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高考数学基础知识全面总结之函数



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高中数学第二章-函数
考试内容: 映射、函数、函数的单调性、奇偶性. 反函数.互为反函数的函数图像间的关系. 指数概念的扩充.有理指数幂的运算性质.指数函数. 对数.对数的运算性质.对数函数. 函数的应用. 考试要求: (1)了解映射的概念,理解函数的概念. (2)了解函数单调性、奇偶性的概

念,掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法. (3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系,会求一些简单函数的反函数. (4) 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质, 掌握指数函数的概念、 图像 性质. (5)理解对数的概念,掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质. (6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 和

§02. 函数 知识要点
一、本章知识网络结构:
定义 F:A ?B 反函数 映射 函数 具体函数 一般研究 图像 性质 二次函数 指数 指数函数 对数 对数函数

二、知识回顾: (一) 映射与函数

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1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素,因 为这二者确定后, 值域也就相应得到确定, 因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数 才是同一函数. 3.反函数 反函数的定义 设函数

y ? f ( x)(x ? A) 的值域是 C,根据这个函数中 x,y

的关系,用 y 把 x 表

示出,得到 x= ? (y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值,通过 x= ? (y),x 在 A 中都有唯一的 值和它对应, 那么, x= ? (y)就表示 y 是自变量, x 是自变量 y 的函数, 这样的函数 x= ? (y) (y ? C) 叫 做 函 数

y ? f ( x)(x ? A) 的 反 函 数 , 记 作 x ? f ?1 ( y) , 习 惯 上 改 写 成

y ? f ?1 ( x)
(二)函数的性质 ⒈函数的单调性 定义:对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, ⑴若当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数; ⑵若当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数. 若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格 的)单调性,这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性

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正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题: (1 )定义域在数轴上关于原点对称是函数 f ( x ) 为奇 函数或偶函数的必要不充分条件; (2) f (? x) ? f ( x) 或 f (? x) ? ? f ( x) 是定义域上的恒等式。 2 .奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函数 的图象关于 y 轴成轴对称图形。反之亦真,因此,也 可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。 3.奇函数在对称区间同增同减;偶函数在对称区间增 减性相反. 4. 如果 f ( x) 是偶函数, 则 f ( x) ? f (| x |) , 反之亦成立。 f ( 0 ) ? 0 x ? 0 若奇函数在 时有意义,则 。
7. 奇函数,偶函数: ⑴偶函数: f (? x) ? f ( x) 设( a , b )为偶函数上一点,则( ? a, b )也是图象上一点. 偶函数的判定:两个条件同时满足 ①定义域一定要关于 y 轴对称,例如: y ? x 2 ? 1 在 [1,?1) 上不是偶函数. ②满足 f (? x) ? f ( x) ,或 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,若 f ( x ) ? 0 时, ⑵奇函数: f (? x) ? ? f ( x) 设( a , b )为奇函数上一点,则( ? a ,?b )也是图象上一点. 奇函数的判定:两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称,例如: y ? x 3 在 [1,?1) 上不是奇函数. ②满足 f (? x) ? ? f ( x) ,或 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,若 f ( x ) ? 0 时,
y轴对称 8. 对称变换:①y = f(x) ?? ? ?? y ? f(? x) x轴对称 ②y =f(x) ?? ? ?? y ? ? f(x)

f ( x) ? 1. f (? x)

f ( x) ? ?1 . f (? x)

③y =f(x) ?原点对称 ?? ?? y ? ? f(? x) 9. 判断函数单调性(定义)作差法:对带根号的一定要分子有理化,例如: (x1 ? x 2) ( x1 ? x 2 ) 2 2 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x 2 1 ?b ? x 2 ?b ? 2 2 2 x x ? b ? x1 ? b2

在进行讨论. 10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.

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例如:已知函数 f(x)= 1+
B? A 合 B 之间的关系是

x 的定义域为 A,函数 f[f(x)]的定义域是 B,则集合 A 与集 1? x
.

解:f ( x) 的值域是 f ( f ( x)) 的定义域 B ,f ( x) 的值域 ? R , 故 B?R , 而 A ? ?x | x ? 1? , 故 B ? A. 11. 常用变换: ① f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ) ? f ( x ? y ) ? 证: f ( x ? y ) ?
x y f ( x) . f ( y)

f ( y) ? f ( x) ? f [( x ? y ) ? y ] ? f ( x ? y ) f ( y ) f ( x)

② f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ? f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) 证: f ( x) ? f ( ? y ) ? f ( ) ? f ( y ) 12. ⑴熟悉常用函数图象: 例: y ? 2| x| → | x | 关于 y 轴对称.



x y

x y

?1? y?? ? ? 2?
y

| x ? 2|

→y?? ? →y?? ?


?1? ? 2?
y

| x|

?1? ? 2?

| x ? 2|

y

(0,1)
x

(-2,1)
x

x



y ?| 2x 2 ? 2x ?1 | → | y | 关于 x 轴对称.

y

x

⑵熟悉分式图象: 例: y ?
2x ? 1 7 ? 定义域 {x | x ? 3, x ? R} , ? 2? x ?3 x ?3


值域 { y | y ? 2, y ? R} →值域 ? x 前的系数之比. (三)指数函数与对数函数

y

2 x 3

指数函数

y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质

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a>1
4.5

0<a<1
4.5 4

4



3.5

3.5

3

3

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1

y=1
1 0.5

y=1



0.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-4
-0.5

-3

-2

-1

1

2

3

4

-0.5

-1

-1

(1)定义域:R 性 质 (2)值域: (0,+∞) (3)过定点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)x>0 时,y>1;x<0 时,0<y<1 (5)在 R 上是增函数 (4)x>0 时,0<y<1;x<0 时,y>1. (5)在 R 上是减函数

对数函数 y=logax 的图象和性质: 对数运算:

loga ( M ? N ) ? loga M ? loga N (1) loga M ? loga M ? loga N N 1 loga M n logb N logb a

loga M n ? n loga ?? M ?12) loga n M ? a log a
N

?N

换底公式: loga N ?

推论: loga b ? logb c ? logc a ? 1 ? loga1 a2 ? loga 2 a3 ? ... ? loga n ?1 an ? loga1 an
(以上 M ? 0, N ? 0, a

? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1, c ? 0, c ? 1,a1 , a 2 ...a n ? 0且 ? 1 )

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a>1

0<a<1

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y

y=logax

a>1


O


x=1 a<1

x

(1)定义域: (0,+∞) (2)值域:R 性 质 (4) (3)过点(1,0) ,即当 x=1 时,y=0

x ? (0,1) 时 y ? 0

x ? (0,1) 时 y ? 0

x ? (1,??) 时 y>0
(5)在(0,+∞)上是增函数

x ? (1,??) 时 y ? 0
在(0,+∞)上是减函数

注⑴:当 a, b ? 0 时, log(a ? b) ? log(?a) ? log(?b) . ⑵:当 M ? 0 时,取“+” ,当 n 是偶数时且 M ? 0 时, M n ? 0 ,而 M ? 0 ,故取“—”.
2 例如: loga x ? 2 loga x ?(2 loga x 中 x>0 而 loga x 2 中 x∈R).

⑵ y ? a x ( a ? 0, a ? 1 )与 y ? loga x 互为反函数. 当 a ? 1 时, y ? loga x 的 a 值越大,越靠近 x 轴;当 0 ? a ? 1时,则相反.

(四)方法总结 ⑴.相同函数的判定方法:定义域相同且对应法则相同. ⑴对数运算:

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loga ( M ? N ) ? loga M ? loga N (1) loga M ? loga M ? loga N N 1 loga M n logb N logb a

loga M n ? n loga ?? M ?12) loga n M ? a log a
N

?N

换底公式: loga N ?

推论: loga b ? logb c ? logc a ? 1 ? loga1 a2 ? loga 2 a3 ? ... ? loga n ?1 an ? loga1 an
(以上 M ? 0, N ? 0, a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1, c ? 0, c ? 1, a1 , a 2 ...a n ? 0且 ? 1 )

注⑴:当 a, b ? 0 时, log(a ? b) ? log(?a) ? log(?b) . ⑵:当 M ? 0 时,取“+” ,当 n 是偶数时且 M ? 0 时, M n ? 0 ,而 M ? 0 ,故取“—”. 例如: loga x 2 ? 2 loga x ?(2 loga x 中 x>0 而 loga x 2 中 x∈R). ⑵ y ? a x ( a ? 0, a ? 1 )与 y ? loga x 互为反函数. 当 a ? 1 时, y ? loga x 的 a 值越大,越靠近 x 轴;当 0 ? a ? 1时,则相反. ⑵.函数表达式的求法:①定义法;②换元法;③待定系数法. ⑶.反函数的求法:先解 x,互换 x、y,注明反函数的定义域(即原函数的值域). ⑷.函数的定义域的求法: 布列使函数有意义的自变量的不等关系式, 求解即可求得函数 的定义域.常涉及到的依据为①分母不为 0; ②偶次根式中被开方数不小于 0; ③对数的真数 大于 0,底数大于零且不等于 1;④零指数幂的底数不等于零;⑤实际问题要考虑实际意义 等. ⑸.函数值域的求法:①配方法(二次或四次);②“判别式法” ;③反函数法;④换元法;

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⑤不等式法;⑥函数的单调性法. ⑹.单调性的判定法: ①设 x 1 ,x 2 是所研究区间内任两个自变量, 且 x 1 <x 2 ; ②判定 f(x 1 ) 与 f(x 2 )的大小;③作差比较或作商比较. ⑺.奇偶性的判定法: 首先考察定义域是否关于原点对称, 再计算 f(-x)与 f(x)之间的关 系:①f(-x)=f(x)为偶函数;f(-x)=-f(x)为奇函数;②f(-x)-f(x)=0 为偶;f(x)+f(-x)=0 为奇;③f(-x)/f(x)=1 是偶;f(x)÷f(-x)=-1 为奇函数. ⑻.图象的作法与平移:①据函数表达式,列表、描点、连光滑曲线;②利用熟知函数的 图象的平移、翻转、伸缩变换;③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.

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