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《不等关系与不等式(第2课时)》教学课件1



3.1 不等关系与不等式 (二)

1. 用不等式或不等式组表示不等关系.

2. a ? b ? a ? b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0
3. 比较两个代数式的大小——作差比较法 作差 →变形 →判断符号 →得出结论

性质1:如果a>b,那么b<

;a;如果b<a,那么a>b. 证明:因为a ? b, 所以a ? b ? 0,
所以? (a ? b) ? 0, 即b ? a ? 0,

所以b ? a.

性质1表明,把不等式的左边和右边交换位置, 所得不等式与原不等式异向,我们把这种性质称为 不等式的对称性。

性质2:如果a>b,b>c,那么a>c. (传递性)
证明:

a ? b,b ? c ? a ? b ? 0,b ? c ? 0

? (a ? b) ? (b ? c) ? 0

? a ? c ? 0 ? a ? c.
这个性质也可以表示为c<b,b<a,则c<a.这个 性质是不等式的传递性。

性质3:如果a>b,则a+c>b+c.
证明: 因为a ? b,
所以(a ? c) ? (b ? c) ? a ? b ? 0,
所以a ? c ? b ? c.

性质3表明,不等式的两边都加上同一个实数,
所得的不等式与原不等式同向. a+b>c ? a+b+(-b)>c+(-b)

? a>c-b.

结论:不等式中的任何一项都可以改变符号后移到 不等式另一边(移项法则)

性质4:如果a>b,c>0,则ac>bc;如果a>b,c<0,则
ac<bc.

证明: 由a ? b, 得a ? b ? 0, 又c ? 0,
所以(a ? b)c ? 0,即ac ? bc ? 0,

所以ac ? bc.
性质5:如果a>b,c>d,则a+c>b+d.

证明:因为a>b,所以a+c>b+c,又因为c>d, 所以b+c>b+d, 根据不等式的传递性
得a+c>b+d.

几个同向不等式的两边分别相加,所得的不等 式与原不等式同向. 性质6:如果a>b>0,c>d>0,则ac>bd. 证明:因为a>b,c>0,所以ac>bc,

又因为c>d,b>0,所以bc>bd, 根据不等式的传递性得 ac>bd 几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘, 所得的不等式与原不等式同向.

n n 性质7: 如果a ? b ? 0, 那么a ? b ,(n ? N , n ? 2)

性质7说明,当不等式两边都是正数时,不等式两边 同时乘方所得的不等式和原不等式同号. 性质8:如果a ? b ? 0, 那么n a ? n b ,(n ? N , n ? 2) 性质8说明,当不等式的两边都是正数时,不等式两 边同时开方所得不等式与原不等式同向. 以上这些关于不等式的事实和性质是解决不等式 问题的基本依据

1.对于实数 a, b, c 判断下列命题的真假 (1)若 a ? b 则ac2 ? bc2 假
2 2 (2)若 ac ? bc

则a ? b 真 1 1 (3)若 a ? b ? 0 则 ? 假 a b b a (4)若 a ? b ? 0 则 ? a b 假 2 2 (5)若a ? b ? 0 则a ? ab ? b 真

注:(1)运用不等式的性质时,应注意不等式成立的条件。 (2)一般地,要判断一个命题为真命题,必须严格加以证 明,要判断一个命题为假命题,可举反例,或者由题中条 件推出与结论相反的结果。

c c 例1.已知 a > b >0, c <0, 求证 > . a b

1 证明:因为a > b >0, 所以 ab >0, >0. ab 1 1
于是 a ?

ab 1 1 ? . b a ? b? ab ,

思考?
能否用 作差法 证明 ?

c c 由c<0, 得 ? , b a



c c ? . a b

例2.应用不等式的性质,证明下列不等式:
1 1 (1)已知a>b,ab>0,求证: ? ; a b 1 证明:(1)因为ab>0,所以 ?0 ab 1 1 又因为a>b,所以 a ? ? b ? ab ab 1 1 1 1 因此 ? 即 ? b a a b

a b (2)已知a>b>0,0<c<d,求证: ? c d

证明:因为0<c<d,根据(1)的结论得
1 1 又因为a>b>0,所以 a ? ? b ? c d a b 即 c?d

1 1 ? ?0 c d

练习
1. 已知a>b,不等式:(1)a2>b2;(2)
1 1 (3)a ? b ? a 成立的个数是(

1 1 ? ; a b

A

) (D )3

(A )0

(B )1

(C )2

2.如果a>b>0,c>d>0,则下列不等式中不正确的是( C ) A.a-d>b-c C.a+d>b+c
a b B.d ? c

D.ac>bd

3. 当a>b>c时,下列不等式恒成立的是 ( B )

A.ab>ac
C.a∣c∣>b∣c∣

B.(a-b)∣c-b∣>0
D.∣ab∣>∣bc|

x 4.(1)如果30 ? x ? 36, 2 ? y ? 6, 求x-2y及 的取值范围. y x 18<x-2y<32, 5 ? ? 18 y (2)若-3<a<b<1,-2<c<-1,求(a-b)c2的取值范围.
因为-4<a-b<0,1<c2<4, 所以-16<(a-b)c2<0

e e 5. a ? b ? 0, c ? d ? 0, e ? 0, 则 ? . a?c b?d

证明因为 : a ? b ? 0, c ? d ? 0, 所以 ? c ? ?d ? 0, a ? c ? b ? d ? 0. 1 1 e e 所以0< ? .因为e ? 0, 所以 ? a?c b?d a?c b?d

已知:函数 f ( x) ? ax2 ? c, ?4 ? f (1) ? ?1, ? 1 ? f (2) ? 5 求: f ( 3) 的取值范围. 解:因为f(x)=ax2-c,

? f (1) ? a ? c 所以 ? ? f (2) ? 4a ? c
1 ? a ? [ f (2) ? f (1)] ? ? 3 解之得 ? ?c ?? 1 f (2) ? 4 f (1) ? 3 3 ?

因为 ?4 ? f (1) ? ?1, ? 1 ? f (2) ? 5

8 5 所以f(3)=9a-c= f (2) ? f (1) 3 3

所以 ? ≤

8 3

8 40 f (2) ≤ 3 3

5 5 20 ≤ ? f (1) ≤ 3 3 3

还有其它 解法吗?

两式相加得-1≤f(3) ≤20. 提示:整体构造 f (3) ? ? f (1) ? ? f (2) 利用对应系数相等

求的?与? ,从而求其范围.
注意:本题中a与c是一个有联系的有机整体,不要割断 它们之间的联系

小结
不等式的性质 对称性 内 容

a ? b ? b ? a; a ? b ? b ? a a ? b, b ? c ? a ? c 传递性 a ? b ? a ? c ? b ? c; a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d 加法性质 a ? b, c ? 0 ? ac ? bc; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc 乘法性质 a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd n n n n a ? b ? 0 ? a ? b 指数运算性质 a ? b ? 0 ? a ? b ; 1 1 倒数性质 a ? b, ab ? 0 ? ? a b
关于不等式性质的学习要注意 要弄清每一性质的条件和结论,注意条件的放宽和加强,以 及条件与结论之间的相互联系.紧扣基本性质证明问题.



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