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河南省洛阳市2015年高考数学三模试卷(理科)解析



2015 年河南省洛阳市高考数学三模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={x|x ﹣6x+8<0},B={x|2<2 <8},则 A∩B=( ) A. {x|1<x<4} B. {x|1<x<3} C. {x|2<x<3} D. {x|3<x<4} 2. 若

复数 z 满足 (1+i) z=3+i, 则复数 z 的共轭复数在复平面内所对应的点的坐标是 ( A. (﹣2,﹣1) B. (2,﹣1) C. (﹣2,1) D. (2,1)
2 2 x



3.已知 0<m<1,设 a=logm(m +1) ,b=logm(m+1) ,c=logm(2m) ,则 a,b,c 的大小关系 是( ) A. c>a>b B. a>c>b C. a>b>c D. b>a>c 4.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,满足 的取值范围是( ) ) D. [ ,1) ? =0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率

A. (0,1) B. (0, ] C. (0,

5.如果执行如图所示的程序框图,输入 x=6,则输出的 y 值为(



A. 2 B. 0 C. ﹣1 D.

6.已知异面直线 a,b 均与平面α相交,下列命题: ①存在直线 m? α,使得 m⊥a 或 m⊥b;②存在直线 m? α,使得 m⊥a 且 m⊥b; ③存在直线 m? α,使得 m 与 a 和 b 所成的角相等. 其中不正确的命题个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

7.设函数 f(x)=2+ b,m,n∈R,且 n>0,则 a+b=( A. 0 B. 2 C. 4 D. 2m )

,若 f(x)在[﹣n,n]上的值域为[a,b],其中 a,

8.已知等差数列{an}的前三项为 a﹣1,4,2a,记前 n 项和为 Sn,设 bn= +b4n﹣1 等于( ) 2 2 2 2 A. n +n B. 2n +2n C. n ﹣n D. 2n ﹣2n

,则 b3+b7+b11+…

9.正△ABC 边长为 1,P 为其内部(不含边界)的任意点,设 在平面直角坐标系内点(x,y)对应区域的面积为( A. 1 B. C. D. )

=x

+y

(x,y∈R) ,则

10.设三位数 n= (即 n=100a+10b+c,其中 a,b,c∈N ) ,若以 a,b,c 为三条边的长 可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数 n 有( ) A. 45 个 B. 81 个 C. 165 个 D. 216 个 11.一个几何体的侧视图是边长为 2 的正三角形,正视图与俯视图的尺寸如图所示,则此几 何体的表面积为( )

*

A. 12+2

+3π B. 12+3π C.

+2

D.

π+2

12.已知 f(x)定义在 R 上的函数,f′(x)是 f(x)的导函数,若 f(x)>1﹣f′(x) , 且 f(0)=2,则不等式 e f(x)>e +1(其中 e 为自然对数的底数)的解集为( A. (0,+∞) B. (﹣∞,0)∪(1,+∞) C. (﹣1,+∞) D. (﹣∞,﹣1)∪(0,+∞) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+… +log3a10= . 14.若二项式(1﹣ax) 的展开式中 x 的系数为﹣80,则展开式中各项系数之和 为 .] 15.已知 a,b 都是负实数,则 的最小值是 .
5 3 x x



16.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为 F1、F2,这两条 曲线在第一象限的交点为 P,△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形,若|PF1|=10,椭圆与双 曲线的离心率分别为 e1、e2,则 e1+e2 的取值范围是 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在锐角△ABC 中, (1)求角 A; (2)若 a= ,求 bc 的取值范围. 18.学校重视高三学生对数学选修课程的学习,在选修系列 4 中开设了 4﹣1,4﹣2,4﹣3, 4﹣4,4﹣5 共 5 个专题课程,要求每个学生必须且只能选修其中 1 门课程,设 A、B、C、D 是高三某班的 4 名学生. (1)求恰有 2 个专题没有被这 4 名学生选择的概率; (2)设这 4 名学生中选择 4﹣4 专题的人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望 E() . 19. 如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 与 DBFE 均为菱形, ∠DAB=∠DBF=60°, 且 FA=FC. AC 与 BD 相交于 O. (1)求证:FO⊥平面 ABCD; (2)求二面角 E﹣FA﹣B 的余弦值. =

20. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 x =2py (p>0)的准线方程为 y=﹣ ,过点 M (4, 0)作抛物线的切线 MA,切点为 A(异于点 O) ,直线 l 过点 M 与抛物线交于两点 P、Q,与直 线 OA 交于点 N. (1)求抛物线的方程;

2

(2)试问

的值是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理

由. 21.已知函数 f(x)=mx﹣1﹣lnx. (1)若 f(x)≥0 对? x∈(0,+∞)恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)求证:对? n∈N ,
*

<e 均成立(其中 e 为自然对数的底数,e≈2.71828) .

请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题记分. 选修 4-1: 几何证明选讲 22.如图,已知 AD 是△ABC 的对角∠EAC 的平分线,交 BC 的延长线于点 D,延长 DA 交△ABC 的外接圆于点 F,连结 FB,FC. (1)求证:FB=FC; (2)若 FA=2,AD=6,求 FB 的长.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23.已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为

极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是ρ=



(1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程; (2)若点 P 是曲线 C 上的动点,求 P 到直线 l 的距离的最小值,并求出 P 点的坐标.

选修 4-5:不等式选讲

24.已知 f(x)=|x+l|+|x﹣2|,g(x)=|x+1|﹣|x﹣a|+a(a∈R) . (Ⅰ)解不等式 f(x)≤5; (Ⅱ)若不等式 f(x)≥g(x)恒成立,求 a 的取值范围.

2015 年河南省洛阳市高考数学三模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={x|x ﹣6x+8<0},B={x|2<2 <8},则 A∩B=( ) A. {x|1<x<4} B. {x|1<x<3} C. {x|2<x<3} D. {x|3<x<4} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出集合的等价条件,利用集合的基本运算进行求解即可. 解答: 解:A={x|x ﹣6x+8<0}={x|2<x<4}, x B={x|2<2 <8}={x|1<x<3}, 则 A∩B={x|2<x<3}, 故选:C. 点评: 本题主要考查集合的基本运算,求出集合的等价条件是解决本题的关键. 2. 若复数 z 满足 (1+i) z=3+i, 则复数 z 的共轭复数在复平面内所对应的点的坐标是 ( A. (﹣2,﹣1) B. (2,﹣1) C. (﹣2,1) D. (2,1) 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出. 解答: 解:∵(1+i)z=3+i,∴z= = = =2﹣i, )
2 2 x

∴则复数 z 的共轭复数 =2+i 在复平面内所对应的点的坐标是(2,1) . 故选:D. 点评: 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义,属于基础题. [来源:Z§xx§k.Com] 3.已知 0<m<1,设 a=logm(m +1) ,b=logm(m+1) ,c=logm(2m) ,则 a,b,c 的大小关系 是( ) A. c>a>b B. a>c>b C. a>b>c D. b>a>c 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 0<m<1,可得 m+1>m +1>2m,再利用对数函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵0<m<1, ∴m+1>m +1>2m, 2 又 a=logm(m +1) ,b=logm(m+1) ,c=logm(2m) , ∴c>a>b. 故选:A.
2 2 2

点评:[来源:学科网] 本题考查了不等式的性质、数的大小比较、对数函数的单调性,考查 了推理能力与计算能力,属于基础题. 4.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,满足 的取值范围是( ) ) D. [ ,1) ? =0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率

A. (0,1) B. (0, ] C. (0,

考点: 椭圆的应用. 专题: 计算题. 分析: 由 ? =0 知 M 点的轨迹是以原点 O 为圆心,半焦距 c 为半径的圆.又 M 点总
2 2 2 2

在椭圆内部,∴c<b,c <b =a ﹣c .由此能够推导出椭圆离心率的取值范围. 解答: 解:设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为 a,b,c, ∵ ? =0,

∴M 点的轨迹是以原点 O 为圆心,半焦距 c 为半径的圆. 又 M 点总在椭圆内部, ∴该圆内含于椭圆,即 c<b,c <b =a ﹣c . ∴e =
2 2 2 2 2

< ,∴0<e<



故选:C. 点评: 本题考查椭圆的基本知识和基础内容,解题时要注意公式的选取,认真解答. 5.如果执行如图所示的程序框图,输入 x=6,则输出的 y 值为( )

A. 2 B. 0 C. ﹣1 D.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图.

分析: 执行程序框图,依次写出每次循环得到的 x,y 的值,当 x=﹣1,y=﹣ 时,满足条 件|y﹣x|<1,退出循环,输出 y 的值为﹣ . 解答: 解:执行程序框图,可得 x=6 y=2 不满足条件|y﹣x|<1,x=2,y=0 不满足条件|y﹣x|<1,x=0,y=﹣1 不满足条件|y﹣x|<1,x=﹣1,y=﹣ 满足条件|y﹣x|<1,退出循环,输出 y 的值为﹣ . 故选:D. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法,根据赋值语句正确得到每次循环 x,y 的值是解题 的关键,属于基础题. 6.已知异面直线 a,b 均与平面α相交,下列命题: ①存在直线 m? α,使得 m⊥a 或 m⊥b; ②存在直线 m? α,使得 m⊥a 且 m⊥b; ③存在直线 m? α,使得 m 与 a 和 b 所成的角相等. 其中不正确的命题个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据空间线线关系,线面关系,线线夹角,线线垂直的几何特征,逐一分析四个答 案的真假,可得答案. 解答: 解:根据空间线线垂直的几何特征可得: 必存在直线 m? α,使得 m⊥a, 也必存在直线 m? α,使得 m⊥b, 故①正确; 若异面直线 a,b 的公垂线段与平面α平行或在平面α内, 则存在直线 m? α,使得 m⊥a 且 m⊥b, 否则这样的 m 不存在, 故②错误; 若异面直线 a,b 中有一条与平面α垂直,则 平面α内另一条直线的垂线与两条直线均垂直; 若异面直线 a,b 与平面α均不垂直,则它们在平面α上射影的角平分线与异面直线 a,b 夹角相等, 故③正确. 故①③都正确, 故不正确的命题个数为 1, 故选:B

点评: 本题考查的知识点空间线线关系,线面关系,线线夹角,线线垂直的几何特征,难 度不大,属于基础题.

7.设函数 f(x)=2+ b,m,n∈R,且 n>0,则 a+b=( A. 0 B. 2 C. 4 D. 2m )

,若 f(x)在[﹣n,n]上的值域为[a,b],其中 a,

考点: 函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由于 f(x)=2+mx+ 解. 解答: 解:f(x)=2+ 令 g(x)=mx+ 则 g(﹣x)=﹣mx﹣ , =﹣g(x) ,即 g(x)为奇函数, =2+ =2+mx+ , ,令 g(x)=mx+ ,根据奇函数的对称性即可求

∴g(x)在[﹣n,n]上的最大值与最小值之和为 0, ∵f(x)=g(x)+2, ∴a+b=4. 故选 C 点评: 本题主要考查了奇函数在对称区间上最值互为相反数即最值之和为 0 的性质的应用, 其中构造函数 g(x)是求解本题的关键

8.已知等差数列{an}的前三项为 a﹣1,4,2a,记前 n 项和为 Sn,设 bn= +b4n﹣1 等于( ) 2 2 2 2 A. n +n B. 2n +2n C. n ﹣n D. 2n ﹣2n 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列.

,则 b3+b7+b11+…

分析: 由已知列式求得 a,得到等差数列的三项和公差,求出其前 n 项和,代入 bn= 再由等差数列的前 n 项和求 b3+b7+b11+…+b4n﹣1 的值. 解答: 解:由 a﹣1,4,2a 为等差数列的前三项,得 a﹣1+2a=8,解得 a=3. ∴等差数列{an}的首项为 2,公差为 2, ∴ 则 bn= ∴b3=4, = , .



b3+b7+b11+…+b4n﹣1=4n+

=2n +2n.

2

故选:B. 点评: 本题考查等差数列的通项公式,考查等差数列的前 n 项和,是基础的计算题.

9.正△ABC 边长为 1,P 为其内部(不含边界)的任意点,设 在平面直角坐标系内点(x,y)对应区域的面积为( A. 1 B. C. D. )

=x

+y

(x,y∈R) ,则

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 通过已知的向量关系以及三角形与 P 的位置,确定 x,y 的关系,得到可行域. 解答: 解:因为三角形 ABC 内一点,且 当 p 点在 BC 上时,x+y=1, 因为 P 在三角形 ABC 内. ∴0≤x+y<1 所以 0≤x≤1,0≤y≤1,对应的区域如图,则面积为 . 故选 C =x +y (x,y∈R) ,

点评: 本题以向量为载体,考查线性规划的简单应用,抽象出约束条件是解题的关键. 10.设三位数 n= (即 n=100a+10b+c,其中 a,b,c∈N ) ,若以 a,b,c 为三条边的长 可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数 n 有( ) A. 45 个 B. 81 个 C. 165 个 D. 216 个 考点: 计数原理的应用. 专题: 应用题;排列组合. 分析: 先考虑等边三角形情况,则 a=b=c=1,2,3,4,5,6,7,8,9,此时 n 有 9 个, 再考虑等腰三角形情况,若 a,b 是腰,则 a=b,列举出所有的情况,注意去掉不能构成三 角形的结果,交换腰和底的位置,求和得到结果.
*

解答: 解:由题意知以 a、b、c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形, 先考虑等边三角形情况 则 a=b=c=1,2,3,4,5,6,7,8,9,此时 n 有 9 个 再考虑等腰三角形情况,若 a,b 是腰,则 a=b 当 a=b=1 时,c<a+b=2,则 c=1,与等边三角形情况重复; 当 a=b=2 时,c<4,则 c=1,3(c=2 的情况等边三角形已经讨论了) ,此时 n 有 2 个; 当 a=b=3 时,c<6,则 c=1,2,4,5,此时 n 有 4 个; 当 a=b=4 时,c<8,则 c=1,2,3,5,6,7,有 6 个; 当 a=b=5 时,c<10,有 c=1,2,3,4,6,7,8,9,有 8 个; 由加法原理知 n 有 2+4+6+8+8+8+8+8=52 个 同理,若 a,c 是腰时,c 也有 52 个,b,c 是腰时也有 52 个 所以 n 共有 9+3×52=165 个 故选 C. 点评: 本题考查排列组合的实际应用,本题解题的关键是根据所给的条件不重不漏的列举 出所有的结果,注意数字要首先能够构成三角形,即满足两边之和大于第三边,本题是一个 易错题. 11.一个几何体的侧视图是边长为 2 的正三角形,正视图与俯视图的尺寸如图所示,则此几 何体的表面积为( )

A. 12+2

+3π B. 12+3π C.

+2

D.

π+2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知,此几何体为组合体,左右两侧为半圆锥,中间为三棱柱,从而求面 积. 解答: 解:由三视图可知, 此几何体为组合体,[来源:学科网 ZXXK] 左右两侧为半圆锥,中间为三棱柱, 左右两侧的半圆锥可合为一个圆锥, 其表面积为π×1 + ×2×2π=3π; 中间的三棱柱三个侧面在表面, 其面积为 3×2×2=12; 故此几何体的表面积为 3π+12; 故选 B. 点评: 本题考查了学生的空间想象力与计算能力,属于基础题.
2

12.已知 f(x)定义在 R 上的函数,f′(x)是 f(x)的导函数,若 f(x)>1﹣f′(x) , 且 f(0)=2,则不等式 e f(x)>e +1(其中 e 为自然对数的底数)的解集为( ) A. (0,+∞) B. (﹣∞,0)∪(1,+∞) C. (﹣1,+∞) D. (﹣∞,﹣1) ∪(0,+∞) 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 构造函数 g(x)=e f(x)﹣e , (x∈R) ,研究 g(x)的单调性,结合原函数的性 质和函数值,即可求解 解答: 解:设 g(x)=e f(x)﹣e , (x∈R) , x x x x 则 g′(x)=e f(x)+e f′(x)﹣e =e [f(x)+f′(x)﹣1], ∵f(x)>1﹣f′(x) , ∴f(x)+f′(x)﹣1>0, ∴g′(x)>0, ∴y=g(x)在定义域上单调递增, ∵e f(x)>e +1, ∴g(x)>1, 又∵g(0)=e f(0)﹣e =1, ∴g(x)>g(0) , ∴x>0, ∴不等式的解集为(0,+∞) 故选:A 点评: 本题考查函数单调性与奇偶性的结合,结合已知条件构造函数,然后用导数判断函 数的单调性是解题的关键,属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+…+log3a10= 考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析:由题意可得 a4a7=a5a6, 解之可得 a5a6, 由对数的运算可得 log3a1+log3a2+…+log3a10=log3 5 (a1a2…a10)=log3(a5a6) ,代入计算可得. 解答: 解:由题意可得 a5a6+a4a7=2a5a6=18,解得 a5a6=9, ∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10) 5 5 10 =log3(a5a6) =log39 =log33 =10 故答案为:10 点评: 本题考查等比数列的性质和通项公式,涉及对数的运算,属中档题. 14.若二项式(1﹣ax) 的展开式中 x 的系数为﹣80,则展开式中各项系数之和为 ﹣1 . 考点: 二项式系数的性质. 专题: 二项式定理.
5 3 0 0 x x x x x x x x

10 .

分析: 由展开式中 x 的系数为﹣80 求得 a 的值,在二项式中取 x=1 即可求得展开式中各项 系数之和. 解答: 解:由 令 r=3,得
5

3

, ,即 a=2.
5

∴二项式(1﹣ax) 的展开式中各项系数之和为(1﹣2×1) =﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查二项式系数的性质,考查二项展开式的通项,训练了二项式系数的求法, 是基础题.

15.已知 a,b 都是负实数,则

的最小值是



考点: 函数的最值及其几何意义;基本不等式. 专题: 计算题. 分析: 把所给的式子直接通分相加,把分子整理出含有分母的形式,做到分子常数化,分 子和分母同除以分母,把原式的分母变化成具有基本不等式的形式,求出最小值. 解答: 解:直接通分相加得 =

=1﹣ =1﹣

因为 a,b 都是负实数,所以



都为正实数

那么上式中分式中的分母可以利用基本不等式求出最小值 最小值为 2 分母有最小值,即 有最大值

那么 1﹣

可得最小值

最小值:2

﹣2

故答案为: . 点评: 本题考查函数的最值及其几何意义,本题解题的关键是整理出原式含有基本不等式 的形式,可以应用基本不等式求最值.

16.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为 F1、F2,这两条 曲线在第一象限的交点为 P,△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形,若|PF1|=10,椭圆与双 曲线的离心率分别为 e1、e2,则 e1+e2 的取值范围是 .

考点: 椭圆的简单性质;双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: 如图所示,设椭圆与双曲线的标准方程分别为: , . (a1,a2,

b1,b2>0,a1>b1) .根据△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形,|PF1|=10,可得 10+2c=2a1, 10﹣2c=2a2,可得 性即可得出. 解答: 解:如图所示, 设椭圆与双曲线的标准方程分别为: , . (a1,a2,b1,b2>0,a1>b1) ,于是 e1+e2=e2+ =f(e2) ,e2>1.利用导数研究其单调

∵△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形,|PF1|=10, ∴10+2c=2a1,10﹣2c=2a2, 相减可得:2c=a1﹣a2, ∴ ,





∴e1+e2=e2+

=f(e2) ,e2>1.

∴f′(e2)=1+

=1+

> 0,

∴函数 f(e2)在 e2>1 时单调递增, ∴f(e2)>f(1)=1+ = . ∴e1+e2 的取值范围是 故答案为: . .

点评: 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、离心率计算公式、利用导数研究函 数的单调性极值,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在锐角△ABC 中, (1)求角 A; (2)若 a= ,求 bc 的取值范围. 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 计算题;三角函数的求值;解三角形. 分析: (1)由余弦定理可得:a +c ﹣b =2accosB,代入已知整理可得 sin2A=1,从而可求 A 的值. (2)由(1)及正弦定理可得 bc= 求得 bc 的取值范围. 解答: 解: (1)由余弦定理可得:a +c ﹣b =2accosB, , ∴sin2A=1 且 ,
2 2 2 2 2 2

=

,根据已知求得角的范围,即可

(2)



又 ∴b=2sinB,c=2sinC,



bc=2sin(135°﹣C) ? 2sinC=

, ,

∴ . 点评: 本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,属于中档题.

18.学校重视高三学生对数学选修课程的学习,在选修系列 4 中开设了 4﹣1,4﹣2,4﹣3, 4﹣4,4﹣5 共 5 个专题课程,要求每个学生必须且只能选修其中 1 门课程,设 A、B、C、D 是高三某班的 4 名学生. (1)求恰有 2 个专题没有被这 4 名学生选择的概率; (2)设这 4 名学生中选择 4﹣4 专题的人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望 E(ξ) . 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (1)每个学生必须且只需选修 1 门专题课程,每一人都有种选择,总共有 5 ,恰有 2 2 3 2 门专题课程没有被这 3 名学生选择的概率,则有 C5 C4 A3 ,从而求解; (2)某一专题课程被这 3 名学生选择的人数为ξ,则ξ=0,1,2,3,4,分别算出 P(ξ =0) ,P(ξ=1) ,P(ξ=2) ,P(ξ=3) ,P(ξ=4) ,再利用期望公式求解. 解答: 解: (1)根据每个学生必须且只需选修 1 门专题课程,每一人都有种选择,总共有 5 ,恰有 2 门专题课程没有被这 3 名学生选择的概率,则有 C5 C4 A3 , ∴恰有 2 门专题课程这 4 名学生都没选择的概率:P2= =
4 2 2 3 4

(2)设 A 专题课程被这 4 名学生选择的人数为ξ,则ξ=0,1,2,3,4 P(ξ=0)= = ,P(ξ=1)= = ,P(ξ=2)= = ,

P(ξ=3)= 分布列如下: ξ 0 1 2 3 4 P ∴Eξ=0×

=

,P(ξ=4)=

=

+1×

+2×

+3×

+4×

= .

点评: 本小题主要考查古典概型及其概率计算,考查取有限个值的离散型随机变量及其分 布列和均值的概念, 通过设置密切贴近现实生活的情境, 考查概率思想的应用意识和创新意 识. 19. 如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 与 DBFE 均为菱形, ∠DAB=∠DBF=60°, 且 FA=FC. AC 与 BD 相交于 O. (1)求证:FO⊥平面 ABCD; (2)求二面角 E﹣FA﹣B 的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间角. 分析: (1)根据线面垂直的性质定理即可证明 FO⊥平面 ABCD. (2)建立空间坐标系,利用向量法即可求二面角 E﹣FA﹣B 的余弦值; 解答: 证明: (1)∵四边形 ABCD 是菱形,∠DAB=∠DBF=60°,且 FA=FC.AC 与 BD 相交于 O. ∴△DBF 是等边三角形, ∵FA=FC,O 为 AC 中点, ∴FO⊥AC, ∵O 为 BD 中点, ∴FO⊥BD, ∴FO⊥平面 ABCD. (2)∵OA,OB,OF 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz, 设 AB=2,∵四边形 ABCD 是菱形,∠DAB=60°,∴BD=2, ∴OB=OD=1,OA=OF= , ∴O(0,0,0) ,A( ,0,0) ,B(0,1,0) , F(0,0, ) ,E(0,﹣2, ) , ∴ =(﹣ ,0, ) , =(﹣ ,1,0) , =(0,2,0) ,

设 =(x,y,z)为平面 AFE 的法向量, 则 ,即 ,令 z=1,得 =(1, ,1) ,

同理可得平面 AFE 的一个法向量为



则 cos<

>=

=

=



∵二面角 E﹣FA﹣B 是钝二面角, ∴二面角 E﹣FA﹣B 的余弦值为﹣ .

点评: 本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解,建立坐标系利用向量 法是解决空间角的常用方法.

20. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 x =2py (p>0)的准线方程为 y=﹣ ,过点 M (4, 0)作抛物线的切线 MA,切点为 A(异于点 O) ,直线 l 过点 M 与抛物线交于两点 P、Q,与直 线 OA 交于点 N. (1)求抛物线的方程; (2)试问 的值是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由.

2

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由抛物线的准线方程可得 p,进而得到抛物线方程; (2)求出函数的导数,求出切线的斜率,以及切线方程,联立切线方程和抛物线方程求得 切点 A,进而直线 OA 的方程,设出直线 PQ 的方程,联立抛物线方程运用韦达定理,求出 N 的纵坐标,代入所求式子化简即可得到定值 2. 解答: 解: (1)由题设知,﹣ =﹣ ,即 p=1, 所以抛物线的方程为 x =2y; (2)因为函数 的导函数为 y′=x,
2

设 A(x0,y0) ,则直线 MA 的方程为 y﹣y0=x0(x﹣x0) , 点 M(4,0)在直线 MA 上,所以 0﹣y0=x0(4﹣x0) , 联立直线与抛物线方程,解得 A(8,32) , 所以直线 OA 的方程为 y=4x. 设直线 PQ 方程为 x=my+4,P(x1,y1) ,Q(x2,y2) 2 2 联立直线与抛物线方程,得 m y +(8m﹣2)y+16=0, 所以 y1+y2=﹣ ,y1y2= .



,得 yN=



所以

=

=

?

=2 为定值.

点评: 本题考查抛物线的方程和性质,考查直线方程和抛物线方程联立,运用韦达定理, 以及导数的运用:求切线方程,考查运算能力,属于中档题. 21.已知函数 f(x)=mx﹣1﹣lnx. (1)若 f(x)≥0 对? x∈(0,+∞)恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)求证:对? n∈N ,
*

<e 均成立(其中 e 为自然对数的底数,e≈2.71828) .

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)f(x)≥0 等价于 m≥ 对? x∈(0,+∞)恒成立,求出右边的最大值,

即可求实数 m 的取值范围; (2)先证明(1+k)ln(1+k)﹣klnk<1+ln(1+k) ,代入,利用累加法,即可证明结论. 解答: (1)解:f(x)≥0 等价于 m≥ 令 g(x)= ,则 g′(x)=﹣ , 对? x∈(0,+∞)恒成立,

x∈(0,1) ,g′(x)>0,函数单调递增,x∈(1,+∞) ,g′(x)<0,函数单调递减, ∴g(x)max=g(1)=1, ∴m≥1; (2)证明:由(1)知 lnx≤x﹣1 对? x∈(0,+∞)恒成立,当且仅当 x=1 时取等号, ∴ln(1+ )< , ∴kln(1+k)﹣klnk<1, ∴(1+k)ln(1+k)﹣klnk<1+ln(1+k) , ∴2ln2﹣ln1<1+ln2, 3ln3﹣2ln2<1+ln3, … (1+n)ln(1+n)﹣nlnn<1+ln(1+n) , 累加得(1+n)ln(1+n)<n+(ln2+ln3+…+lnn)+ln(1+n) ∴nln(1+n)<n+ln(n!) , ∴ln(1+n)<1+ ln(n!) , ∴ln(1+n)﹣ln <1,

∴ln

<1,



<e.

点评: 本题是一道导数的综合题,利用导数求函数的单调区间,这里要对参数进行讨论, 解决恒成立问题,构造函数证明不等式,这些都是导数中常考的题型,初学者要多做些这方 面的习题.属于中档题. 请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题记分. 选修 4-1: 几何证明选讲 22.如图,已知 AD 是△ABC 的对角∠EAC 的平分线,交 BC 的延长线于点 D,延长 DA 交△ABC 的外接圆于点 F,连结 FB,FC. (1)求证:FB=FC; (2)若 FA=2,AD=6,求 FB 的长.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;推理和证明. 分析: (1)欲证 FB=FC,可证∠FBC=∠FCB.由 A、C、B、F 四点共圆可知∠FBC=∠CAD, 又同弧所对的圆周角相等,则∠FCB=∠FAB,而∠FAB=∠EAD,则∠FCB=∠EAD,AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线,得∠CAD=∠EAD,故∠FBC=∠FCB; (2)由(1)知,求 FB 的长,即可以转化为求 FC 的长,联系已知条件:告诉 FA 与 AD 的长 度,即可证△FAC∽△FCD. 解答: (1)证明:∵A、C、B、F 四点共圆 ∴∠FBC=∠DAC 又∵AD 平分∠EAC ∴∠EAD=∠DAC 又∵∠FCB=∠FAB(同弧所对的圆周角相等) ,∠FAB=∠EAD ∴∠FBC=∠FCB ∴FB=FC; (2)解:∵∠BAC=∠BFC,∠FAB=∠FCB=∠FBC ∴∠FCD=∠BFC+∠FBC=∠BAC+∠FAB=∠FAC ∵∠AFC=∠CFD, ∴△FAC∽△FCD ∴FA:FC=FC:FD ∴FB =FC =FA? FD=16, ∴FB=4. 点评: 本题主要考查了圆周角定理及相似三角形的判定.在圆中,经常利用同弧或者等弧 所对的圆周角相等来实现角度的等量转化. 还要善于将已知条件与所要求的问题集中到两个 三角形中,运用三角形相似来解决问题. 选修 4-4:坐标系与参数方程
2 2

23.已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为

极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是ρ=



(1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程; (2)若点 P 是曲线 C 上的动点,求 P 到直线 l 的距离的最小值,并求出 P 点的坐标. 考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 本题(1)可以先消参数,求出直线 l 的普通方程,再利用公式将曲线 C 的极坐标方 程化成平面直角坐标方程, (2) 利用点到直线的距离公式, 求出 P 到直线 l 的距离的最小值, 再根据函数取最值的情况求出 P 点的坐标,得到本题结论. 解答: 解: (1)∵ ,

∴x﹣y=1. ∴直线的极坐标方程为:ρcosθ﹣ρsinθ=1. 即 即 . ,






2



∴ρcos θ=sinθ, 2 ∴(ρcosθ) =ρsinθ 2 即曲线 C 的普通方程为 y=x . (2)设 P(x0,y0) , , ∴P 到直线的距离:

. ∴当 ∴此时 ∴当 P 点为 时, , 时,P 到直线的距离最小,最小值为 . ,

点评: 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为平面直角坐标方程、点到直线 的距离公式,本题难度不大,属于基础题. 选修 4-5:不等式选讲 24.已知 f(x)=|x+l|+|x﹣2|,g(x)=|x+1|﹣|x﹣a|+a(a∈R) . (Ⅰ)解不等式 f(x)≤5; (Ⅱ)若不等式 f(x)≥g(x)恒成立,求 a 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)f(x)=|x+l|+|x﹣2|表示数轴上的 x 对应点到﹣1 和 2 对应点的距离之和, 而﹣2 对应点到﹣1 和 2 对应点的距离之和正好等于 5, 3 对应点到﹣1 和 2 对应点的距离之 和正好等于 5,从而得到不等式 f(x)≤5 的解集. (Ⅱ) 由题意可得|x﹣2|+|x﹣a|≥a 恒成立, 而|x﹣2|+|x﹣a|的最小值为|2﹣a|=|a﹣2|, 故有|a﹣2|≥a,由此求得 a 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)=|x+l|+|x﹣2|表示数轴上的 x 对应点到﹣1 和 2 对应点的距离之 和, 而﹣2 对应点到﹣1 和 2 对应点的距离之和正好等于 5, 3 对应点到﹣1 和 2 对应点的距离之 和正好等于 5, 故不等式 f(x)≤5 的解集为[﹣2,3]. (Ⅱ)若不等式 f(x)≥g(x)恒成立,即|x﹣2|+|x﹣a|≥a 恒成立. 而|x﹣2|+|x﹣a|的最小值为|2﹣a|=|a﹣2|,∴|a﹣2|≥a, ∴(2﹣a) ≥a ,解得 a≤1,故 a 的范围(﹣∞,1]. 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了等价转化数学思想,属于中档题.
2 2



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