ? 内,则直线 AB 不在 ? 内;②两平面有一个公共点, 则一定有无数个公共点;③三条平行直线共面;④有三个公共点的两平面重合. 其中正确命 题的个数为 4、直线 AB、AD ? α,直线 CB、CD ? β,点 E∈AB,点 F∈BC,点 G∈CD,点 H∈DA, 若直线 EH∩直线 FG=M,则点 M 在 上 / / / / 5、设棱长为 1 的正方体 ABCD-A B C D 中,M 为 AA/的中点,则直线 CM 和 D/D 所成的角 的余弦值为 . 6、若平面?//?,直线 a? ?,直线 b ??,那么直线 a,b 的位置关系是 7. 已知 ABCD ? A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,求: (1)异面直线 AA1 与 BC 所成的角为( (2)求异面直线 BC1 与 AC 所成的角( ) ) D 8、对于直线 m、 n 和平面 ?、?、γ ,有如下四个命题: A B C D1 A1 B1 C1

(1) 若 m // ? , m ? n , 则 n ? ? , (2) 若 m ? ? , m ? n , 则 n // ? (3) 若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? // ? , ( 4) 若 m ? ? , m ? ? , 则 ? ? ?
其中正确的命题的个数是 9、点 p 在平面 ABC 上的射影为 O,且 PA、PB、PC 两两垂直,那么 O 是△ABC 的 10、如图 BC 是 Rt⊿ABC 的斜边,过 A 作⊿ABC 所在 平面?垂线 AP,连 PB、PC,过 A 作 AD⊥BC 于 D, 连 PD,那么图中直角三角形的个数 个 ??
A C D B P



11、如果规定: x ? y , y ? z ,则 x ? z 叫做 x , y , z

关于等量关系具有传递性,那

么空间三直线 a , b , c 关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系中具有传递性的是 ___________. 12.如果 OA ‖ O1 A1 , OB ‖ O1 B 1 ,那么 ?AOB 与 ?AO 1 1B 1( )

13.OX,OY,OZ是空间交于同一点O的互相垂直的三条直线,点P到这三条直线的距离分别 为3,4,7,则OP长为_______. 14. ? 、 ? 是两个不同的平面, m 、 n 是平面 ? 及 ? 之外的两条不同直线,给出四个论断: ①m⊥n ②? ⊥ ? ③n⊥? ④ m ⊥?

以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个 命题: .. _________________________. 二.解答题(共 90 分) 15. (14 分)已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点. 求证: (1)C1O∥面 AB1D1 ; (2 ) A1C ? 面 AB1D1 .

D1 A1 D O A B B1

C1

C

16. (15 分)如图,正三棱柱 ABC-- A1 B1C1 中(地面是正三角形,侧棱垂直于地面) ,D 是 BC 的中点,AB = a . (1) 求证: A1 D ? B1C1 (2) 判断 A 1 B 与平面 ADC 1 的位置关系,并证明你的结论 C1 A1 B1

C

D A

B

17. (15 分 ) 如 图 , 在 多 面 体 ABCDE 中 , AE ? 面 ABC , BD ∥ AE , 且

AC ? AB ? BC ? BD ? 2 , AE ? 1 , F 为 CD 中点. (1)求证:EF// 平面 ABC; (2)求证: EF ? 平面 BCD

D

E F A B C

18.(15 分) 如图, PA ? 矩形 ABCD 所在平面, M , N 分别是 AB 和 PC 的中点. (1)求证: MN // 平面 PAD; (2)求证: MN ? CD; (3)若 ?PDA ? 45 , 求证: MN ? 平面 PCD.
M B C P

A

N

D

19. (15 分)如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD , AD⊥BD,点 E , F 分别是 AB , BD 的中点. 求证: (Ⅰ)直线 EF∥平面 ACD; (Ⅱ)平面 EFC⊥平面 BCD. B

F D E

C
20.(16 分)如图甲,在直角梯形 PBCD 中,PB∥CD,CD⊥BC,BC=PB=2CD,A 是 PB 的中点. 现沿 AD 把平面 PAD 折起,使得 PA⊥AB(如图乙所示) ,E、F 分别为 BC、AB 边的 中点. (Ⅰ)求证:PA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求证:平面 PAE⊥平面 PDE; (Ⅲ)在 PA 上找一点 G,使得 FG∥平面 PDE. P P

A

A

D

A F B E 图乙 C

D

B

图甲

C

立体几何测试题答案
1. ③ 2. 2 1 个 9.垂心 3. 1 个 4.BD 5. 1/3 6. 平行或异面 10. 8 个 11.平行 13. 37 7. (1) 90 ? (2) 60 ? 8.

12. 相等或互补

14. m?? , n?? , ??? ? m?n 或

m?n, m?? , n?? ? ??? .
15. 提示:连接 A1C1 交 B1D1 与点 O1。 16. (1) 略证: 由 A1A⊥BC,AD⊥BC,得 BC⊥平面 A1AD,从而 BC⊥A1D,又 BC∥B1C1, 所以 A1D⊥BC. (2)平行. 略证: 设 A1C 与 C1A 交于点 O,连接 OD,通过证 OD 是△A1CB 的中位线,得出 OD∥A1B, 从而 A1B⊥平面 A1CD.

17. 取 BC 的中点 M,连接 AM、FM,根据已知结合平面几何知识易证. 18. 证明: (1)取 PD 的中点 E , 连 EN . 由 EN

1 CD , AM 2

1 CD 2

得 EN

AM , ? AMNE 是平行四边形, ? MN // AE .

又 AE ? 平面 PAD, MN ? 平面 PAD, ? MN // 平面 PAD. (2) 又

PA ? 平面 AC , ? PA ? AB, 又 AB ? AD, ? AB ? 平面 PAD,

AB // CD, ? CD ? 平面 PAD, 则 CD ? AE , 再由 MN // AE 得: MN ? CD.
(3)在等腰 Rt△PAD 中,

E 是 PD 的中点, ? AE ? PD , 由 MN // AE ,

? MN ? PD, 又由 MN ? CD, PD

CD ? D, 得 MN ? 平面 PCD.

19. 证明: (Ⅰ)∵E、F 分别是 AB、BD 的中点, ∴EF 是△ ABD 的中位线 ∴ EF∥AD 又∵EF ? 面 ACD,AD ? 面 ACD, ∴直线 EF∥面 ACD (Ⅱ)∵AD⊥BD, EF∥AD, ∴EF⊥BD, ∵CB = CD, F 是 BD 的中点 , ∴CF⊥BD 又 EF ? CF=F, ∴BD⊥面 ECF, ∵BD ? 面 BCD, ∴面 EFC⊥面 BCD 20. 解: (Ⅰ)证明:因为 PA⊥AD, PA⊥AB, AB ? AD=A,所以 PA⊥平面 ABCD. (Ⅱ)证明:因为 BC=PB=2CD, A 是 PB 的中点,所以 ABCD 是矩形,

又 E 为 BC 边的中点,所以 AE⊥ED. 又由 PA⊥平面 ABCD, 得 PA⊥ED, 且 PA ? AE=A, 所以 ED⊥平面 PAE, 而 ED ? 平面 PDE,故平面 PAE⊥平面 PDE. (Ⅲ)过点 F 作 FH∥ED 交 AD 于 H,再过 H 作 GH∥PD 交 PA 于 G, 连结 FG. 由 FH∥ED, ED ? 平面 PED, 得 FH∥平面 PED; 由 GH∥PD,PD ? 平面 PED,得 GH∥平面 PED, 又 FH ? GH=H,所以平面 FHG∥平面 PED.所以 FG∥平面 PDE. 再分别取 AD、PA 的中点 M、N,连结 BM、MN, 易知 H 是 AM 的中点,G 是 AN 的中点, 从而当点 G 满足 AG=

1 AP 时,有 FG∥平面 PDE. 4

P N G A F B E H M C D



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