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高中数学选修2-3 《排列》1


选修 2-3
一、选择题

1.2.1.1 排列 1

1[答案] A[解析] 由题意得,共有 A4=1680 种不同的参赛方案. 8 2. [答案] C[解析] 解法 1: (15-m)(16-m)…(20-m)=(20-m)(19-m)……[(20-m)-6+1]=A6 -m. 20 解法 2:特值法.令 m=14 得 1×2×3×4×5×6=A6.∴选 C. 6 3[答 案] B[解析] 5 个人全排列有 5!=120 种、A 在 B 左边和 A 在 B 右边的情形一样多,∴不同排 1 法有 ×120=60 种. 2 4[答案] B[解析] 从全部方案中减去只选派男生的方案数,合理的选派方案共有 A3-A3=186(种), 7 4 选 B. 5.[答案] C[解析] 安排 4 名司机有 A4种方案,安排 4 名售票员有 A4种方案.司机与售票员都安排 4 4 好,这件事情才算完成,由分步乘法计数原理知共有 A4A4种方案. 4 4 6.[答案] A[解析] 对于两个大站 A 和 B,从 A 到 B 的火车票与从 B 到 A 的火车票不同,因为每张 车票对应于一个起点站和一个终点站.因此,每张火车票对应于从 6 个不同元素(大站)中取出 2 个元素(起 点站和终点站)的一种排列. 所以问题归结为求从 6 个不同元素中每次取出 2 个不同元素的排列数 A2=6×5 6 =30 种.故选 A. 7 [答案] B[解析] 2 位老师作为一个整体与 5 名学生排队,相当于 6 个元素排在 6 个位置,且老师 不排两端,先安排老师,有 4A2=8 种排法,5 名学生排在剩下的 5 个位置,有 A5=120 种,由分步乘法计 2 5 数原理得 4A2×A5=960 种排法. 2 5 8.[答案] B[解析] 可在 1、2、3、4、…、8 中任取两个作为 m、n,共有 A2=96 种方法;可在 9、 8 10 中取一个作为 m,在 1、2、…、8 中取一个作为 n,共有 A1A1=16 种方法,由分类加法计数原理,满 2 8 足条件的椭圆的个数为:A2+A1A1=72. 8 2 8 9.[答案] C[解析] 三本书逐本插入书架上,第 1 本可插放在原来 6 本书之间和两端的 7 个位置之 一处,有 7 种插法.第 1 本书插入后,书架上有 7 本书,所以第二本书有 8 种插法.同样, 第 3 本书有 9 种插法.所以插法总数为 9×8×7.故选 C. 10[答案] D[解析] 将 4 个空车位视为一个元素, 8 辆车共 9 个元素进行全排列, 与 共有 A9=9A8种. 9 8 二、填空题 11.1!+2!+3!+…+100!的个位数字为________.[答案] 3[解析] k≥5 时,k!的个位数字 都是 0.故只须考察 1!+2!+3!+4!的个位数字即可.∵1!+2!+3!+4!=1+2+6+24=33.∴个 位数字为 3.

?x +y =3, ?2 2 12 . 方 程 组 ?y +z =4, ?z2+x2=5. ?

2

2

有 ________ 组 解 . [ 答 案 ]

8[ 解 析 ]

?x +y =3, ?2 2 由 方 程 组 ?y +z =4, ?z2+x2=5. ?

2

2

可得

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?x =2, ?2 ?y =1, ?z2=3. ?

2

因此在{ 2,- 2},{1,-1},{ 3,- 3}中各取一个即可构成方程组的一组解,由分步乘

法计数原理共有 2×2×2=8 组解. 13 [答案] 252[解析] 分两步完成:第一步安排三名主力队员有 A3种,第二步安排另 2 名队员,有 3
3 A2种,所以共有 A3· 2=252(种). A7 7

14. [答案] 5 760[解析] 第一步,水彩画可以在中间,油画、国画放在两端,有 A2种放法; 2 第二步,油画内部排列,有 A4种; 4 第三步,国画内部排列,有 A5种. 5 由分步乘法计数原理,不同的陈列方式共有 A2A5A4=5 760(种). 2 5 4 三、解答题 1 2 3 n 15.求和: + + +…+ . 2! 3! 4! (n+1)! k+1-1 k+1 k 1 1 1 [解析] ∵ = = - = - , (k+1)! (k+1)! (k+1)! (k+1)! k! (k+1)! 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴原式=?1-2!?+?2!-3!?+?3!-4!?+…+?n!-(n+1)!?=1- . ? ? ? ? ? ? ? ? (n+1)! 16.从 2、3、5、7 四个数中任取两个数作为对数的底数和真数,可得多少个不同的对数?将它们列 举出来,其中有几个大于 1?
2 [解析] 有 A4=12 个不同对数,它们是 log23,log25,log27,log35,log3 7,log32,log57,log52,log53,

log72,log73,log75 其中大于 1 的有 6 个. 17.(1)有 3 名大学毕业生,到 5 个招聘雇员的公司应聘,若每个公司至多招聘一名新雇员,且 3 名大 学毕业生全部被聘用,若不允许兼职,共有多少种不同的招聘方案? (2)有 5 名大学毕业生,到 3 个招聘雇员的公司应聘,每个公司只招聘一名新雇员,并且不允许兼职, 现假定这 3 个公司都完成了招聘工作,问共有多少种不同的招聘方案? [解析] (1)将 5 个招聘雇员的公司看作 5 个不同的位置,从中任选 3 个位置给 3 名大学毕业生,则本 题即为从 5 个不同元素中任取 3 个元素的 排列问题,所以不同的招聘方案共有 A3=5×4×3=60(种). 5 (2)将 5 名大学毕业生看作 5 个不同的位置,从中任选 3 个位置给 3 个招聘雇员的公司,则本题仍为从 5 个不同元素中任取 3 个元素的排列问题,所以不同的招聘方案共有 A3=5×4×3=60(种). 5 18.用 1、2、3、4、5、6、7 这 7 个数字组成没有重复数字的四位数. (1)这些四位数中偶数有多少个?能被 5 整除的有多少个? (2)这些四位数中大于 6500 的有多少个? [解析] (1)偶数的个位数只能是 2、4、6 有 A1种排法,其它位上有 A3种排法,由分步乘法计数原理 3 6 知共有四位偶数 A1· 3=360 个;能被 5 整除的 数个位必须是 5,故有 A3=120 个. 3 A6 6
3 (2)最高位上是 7 时大于 6500,有 A6种,最高 位上是 6 时,百位上只能是 7 或 5,故有 2×A2种.∴ 5 2 由分类加法计数原理知,这些四位数中大于 6500 的共有 A3+2A5=160 个. 6

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