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(试题1)2.2直线、平面平行的判定及其性质


2.2 直线、平面平行的判定及其性质 第 1 题. 求证:空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面. 已知:如图,空间四边形 ABCD 中, E , F 分别是 AB , AD 的中点.

A F E D B C

求证: EF ∥ 平面BCD . 答案:证明:连接 BD , 因为 AE = EB , AF = FD , 所以 EF ∥ BD (三角形中位线的性质) . 因为 EF ? 平面BCD , BD ? 平面BCD , 由直线与平面平行的判定定理得 EF ∥ 平面BCD .

第 2 题. 平面 α 与平面 β 平行的条件可以是( A. α 内有无穷多条直线都与 β 平行



B.直线 a ∥α , a ∥ β ,且直线 a 不在 α 内,也不在 β 内 C.直线 a ? α ,直线 b ? β ,且 a ∥ β , b ∥α D. α 内的任何直线都与 β 平行

答案:D.

第 4 题. 下列命题中,错误的是( ) A.平行于同一条直线的两个平面平行 B.平行于同一个平面的两个平面平行 C.一个平面与两个平行平面相交,交线平行

D.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交 答案:A.

第 5 题. 已知直线 a ∥ 平面 α , P ∈ α ,那么过点 P 且平行于 α 的直线( A.只有一条,不在平面 α 内 B.有无数条,不一定在 α 内 C.只有一条,且在平面 α 内 D.有无数条,一定在 α 内 答案:C.



第 6 题. 已知平面 α , β 和直线 a , b , c 且 a ∥ b ∥ c , a ? α , b , c ? β 则 α 与 β 的 关系是 .

答案:平行或相交.

第 7 题. 平面内一点与平面外一点的连线和这个平面内直线的关系是 答案:异面或相交.



第 8 题. 如图,空间四边形 ABCD 中, E , F , G 分别是 AB , BC , CD 的中点, 求证: (1) BD ∥ 平面 EFG ; (2) AC ∥平面 EFG .

D G A C E B F

答案:证明: (1)因为 E , F , G 是各边中点,所以有

FG ∥ BD ? ? ? BD ∥ 平面 BD ? 平面EFG ?

EFG ;
(2)同样可证 AC ∥平面 EFG .

第 9 题. 如图, a , b 是异面直线,画出平面 α ,使 a ? α ,且 b ∥α ,并说明理由.

a

b

答案:过 a 上任一点 P 作直线 b' ,使 b' ∥ b . a 与 b' 两相交直线确定的平面为 α .

第 10 题. 如图, AB ∥α , AC ∥ BD , C ∈ α , D ∈ α . 求证: AC = BD .

A

B

α

C

D

答案:连结 CD ,

AB ∥α ? AB ∥ CD ? ? ? AC = BD . AC ∥ BD ?

第 11 题 . 如 图 , A , B , C 为 不 在 同 一 条 直 线 上 的 三 点 , AA′ ∥ BB′ ∥ CC ′ , 且 AA′ = BB′ = CC ′ , 求证:平面 ABC ∥ 平面 A'B'C' .

C' A' B'

C A B

答案:容易证明: AB ∥ A′B′ , AC ∥ A′C ′ ,进而可证平面 ABC ∥ 平面 A′B′C ′ .

过点 P 将木块锯开, 使截面平行于直线 VB 第 12 题. 一木块如图所示, P 在平面 VAC 内, 点 和 AC ,应该怎样画线?

V

P B A

C

答案:过平面 VAC 内一点 P 作直线 DE ∥ AC ,交 VA 于 D ,交 VC 于 E ;过平面 VBA 内 一点 D 作直线 DF ∥VB ,交 AB 于 F ,则 DE , DF 所确定的截面为所求.理论依据是直 线与平面平行的判定定理.

第 13 题. 如图, a , b 是异面直线, a ? α , a ∥ β , b ? β , b ∥α . 求证: α ∥ β .

b

β

α

a

答案: 证明: P 为 b 上任意一点, a 与 P 确定一平面 γ . I γ = c , ∥ a , 设 则 β c 所以 c ∥α . 又 c 与 b 有公共点 P ,且 c 与 b 不重合(否则 a ∥ b ,与已知矛盾) , 即 c 与 b 相交.由 b ∥α ,可证 α ∥ β .

第 14 题. 如图,α ∥ β ∥ γ ,直线 a 与 b 分别交 α , β , γ 于点 A , B , C 和点 D , E ,

F,
求证:

AB DE = . BC EF

a

b D

α

A

β

B

E

γ

F C

答案:连结 AF ,交 β 于 G ,连结 BG , EG ,则由 β ∥ γ 得 由α ∥ β 得

AB AG = . BC GF

AG DE AB DE = , = . GF EF BC EF

第 15 题. 若直线 a 与平面 α 内的无数条直线平行,则 a 与 α 的关系为



答案: a ∥α 或 a ? α .

第 17 题. 已知 a,b 是不共面的直线,且 a ? α,b ? β , a//β , b//α ,求证:α //β .

答案:证明:如图所示过 b 作平面 γ 与 α 相交于 c . 因为 b ∥α ,所以 b ∥ c . 又因为 a,b 是不共面的直线,所以 a,c 一定相交. 因为 b ∥ c,b ? β,c ? β ,所以 c ∥ β . 又 a ∥ β , a,c 相交,且 a ? α,c ? α ,所以 α ∥ β .

α

c

a

γ β

b

A. a ? α,b ? α,a//b B. b ? α,a//b C. b ? α,c//α,a//b,a//c D. b ? α,A ∈ a,B ∈ a,C ∈ b,D ∈ b ,且 AC = BD 答案:A.

第 18 题. 能保证直线 a 与平面 α 平行的条件是(



第 19 题. 平面 α // 平面 β ,两个 △ ABC 和 △ A?B? ?,分别在平面 α 和平面 β 内,若对应 C 顶点的连线共点,则这两个三角形 答案:相似. .

第 20 题. 下列说法正确的是(



A.直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线,则 l //α B.若直线 a ? α ,则 a//α C.若直线 a//b , b ? α ,则 a//α D.若直线 a//b , b ? α ,直线 a 就平行于平面 α 内的无数条直线

答案:D.

第 21 题. 一条直线和一个平面平行的条件是( A.直线和平面内两条平行线不相交 B.直线和平面内两条相交直线不相交 C.直线与平面内无数条直线不相交 D.直线和平面内任意直线不相交 答案:D.



第 22 题. 若空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC 、BD 的长分别是8, 过 AB 的中点 E 12, 且平行于 BD 、 AC 的截面四边形的周长为 . 答案:20

第 23 题. 在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M , N 分别是棱 A1 B1 , B1C1 的中 点, P 是棱 AD 上一点, AP =

a ,过 P , M , N 的平面与棱 CD 交于 Q ,则 3

PQ =
答案:



2 2a 3

第 24 题. 已知 m , n 是不重合的直线, α , β 是不重合的平面,有以下命题: ① 若 m ? α , n//α ,则 m//n ; ② 若 m//α , m//β ,则 α //β ; ③ 若 α I β = n , m//n ,则 m//α ,且 m//β ;

④ 若 m ⊥ α , m ⊥ β ,则 α //β . 其中真命题的个数是( A. 0 B. 1 答案:B. ) C. 2

D. 3

第 25 题. 夹在两个平行平面间的平行线段 答案:相等



E F P Q 第 26 题. 如图所示, 在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, , , , 分别是 BC , C1 D1 , AD1 , BD 的中点.
(1) 求证: PQ// 平面 DCC1 D1 . (2) 求 PQ 的长. (3) 求证: EF // 平面 BB1 D1 D .

D1 A1 P D A Q

F B1

C1

C E B

答案:证明: (1)连结 AC , CD1 .

∵ P , Q 分别为 AD1 , AC 中点,∴ PQ//CD1 .
又 CD1 ? 平面 DCC1 D1 ,∴ PQ// 平面 DCC1 D1 .

(2)由(1)中证明易知 PQ =

1 2 D1C = a. 2 2

(3)取 B1 D1 的中点 O1 ,连结 BO1 , FO1 , 则有 FO1 ∥

1 B1C1 ,∴ BE 2



FO1 .

∴四边形 BEFO1 是平行四边形.∴ EF //BO1 .
又 EF ? 平面 BB1 D1 D , BO1 ? 平面 BB1 D1 D ,∴ EF // 平面 BB1 D1 D .

D1
A1 P D A

O1

F B1

C1

C Q B E

第 27 题. 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F , G , H 分别棱是 CC1 , C1 D1 ,

D1 D , CD 的中点, N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足
时,有 MN // 平面 B1 BDD1 .

D1 A1 G D A
答案: M ∈ 线段 FH

F B1

C1

E C H B N

第 28 题. 已知 m , n 是两条不重合的直线, α , β , γ 是三个两两不重合的平面,给出下 列命题: ① 若 m//β , n//β ,且 m ? α , n ? α ,则 α //β ; ② 若 α I β = n , m//n ,则 m//α 且 m//β ; ③ 若 m ⊥ α , m//β ,则 α ⊥ β ; ④ 若 α //β ,且 γ I α = m , γ I β = n ,则 m//n . 其中的正确命题是( ) A.①③ B.①④ 答案:D.

C.②④

D.③④

第 29 题. 如图所示, P 为 ABCD 所在平面外一点, M , N 分别是 AB , PC 的中点, 平面 PAD I 平面 PBC = l . (1) 求证: BC //l . (2) MN 与平面 PAD 是否平行?试证明你的结论.

P N l D Q C

A M B
(1) 答案:由 AD//BC , AD ? 平面 PBC 得 AD// 平面 PBC ,又面 PAD I 平面

PBC = l ,∴ l //AD//BC . (2) MN // 平面 PAD .
简证如下: Q 为 CD 中点, 设 连结 MQ , QN , MQ//AD , //PD . MQ I QN = Q , 则 QN 而

∴平面 MNQ// 平面 PAD .∴ MN// 平面 PAD .

∵ a//α , a ? β .∴ a//c .同理有 b//c .
由公理 4 知 a//b ,这与 a I b = P 相矛盾.∴ β //α .

第 30 题. 若直线 m ? 平面 α 则条件甲:直线 l //α ,是条件乙: l //m 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分也不必要条件 答案:D.




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