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高中数学高考总复习导数的实际应用习题及详解



高考总复习

高中数学高考总复习导数的实际应用习题及详解 一、选择题 1.函数 f(x)=x3-ax2+x 在 x=1 处的切线与直线 y=2x 平行,则 a=( A.0 [答案] B [解析] 由条件知,f ′(1)=3×12-2a×1+1=2, ∴a=1. 设函数 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y =f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为( A.4 [答案] A [解析] ∵y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,∴g′(1)=2, ∵f(x)=g(x)+x2,∴f ′(x)=g′(x)+2x, ∴f ′(1)=g′(1)+2=4. 2.把长 100cm 的铁丝分成两段,各围成一个正方形,当两正方形面积之和最小时,两 段长分别为( A.20,80 C.50,50 [答案] C [解析] 设一段长为 x,则另一段长为 100-x, 100-x 2 1 2 x ∴S=( )2+( ) = [x +(100-x)2] 4 4 16 = 1 (2x2-200x+10000) 16 ) B.40,60 D.30,70 1 B.- 4 ) C.2 1 D.- 2 B.1 C.2 D.3 )

1 令 S′=0 得 (4x-200)=0,∴x=50. 16 3.在内接于半径为 R 的半圆的矩形中,周长最大的矩形的边长为( R 3 A. 和 R 2 2 4 7 C. R 和 R 5 5 [答案] B [ 解析 ] 设矩形垂直于半圆直径的边长为 x ,则另一边长为 2 R2-x2 ,则 l = 2x + B. 5 4 5 R和 R 5 5 )

D.以上都不对

4 R2-x2 (0<x<R), l′=2- 4x 5 2 2,令 l′=0,解得 x= 5 R. R -x
含详解答案

高考总复习

当 0<x<

5 5 R 时,l′>0;当 R<x<R 时,l′<0. 5 5 5 5 4 5 R 时,l 取最大值,即周长最大的矩形的边长为 R, R. 5 5 5 )

所以当 x=

4.(文)圆柱的表面积为 S,当圆柱体积最大时,圆柱的底面半径为( A. C. S 3π 6πS 6π B. 3πS D.3π· 6πS

[答案] C [解析] 设圆柱底面半径为 r,高为 h, S-2πr2 ∴S=2πr2+2πrh,∴h= 2πr rS-2πr3 S-6πr2 又 V=πr2h= ,则 V′= ,令 V′=0 2 2 得 S=6πr2,∴h=2r,r= 6πS . 6π )

内接于半径为 R 的球并且体积最大的圆锥的高为( A.R 4 C. R 3 [答案] C B.2R 3 D. R 4

[解析] 设圆锥的高为 h,底面半径为 r,则 R2=(h-R)2+r2∴r2=2Rh-h2 1 π 2 π ∴V= πr2h= h(2Rh-h2)= πRh2- h3 3 3 3 3 4 4 V′= πRh-πh2,令 V′=0 得 h= R. 3 3 5.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积最大,则高为( A. 3 cm 3 10 3 B. cm 3 20 3 D. cm 3 )

16 3 C. cm 3 [答案] D

[解析] 设圆锥的高为 x,则底面半径为 202-x2, 1 其体积为 V= πx(400-x2) (0<x<20), 3 1 20 3 V′= π(400-3x2),令 V′=0,解得 x= . 3 3 20 3 20 3 当 0<x< 时,V′>0;当 <x<20 时,V′<0 3 3
含详解答案

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20 3 所以当 x= 时,V 取最大值. 3 6.某公司生产某种产品,固定成本为 20000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元, 1 ? ?400x-2x2,0≤x≤400, 已知总收益 R 与产量 x 的关系是 R=? 则总利润最大时,每年生 ? ?80000, x>400. 产的产品是( A.100 [答案] D [解析]
2

) B.150 C.200 D.300

由 题 意 , 总 成 本 为 C = 20000 + 100x. 所 以 总 利 润 为 P = R - C =

x ? ?300x- 2 -20000,0≤x≤400, ? ? ?60000-100x,x>400,
?300-x,0≤x≤400, ? P′=? ?-100,x>400. ?

令 P′=0,得 x=300,易知当 x=300 时,总利润最大. 7.函数 y=f(x)的图象如图所示,则 y=f ′(x)的图象可能是( )

[答案] D [解析] 由 f(x)的图象知,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,∴在(0, +∞)上 f ′(x)≤0,在(-∞,0)上 f ′(x)≥0,故选 D. 如图,过函数 y=xsinx+cosx 图象上点(x,y)的切线的斜率为 k,若 k=g(x),则函数 k =g(x)的图象大致为( )

[答案] A

含详解答案

高考总复习

[解析] ∵y′=sinx+xcosx-sinx=xcosx, ∴k=g(x)=xcosx,易知其图象为 A. 1 1 8.函数 f(x)= ax3+ ax2-2ax+2a+1 的图象经过四个象限,则实数 a 的取值范围是 3 2 ( ) 3 A.a>- 16 6 C.a>- 5 [答案] B [解析] f ′(x)=ax2+ax-2a=a(x+2)(x-1)有两个零点-2 和 1,故由题设条件知-2 和 1 是函数 f(x)的一个极大值点和一个极小值点, ∵f(x)的图象经过 4 个象限, ∴f(-2)· f(1)<0, 16a ??5 ? ∴? ? 3 +1??6a+1?<0, 6 3 ∴- <a<- ,故选 B. 5 16 1 1 9.已知非零向量 a,b 满足:|a|=2|b|,若函数 f(x)= x3+ |a|x2+a· bx 在 R 上有极值, 3 2 设向量 a,b 的夹角为 θ,则 cosθ 的取值范围为( 1 ? A.? ?2,1? 1? C.? ?-1,2? [答案] D [解析] ∵函数 f(x)在 R 上有极值, ∴f ′(x)=x2+|a|x+a· b=0 有两不等实根, ∴Δ=|a|2 1 -4|a|· |b|cosθ=4|b|2-8|b|2cosθ>0,∴cosθ< ,∴选 D. 2 [点评] 若 f(x)为三次函数,f(x)在 R 上有极值,则 f ′(x)=0 应有二不等实根,当 f(x) 1 有两相等实根时,不能保证 f(x)有极值,这一点要特别注意,如 f(x)= x3,f ′(x)=x2=0 有 3 实根 x=0,但 f(x)在 R 上单调增,无极值.即导数为 0 是函数有极值的必要不充分条件. 1 10.已知函数 f(x)= x3+ax2-bx+1(a、b∈R)在区间[-1,3]上是减函数,则 a+b 的最 3 小值是( 2 A. 3 [答案] C
? ? ?f?-1?≤0 ?2a+b≥1 [解析] f ′(x)=x2+2ax-b, 在[-1,3]上有 f ′(x)≤0, ∴? , ∴? , ?f?3?≤0 ? ? ?6a-b≤-9

6 3 B.- <a<- 5 16 6 3 D.- ≤a≤- 5 16

)

1 ? B.? ?2,1? 1? D.? ?-1,2?

) 3 B. 2 C.2 D.3

含详解答案

高考总复习 ? ? ?2a+b=1 ?a=-1 由? 得? , ?6a-b=-9 ?b=3 ? ?

∴当直线 a+b=z 经过点 A(-1,3)时,zmin=2. 1 若 a>2,则方程 x3-ax2+1=0 在(0,2)上恰好有( 3 A.0 个根 C.2 个根 [答案] B 1 [解析] 设 f(x)= x3-ax2+1,则 f ′(x)=x2-2ax, 3 ∵a>2,∴f ′(x)≤0?0≤x≤2a. 又(0,2)?(0,2a),故 f(x)在区间(0,2)上递减, 11 f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(2)= -4a<0. 3 故 f(x)的图象在(0,2)上与 x 轴有一个交点. 二、填空题 11. 用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状的框架, 要求长方体的长与宽之比为 2?1, 该长方体的最大体积是________. [答案] 3m3 9 9 ? [解析] 设长方体的宽为 x,则长为 2x,高为 -3x (0<x<2),故体积为 V=2x2? ?2-3x? 2 =-6x3+9x2, V′=-18x2+18x,令 V′=0 得,x=0 或 1, ∵0<x<2,∴x=1. ∴该长方体的长、宽、高各为 2m、1m、1.5m 时,体积最大,最大体积 Vmax=3m3. [点评] 注意长方体的长、宽、高都是正值,且长、宽、高的和的 4 倍为总长度.请再 练习下题: 用总长为 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架, 如果所制作容器的底面的一边比另 一边长 0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. [解析] 设容器的短边长为 xm, 则另一边长为(x+0.5)m, 14.8-4x-4?x+0.5? 高为 =3.2-2x. 4 由 3.2-2x>0 和 x>0,得 0<x<1.6, 设容器的容积为 ym3, 则有 y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0<x<1.6),
含详解答案

)

B.1 个根 D.3 个根

高考总复习

整理得 y=-2x3+2.2x2+1.6x, ∴y′=-6x2+4.4x+1.6, 令 y′=0,有-6x2+4.4x+1.6=0,即 15x2-11x-4=0, 4 解得 x1=1,x2=- (不合题意,舍去), 15 ∴高=3.2-2=1.2,容积 V=1×1.5×1.2=1.8 答:高为 1.2m 时容积最大,最大容积为 1.8m3. 12 将边长为 1m 的正三角形薄铁皮, 沿一条平行于某边的直线剪成两块, 其中一块是梯 ?梯形的周长?2 形,记 s= ,则 s 的最小值是________. 梯形的面积 [答案] 32 3 3

[解析] 设 DE=x, 则梯形的周长为:3-x, 1 3 3 梯形的面积为: (x+1)· (1-x)= (1-x2) 2 2 4
2 ?3-x?2 4 3 x -6x+9 ∴s= = · ,x∈(0,1), 3 1-x2 3 ?1-x2? 4

x2-6x+9 设 h(x)= , 1-x2 -6x2+20x-6 h′(x)= . ?1-x2?2 1 令 h′(x)=0,得:x= 或 x=3(舍), 3 1? ∴h(x)最小值=h? ?3?=8, 4 3 32 3 ∴s 最小值= ×8= . 3 3 13.(2011· 江西会昌检测)曲边梯形由曲线 y=x2+1,y=0,x=1,x=2 所围成,过曲线 y=x2+1,x∈[1,2]上一点 P 作切线,使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯 形,则这一点的坐标为________. 3 13? [答案] ? ?2, 4 ? [解析] 设 P(x0,x02+1),x0∈[1,2],则易知曲线 y=x2+1 在点 P 处的切线方程为 y- (x02+1)=2x0(x-x0),∴y=2x0(x-x0)+x02+1,令 g(x)=2x0(x-x0)+x02+1, g?1?+g?2? g(1)+g(2)=2(x02+1)+2x0(1-x0+2-x0)=-2x02+6x0+2,∴S 普通梯形= ×1= 2

含详解答案

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3 13 3 13 -x02+3x0+1=-(x0- )2+ ,∴P 点坐标为( , )时,S 普通梯形最大. 2 4 2 4 14.已知球的直径为 d,求当其内接正四棱柱体积最大时,正四棱柱的高为________. [答案] 3 d 3

[解析] 如右图所示,设正四棱柱的底面边长为 x,高为 h, 由于 x2+x2+h2=d2, 1 ∴x2= (d2-h2). 2 ∴球内接正四棱柱的体积为 1 V=x2· h= (d2h-h3),0<h<d. 2 1 3 V′= (d2-3h2)=0,∴h= d. 2 3 在(0,d)上,函数变化情况如下表:

由上表知体积最大时,球内接正四棱柱的高为

3 d. 3

该函数在(0,+∞)内连续可导,且只有一个使函数的导数为零的点,问题中总造价的 V ?1 最小值显然存在,当 r=? ?4π?3时,y 有最小值,即 h?r=4 时,总造价最小.

含详解答案



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