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圆锥曲线与方程测试和答案



椭圆与双曲线

圆锥曲线与方程
第Ⅰ卷(选择题

测试(1)
共 60 分)

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是最符合题目要求的.)
1.椭圆 x 2 ? my2 ? 1的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的

值为( A. )

1 4

B.

1 2

C. 2

D. 4

x2 y 2 ? ? 1 的焦点到渐近线的距离为( 2.双曲线 4 12
A 2 3 B 2 C



3

D 1

3. 已知双曲线

4 x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则双曲线的离心率为( 2 3 a b
B.



A.

5 3

4 3

C.

5 4

D.

3 2

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ,则 P 到另一焦点距离为 4.已知椭圆 25 16
( ) A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 )

5.动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线

6.中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距等于 6,离心率等于

3 ,则椭圆的方程是( 5

)

x2 y2 ? ?1 A. 100 36

x2 y2 ? ?1 B. 100 64

x2 y2 ? ?1 C. 25 16

x2 y2 ? ?1 D. 25 9
)

6) 且与双曲线 7.焦点为 (0,

x2 ? y 2 ? 1 有相同的渐近线的双曲线方程是( 2
C.

A.

y2 x2 ? ?1 12 24

B.

y2 x2 ? ?1 24 12

x2 y2 ? ?1 24 12

D.

x2 y2 ? ?1 12 24

7

椭圆与双曲线

8.若椭圆的短轴为 AB ,它的一个焦点为 F1 ,则满足 △ABF1 为等边三角形的椭圆的离心率 是( A. )

1 4

B.

3 2

C.

2 2

D.

1 2
)

9.以双曲线 ?3x2 ? y 2 ? 12 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆的方程是(

A.

x2 y2 ? ?1 16 12

B.

x2 y2 ? ?1 16 4

C.

x2 y2 ? ?1 12 16

D.

x2 y2 ? ?1 4 16

10.双曲线的虚轴长为 4,离心率 e ?

6 , F1 . F2 分别是它的左.右焦点,若过 F1 的直线与双曲 2
)

线的左支交于 A.B 两点,且 | AB | 是 | AF2 | 与 | BF2 | 的等差中项,则 | AB | 等于( A. 8 2 B. 4 2 C. 2 2 D.8.

11.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( 7 ,0) ,直线 y ? x ? 1 与其相交于 M , N 两点,

MN 中点横坐标为 ?

2 ,则此双曲线的方程是( 3
B

)

x2 y2 ? ?1 A 3 4

x2 y2 ? ?1 4 3

x2 y2 ? ?1 C 5 2

x2 y2 ? ?1 D 2 5

12.若直线 m x ? ny ? 4 和⊙O∶ x 2 ? y 2 ? 4 没有交点,则过 (m, n) 的直线与椭圆

x2 y2 ? ? 1 的交点个数( 9 4
A.至多一个 B.2 个

) C.1 个 D.0 个

7

椭圆与双曲线

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上.)
13.双曲线 2x 2 ? y 2 ? m 的一个焦点是 (0, 3 ) ,则 m 的值是__________. 14.过点 A(2,1) 可以作______条直线与双曲线 x ?
2

y2 ? 1 有且只有一个公共点. 4

15.在 ?ABC 中, AB ? BC , cos B ? ? 率 e ? ________

7 ,若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C,则该椭圆的离心 18

x2 y2 ? ? 1 上的弦被点 A(4,2) 平分,那么这条弦所在的直线方程是_______ 16.如果椭圆 36 9

三.解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) 17.已知椭圆两焦点坐标分别是 F1 (0, ?2) , F2 (0, 2) ,并且经过点 M ( ? 标准方程.

3 5 , ) ,求椭圆的 2 2

18.椭圆

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆与直线 x ? 2 y ? 8 ? 0 相交于点 P, Q , 2 a b 2

且 PQ ? 10 ,求椭圆的方程.

19.设椭圆 C:

3 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (0,4) ,离心率为 , 2 5 a b 4 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5

(1)求椭圆 C 的方程. (2)求过点 (3,0) 且斜率为

y2 x2 ? ? 1的两个焦点,M 是双曲线上一点,且 MF 20. F1.F2 是 双曲线 1 ? MF 2 ? 32 , 9 16
求三角形△F1MF2 的面积.

7

椭圆与双曲线

x2 y 2 21. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b

的离心率为

6 ,右焦点为 (2 2,0) 3

.斜率为

1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P (?3, 0) . (1)求椭圆 G 的方程; (2)求 ? PAB 的面积.

22. 已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1),焦点在 x 轴上.若右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距 离为 3. (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆与直线 y ? kx ? m (k ? 0) 相交于不同的两点 M.N.当 AM ? AN 时,求 m 的取值范围.

圆锥曲线与方程测试(1)答案
一.选择题 AAABC CABDA DB 二. 13.-2 14.2 条 15.3/8 16。 x ? 2 y ? 8 ? 0

17:依题意,设所求椭圆方程为

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

9 ? 25 ?a 2 ? 10 3 5 ? 2 ? 2 ?1 因为点 M ( ? , ) 在椭圆上,又 c ? 2 ,得 ? 4a 解得 4b ? 2 2 2 2 2 ?b ?6 ? a ? b ? 4 ?
故所求的椭圆方程是

y 2 x2 ? ?1 10 6

7

椭圆与双曲线

18.解: e ?

c 3 3 ,则 c ? ? a .由 c2 ? a 2 ? b2 ,得 a 2 ? 4b2 . a 2 2

? x2 y2 , ? 2 ? 2 ?1 由 ? 4b 消去 x ,得 2 y 2 ? 8 y ? 16 ? b2 ? 0 . b ? ? x ? 2 y ? 8 ? 0,
由根与系数关系,得 y1 ? y2 ? ?4 , y1 y2 ?
2

16 ? b2 . 2

PQ ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? 5( y1 ? y2 ) 2 ? 5[( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ? 10 ,
即 5[16 ? 2(16 ? b2 )] ? 10 ,解得 b ? 9 ,则 a ? 36 .
2

2

所以椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 36 9

x2 y2 ? ?1 19. ?1? 25 16 6 ?2( ? 3, ? ) 2 5
20. 解:由题意可得双曲线的两个焦点是 F1(0,-5).F2(0,5) , 由双曲线定义得: MF1 ? MF2 ? 6 ,联立 MF 得 1 ? MF 2 ? 32
MF1
2

+ MF2 2 =100= F1 F2

2



所 以 △ F1MF2 是 直 角 三 角 形 , 从 而 其 面 积 为

S= 1 MF1 ? MF 2 ? 16
2

21.解:(1)由已知得 c ? 2 2,

c 6 解得 ? a 3



所以椭圆 G 的方程为

x2 y 2 ? ?1 12 4

(2)设直线

的方程为

? y ? x?m ? 由 ? x2 y 2 得 ?1 ? ? ?12 4
7



椭圆与双曲线

? ?? 0. ? m 2 ?16
设 A.B 的坐标分别为 AB 中点为 E ,





因为 AB 是等腰△ PAB 的底边,所以 PE⊥AB.所以 PE 的斜率

m 4 ? ?1 k? 3m ?3 ? 4 2?
解得 m=2.此时方程①为 所以 所以|AB|= . 的距离 解得

此时,点 P(—3,2)到直线 AB:

所以△ PAB 的面积 S=

1 9 AB ? d ? 2 2

x2 2 22.解:(1)依题意可设椭圆方程为 2 ? y ? 1 ,则右焦点 F( a 2 ? 1,0 )由题设 a
a2 ?1 ? 2 2 2

x2 ? y2 ? 1 . ? 3 ,解得 a ? 3 ,故所求椭圆的方程为 3
2

x2 ? y 2 ? 1 (2) 设 3

P

为 弦

MN

的 中 点 , 由

? y ? kx ? m ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 ?3

, 得

(3k 2 ? 1) x 2 ? 6mkx? 3(m2 ? 1) ? 0
由于直线与椭圆有两个交点,? ? ? 0, 即 m ? 3k ? 1
2 2

①,

? xp ?

m xM ? x N 3m k ,从而 y p ? kx p ? m ? , ?? 2 3k 2 ? 1 2 3k ? 1
yp ?1 xp ?? m ? 3k 2 ? 1 ,又 AM ? AN ,? AP ? MN ,则 3mk
7

? k Ap ?

椭圆与双曲线

?

m ? 3k 2 ? 1 1 2 ? ? ,即 2m ? 3k ? 1 3m k k



2 2 把②代入①得 2m ? m 解得 0 ? m ? 2 ,由②得 k ?

2m ? 1 1 ? 0 ,解得 m ? . 3 2

故所求 m 的取范围是(

1 ,2 ) 2

7



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