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第53届IMO试题



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{ 快讯 }   一  
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中 国队 获 第 5 3届 I MO 团 体 总 分 第 二 名  

第5

3届 国际数学 奥林 匹克 ( I M O) 于2 0 1 2年 7月 4 日至 1 6 日在 阿 根廷 的 马德 普拉 塔举  行, 来自1 0 0多个 国家及地 区 的 5 4 8名学 生 参加 了这次 比赛 。中 国 队以 1 9 5分 获 得 团体 总分  第 二名 , 6名 队员 获得 5金 l 铜( 金牌线 2 8分 , 银 牌线 2 1 分, 铜 牌线 1 4分 ) 。   中国队的成员如下:   领 队  熊 斌   华东 师范大 学  副领 队  冯 志 刚  上海市 上海 中学  观察 员  瞿振 华  华东师 范大学  李秋 生 北京 市人大 附 中  队 员  余 毅 阳  上海市 上海 中学  3 8分  金牌  王昊 宇 湖北省 武钢三 中  3 7分  金牌  陈景 文 北 京市人 大附 中 ( 高二 )   3 5分  金牌  吴  昊 辽 宁省辽 宁师大 附 中  3 4分  金牌  左 浩 湖北 省华 中师大一 附 中( 高二 )   3 3分  金牌  1 8分  刘 宇韬 上海 市上海 中学 ( 高二 )   铜牌  获得团体总分前六名的队及其总分如下:   1 . 韩 国  2 0 9分  2 . 中 国  1 9 5分  3 . 美 国  1 9 4分  4 . 俄罗斯  1 7 7分  5 . 加拿 大  1 5 9分  6 . 泰 国  1 5 9分 

第 5   3 届
第 一 天 
I . 设. , 为△ A B C顶 点  所 对 旁 切 圆 的  圆心. 该旁切 圆与边 B C切 于 点  , 与 直 线  A B、 A C分别 切于点  、 £, 直线 L M与B J交 于  点 F, 直线 K M 与  交 于 点 e 设 J s是 直 线  A F与 B C的 交 点 ,   是 直线 A G与 B C的 交  点. 证明: M 是 线段 S T的 中点 .  

I M0 试

题 

【 注】 △A B C的顶点  所对 的旁切 圆是 
指与边 B C相切 , 并 且 与边 A B、 A C的延 长线  相切 的 圆.   ( 希 腊 供题 )   2 . 设整 数 n ≥3 , 正实数 口 : , a   , …, a  满  足a , 2 。 3 …a  :1 . 证明:   ( 1+o 2 )   ( 1+口 3 )   …( 1 +口   )  >n   .   ( 澳 大利 亚 供题 )   3 . “ 欺诈猜数游戏” 在 两个 玩 家 甲和 乙  中 等 数 学  二  。   一   之 间进 行 , 游戏 依 赖 于两 个 甲 和 乙都 知道 的 
正整数 k 、 2 1 .  

限制 , 唯一 的限制是 甲在 任意 连续 k +1次 回  答 中至少有一 次 回答 是 真话.   在 乙问完所 有 想 问的 问题 之后 , 乙 必须  指 出一个 至多 包 含 1 2个 正 整 数 的集 合  , 若  属于  , 则 乙获 胜 ; 否则 甲获 胜. 证明 :   ( 1 ) 若n 12 >   , 则 乙可保证 获胜 ;   ( 2 ) 对所有 充分大 的整数 k , 存 在 整 数  n ≥1 . 9 9   , 使得 乙无法保 证获 胜.   ( 加 拿 大 供题 )  
. 

第 
八 

考 

第 二 天 
4 . 求所 有 的函数  z — Z, 使 得对 所有 满  足 口+b +c = 0的整数 D 、 b 、 c , 都有  ( 口 )+   ( 6 )+ /   ( c )   2 f ( 口 )  6 )+ 2 f ( 6 ) , ( c )+ 2 f ( c )  Ⅱ ) .   ( 南非 供题 )   二 年  5 . 在△ A B C中 , 已知  B C A=9 0 。 , D是  过 顶点 C的高 的垂 足. 设  是 线段 C D 内部  的一 点 ,   是线 段  上 一点 , 使得 B K=B C ,   是线 段 B X上 一 点 , 使得 A L=A C . 设  是  £与 B K的交点. 证明: MK= ML .   ( 捷克 供题)   6 . 求 所有 的正 整 数 n , 使 得 存 在 非 负 整  数口 l , 口 2 , …, a   , 满足 


游戏开 始时 , 甲 先 选 定 两 个 整 数  、 N  ( 1 ≤  ≤Ⅳ) . 甲如实告 诉 乙 Ⅳ的值 , 但对  守  口如 瓶. 乙现在 试 图 通过 如 下 方式 的提 问来  获得关 于  的信息 : 每次提 问 , 乙任选一 个 由  若 干正 整数 组成 的集 合 s ( 可 以重 复使 用 之  前提 问 中使 用 过 的集 合 ) , 问 甲“  是 否 属 于  s ? ” . 乙可 以提任 意 数量 的问题 . 在 乙每 次 提  问之后 , 甲必 须对 乙的 提 问立刻 回答 “ 是” 或  “ 否” , 甲可 以说 谎 话 , 并 且 说 谎 的次 数 没 有 

1   1   1   】   2   n   .   2   。 l   +2   。 2   +‘ 一 +2   3   。 l+ 。   3   +…   +3 。 ’    一 1 .  

( 塞 尔维亚

供题)  



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