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2012届高三数学二轮复习名师精编资料精析:16 圆锥曲线的定义、性质和方程(一)(人教A) 教师版



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2012 届高三数学二轮复习名师精编资料精析:16 圆锥曲线的 定义、性质和方程(一)(人教 A) 教师版
★★★高考在考什么 【考题回放】 1.已知 AB 为过抛物线 y2=2px 焦点 F 的弦, 则以 AB 为直径的圆与抛物线的准线(B) A.相交 B.相切 C.相离 D.与

p 的取值有关 2. (江苏理)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线中心在原点,焦点在 y 轴上,一条渐近线 方程为 x-2y=0,则它的离心率为 ( A )
5

A. 5

B. 2

C. 3

D. 2

3.点 P(a,b)是双曲线 x2-y2=1 右支上一点,且 P 到渐近线距离为 2 ,则 a+b=(B )

A、-

B、

C、-2
x
2 2

D、2
? y b
2 2

?1

4. (湖南)设 F1 、F2 分别是椭圆 a

( a ? b ? 0 )的左、右焦点,若在其右准线

上存在 P 使线段 PF1 的中垂线过点 F2,则椭圆离心率的取值范围是( D )
? 2? ? 0, ? ? 2 ? A. ?
? 3? ? 0, ? ? 3 ? B. ? ? 2 ? ,? 1 ? ? 2 ? C. ?

? 3 ? ,? 1 ? ? 3 ? D. ?

5. (湖北理)双曲线

C1 :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 )

的左准线为 l,左焦点和右焦点分别为
F1 F2 ? M F1 M F2

F1 、F2;抛物线 C2 的准线为 l,焦点为 F2;C1 与 C2 的一个交点为 M,则 等于 ( A )
? 1 2 1

M F1

A. ? 1

B. 1

C.

D. 2

6. (全国一)抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A,AK?l,垂足为 K,则△AKF 的面积是( C) A.4 B. 3 3
x
2

C. 4 3
y
2

D.8

?

?1

7. (福建理)以双曲线 9 ( A )
第 1 页 共 13 页

16

的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆方程是

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A.x2+y2-10x+9=0 D.x2+y2+10x+9=0
x
2

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B.x2+y2-10x+16=0 C.x2+y2+10x+16=0

?

y

2

?1

8. (辽宁)设椭圆 2 5

16

上一点 P 到左准线的距离为 10,F 是该椭圆的左焦点,若点

???? ? ? 1 ??? ???? ???? ? O M ? (O P ? O F ) | O M |? 2 M 满足 ,则

2

★★★高考要考什么 【热点透析】 一、圆锥曲线的定义 1. 椭圆:到两个定点的距离之和等于定长(定长大于两个定点间的距离)的动点的轨迹 叫做椭圆。即:{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。 2. 双曲线:到两个定点的距离的差的绝对值为定值(定值小于两个定点的距离)的动点 轨迹叫做双曲线。即{P| ||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。 3. 圆锥曲线的统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比 e 是常数的点的轨迹叫做 圆锥曲线。当 0<e<1 时为椭圆:当 e=1 时为抛物线;当 e>1 时为双曲线。 二、圆锥曲线的方程。
x
2 2

?

y b

2 2

?1

y

2 2

?

x b y

2 2

?1

1.椭圆: a

(a>b>0)或 a
y b
2 2

(a>b>0) (其中,a2=b2+c2)
? x b
2 2

x

2 2

2 2

?

?1

?1

2.双曲线: a

(a>0, b>0)或 a

(a>0, b>0) (其中,c2=a2+b2)

3.抛物线:y2=± 2px(p>0) ,x2=± 2py(p>0) 三、圆锥曲线的性质 知识要点:
x
2 2

?

y b

2 2

?1

1.椭圆: a

(a>b>0) (2)顶点:(± a,0),(0,± b)
x ? ? a
2

(1)范围:|x|≤a,|y|≤b

(3)焦点:(± c,0)

(4)离心率:e=
x
2 2

∈(0,1)

(5)准线:

c

?

y b

2 2

?1

2.双曲线: a

(a>0, b>0) (2)顶点:(± a,0)
x ? ? a
2

(1)范围:|x|≥a, y∈R
e ? c a ∈(1,+∞)

(3)焦点:(± c,0)
y ? ? b a x

(4)离心率:

(5)准线:

c

(6)渐近线:

3.抛物线:y2=2px(p>0)
p

(1)范围:x≥0, y∈R
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(2)顶点: (0,0)

(3)焦点: 2 ,0) (

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p

(4)离心率:e=1

(5)准线:x=- 2

主要题型: (1)定义及简单几何性质的灵活运用; (2)求曲线方程(含指定圆锥曲线方程及轨迹方程) 。 ★★★突破重难点
x
2 2

?

y b

2 2

?1

【例 1】若 F1、F2 为双曲线 a

的左、右焦点,O 为坐标原点,点 P 在双曲线的左

支上,点 M 在双曲线的右准线上,且满足:
F1 O ? PM , OP ? ? ( OF 1 OF
1

?

OM OM

)
(? ? 0)



则该双曲线的离心率为( A. 2

) C. 2
OP ? ? ( OF 1 OF
1

B. 3

D.3
? OM OM )

解:由 F1 O ? PM 知四边形 F1OMP 是平行四边形,又

知 OP 平分∠F1OM,即 F1OMP 是菱形,设|OF1|=c,则|PF1|=c. 又|PF2|-|PF1|=2a, ∴|PF2|=2a+c,
e ? 2a ? c c ? 2 e ?1

由双曲线的第二定义知

,且 e>1,∴e=2,故选 C.

【例 2】 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图: 航天器运行 (按
x
2

?

y

2

?1

顺时针方向)的轨迹方程为 100

25

,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后

返回的轨迹是以 y 轴为对称轴、
D ( 8, 0 )

64 ? ? M ? 0, ? 7 ? ?

为顶点的抛物线的实线部分,降落点为

. 观测点 A ( 4 , 0 )、 B ( 6 , 0 ) 同时跟踪航天器.

(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程; (2)试问:当航天器在 x 轴上方时,观测点 A 、 B 测得离航天器的距离分别为多少时,应 向航天器发出变轨指令?
y ? ax
2

?

64 7

0 ? a ? 64 ?

64 7

解: (1)设曲线方程为



由题意可知,

.

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? a ? ? 1 7

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.
y ? ? 1 7
2

?

x

?

64 7

曲线方程为

.

(2)设变轨点为 C ( x , y ) ,根据题意可知
2 ? x2 y ? ? 1, ? ? 100 25 ? 1 64 ?y ? ? x2 ? , ? 7 7 ?

(1 ) (2)

2 得 4 y ? 7 y ? 36 ? 0 ,

y ? 4

y ? ?

9 4


y ? 4

(不合题意,舍去).

?

.

得 x ? 6 或 x ? ? 6 (不合题意,舍去).
? C

点的坐标为 ( 6 , 4 ) , | AC |? 2 5 , | BC |? 4 .

答:当观测点 A 、 B 测得 AC 、 BC 距离分别为 2 5、 4 时,应向航天器发出指令. 【例 3】如图 1,已知 A、B、C 是长轴为 4 的椭圆上三点,点 A 是长轴的一个顶点,BC 过
???? ???? ???? ???? BC ? 2 AC 椭圆中心 O,且 A C ? B C ? 0 , 。

(1)建立适当的坐标系,求椭圆方程; (2)如果椭圆上两点 P、Q 使直线 CP、CQ 与 x 轴围 成底边在 x 轴上的等腰三角形,是否总存在实数? 使
???? ??? ? PQ ? ? AB

?请给出证明。 图1

解: (1)以 O 为原点,OA 所在的直线为 x 轴建立如 图直角坐标系,则 A(2,0) ,椭圆方程可设为
x
2

?

y b

2 2

? 1( 0 ? b ? 2 )

4


????

而 O 为椭圆中心,由对称性知|OC|=|OB| 又 A C ? B C ? 0 ,所以 AC⊥BC 又
???? ???? BC ? 2 AC

????

,所以|OC|=|AC|,

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b ?
2

4 3 ,

所以△AOC 为等腰直角三角形, 所以点 C 坐标为 (1, 。 (1, 代入椭圆方程得 1) 将 1)
x
2

?

3y 4

2

?1

则椭圆方程为 4



(2)由直线 CP、CQ 与 x 轴围成底边在 x 轴上的等腰三角形,设直线 CP 的斜率为 k,则 直线 CQ 的斜率为-k,直线 CP 的方程为 y-1=k(x-1),直线 CQ 的方程为 y-1=-k(x-1)。由椭 圆方程与直线 CP 的方程联立,消去 y 得 (1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0① 因为 C(1,1)在椭圆上,所以 x=1 是方程①的一个根,于是
xP ? 3k ? 6 k ? 1
2

1 ? 3k

2

同理
?

xQ ?

3k ? 6 k ? 1
2

1 ? 3k

2

k PQ ?

y P ? yQ x P ? xQ

1 3

这样,

, 又 B(-1,-1) ,所以

k AB ?

1 3,

即 kAB=kPQ。所以 PQ∥AB,存在实数?使

???? ??? ? PQ ? ? AB



【例 4】如图,直线 l1 和 l2 相交于点 M,l1 ⊥l2,点 N∈l1.以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形, |AM|= 17 ,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线 C 的方程. 解法一:如图建立坐标系,以 l1 为 x 轴,MN 的垂直平分线为 y 轴,点 O 为 坐标原点. 依题意知:曲线段 C 是以点 N 为焦点,以 l2 为准线的抛线段的一段,其 中 A、B 分别为 C 的端点.设曲线段 C 的方程为 y2=2px (p>0),(xA≤x≤xB,y>0),其中 xA,xB 分别为 A,B 的横坐标, P=|MN|.
P P

所以 M (- 2 ,0),N ( 2 ,0). 由 |AM|= 17 ,|AN|=3 得
P

(xA+ 2 )2+2PxA=17,
P



(xA- 2 )2+2PxA=9.


4

由①、②两式联立解得 xA= P ,再将其代入①式并由 p>0 解得

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?p ? 4 ?p ? 2 ? ? ?xA ? 1或?xA ? 2 .

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P

因为△AMN 是锐角三角形,所以 2 >xA,故舍去 ∴ P=4,xA=1.
P

?p ? 2 ? ?xA ? 2



由点 B 在曲线段 C 上,得 xB=|BN|- 2 =4. 综上得曲线段 C 的方程为 y2=8x (1≤x≤4,y>0). 解法二:如图建立坐标系,分别以 l1、l2 为 x、y 轴,M 为坐标原点. 作 AE⊥l1,AD⊥l2,BF⊥l2,垂足分别为 E、D、F. 设 A (xA,yA)、B (xB,yB)、N (xN,0). 依题意有 xA=|ME|=|DA|=|AN|=3, yA=|DM|= xN=|AE|+|EN|=4.
AN
2

AM

2

? DA

2

=2 2 ,由于△AMN 为锐角三角形,故有

=|ME|+ =4 XB=|BF|=|BN|=6. 设点 P (x,y)是曲线段 C 上任一点,则由题意知 P 属于集合 {(x,y)|(x-xN)2+y2=x2,xA≤x≤xB,y>0}. 故曲线段 C 的方程 y2=8(x-2)(3≤x≤6,y>0).

? AE

2

第十七讲 圆锥曲线的定义、性质和方程(二)
x
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

【例 5】已知椭圆 a

的长、短轴端点分别为 A、B,从此椭圆上一点

M 向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 F1,向量 AB 与 OM 是共线向量。
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(1)求椭圆的离心率 e; (2)设 Q 是椭圆上任意一点, F1、F2 分别是左、右焦点,求∠F1QF2 的取值范围;
F 1 ( ? c , 0 ), 则 x M ? ? c , y M ? b
2

解: (1)∵
k AB ? ?

a ,∴

k OM ? ?

b

2

ac 。

b a

, OM 与 AB

?

b

2

? ?

b a ,∴b=c,故

e ?

2 2 。



是共线向量,∴

ac

F1 Q ? r1 , F 2 Q ? r2 , ? F1 Q F 2 ? ? ,

(2)设
cos ? ?

? r1 ? r2 ? 2 a , F1 F 2 ? 2 c ,

r1 ? r2 ? 4 c
2 2

2

?

( r1 ? r2 ) ? 2 r1 r2 ? 4 c
2

2

?

a

2

?1? (

a 2

2

2 r1 r2

2 r1 r2

r1 r2

r1 ? r2

?1 ? 0 )
2

当且仅当 r1 ? r 2 时,cosθ =0,∴θ
x
2

? [0,

?

] 2 。

?

y

2

?1

【例 6】设 P 是双曲线 4

16

右支上任一点.

(1)过点 P 分别作两渐近线的垂线,垂足分别为 E,F,求
| PE | ? | PF |

的值;

(2)过点 P 的直线与两渐近线分别交于 A、B 两点,且
AP ? 2 PB , 求 ? AOB

的面积.
x0 4
2

解: (I)设

P ( x 0 , y 0 ), 则

? 1 ? 4 x 0 ? y 0 ? 16
2 2

∵两渐近线方程为 2 x ? y ? 0 由点到直线的距离公式得
?| PF | ? | PF | ? | 4 x0 ? y0 |
2 2

?

16 5

.

5

(II)设两渐近线的夹角为 ? ,
则 tan ? ? |
4 5

2? 2 1? 4

|?

4 3

, cos ? ?

1 1 ? tan
2

?

?

3 5

,

? sin ? ?

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? ? AOB ? ? ? ? , 设 A ( x 1 , ? 2 x 1 ), B ( x 2 , 2 x 2 ), ?| OA | ? 5 x 1 , | OB | ? 5 x 2 , (? P 是 AB 的内分点 )

?| OA | ? | OB | ? 5 x 1 x 2 . 又 AP ? 2 PB , x1 ? 2 x 2 ? x0 ? , 2 2 ? x y ? 3 ?? 代入 ? ? 1, 2 x1 ? 4 x 2 4 16 ?y ? , ? 0 3 ? 得 ( x1 ? 2 x 2 ) 36
? x1 x 2 ? S ? AOB ? 9 2 1 2 | OA | ? | OB | sin( ? ? ? ) ? 1 2 ?5? 9 2 ? 4 5
8
2

?

( x1 ? 2 x 2 ) 36

2

? 1, 即

8 x1 x 2 36

? 1,

? 9

【例 7】 如图, 已知梯形 ABCD 中|AB|=2|CD|,点 E 分有向线段 AC 所成的比为 11 , 双曲线过 C、D、E 三点,且以 A、B 为焦点.求双曲线的离心率. 解:如图,以 AB 的垂直平分线为 y 轴,直线 AB 为 x 轴,建立直角坐标系 xOy,则 CD⊥y 轴. 因为双曲线经过点 C、D,且以 A、B 为焦点,由双曲线的对称性知 C、D 关于 y 轴对称.
c 1

依题意,记 A(-c,0),C( 2 ,h),B(c,0),其中 c 为双曲线的半焦距,c= 2 |AB|,h 是梯 形的高. 由定比分点坐标公式,得点 E 的坐标为
?c? xE ? 1? 8 11 8 11 ? c 2 ? ? 7 19 c yE ? 0? 8 11 1? 8 11
c a .

?h ?

8 19

h


x
2 2



?

y b

2 2

?1

e ?

设双曲线的方程为 a

,则离心率

由点 C、E 在双曲线上,得
?1 c h ? ? 2 ? 2 ? 1, ?4 a b ? 2 2 64 h ? 49 c ? 2 ? ? 2 ? 1. ? 361 b ? 361 a
2 2

① ② ②

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h
2 2

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c
2 2

?

1 4

?

c a

2 2

?1

? 9

e ?

c a

2 2

? 3

由①式得 b

代入②式得 a

所以,离心率

【例 8】已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大 值为 3,最小值为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径 的图过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.
x
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

解: (I)由题意设椭圆的标准方程为 a



由已知得: a ? c ? 3 , a ? c ? 1 ,? a ? 2 , c ? 1 ,
x
?b ? a ?c ? 3
2 2 2

2

? 椭圆的标准方程为 4

?

y

2

?1

3

(Ⅱ)设

A ( x1, y 1 )



B ( x 2, y 2 )



? y ? k x ? m, ? 2 2 ?x y ? ? 1. ? 3 ? 4 联立

得 (3 ? 4 k ) x ? 8 m kx ? 4 ( m ? 3) ? 0 ,
2 2 2

? ? ? ? 6 4 m 2 k 2 ? 1 6 (3 ? 4 k 2 )( m 2 ? 3) ? 0, 即 3 ? 4 k 2 ? m 2 ? 0, 则 ? 8m k ? , ? x1 ? x 2 ? ? 2 3 ? 4k ? 2 ? 4 ( m ? 3) x1 ? x 2 ? . ? 2 3 ? 4k ?
y 1 y 2 ? ( k x1 ? m )( k x 2 ? m ) ? k x1 x 2 ? m k ( x1 ? x 2 ) ? m
2 2

?

3( m ? 4 k )
2 2



3 ? 4k

2



0 因为以 A B 为直径的圆过椭圆的右顶点 D ( 2,) ,
y1 ? y2 x2 ? 2 ? ?1

? k AD k BD ? ? 1
3( m ? 4 k )
2 2

,即
?

x1 ? 2
2



? y 1 y 2 ? x1 x 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ) ? 4 ? 0



?

4 ( m ? 3) 3 ? 4k
2

3 ? 4k

2

?

16m k 3 ? 4k
2

?4 ? 0

,? 7 m ? 1 6 m k ? 4 k ? 0
2 2

解得:

m1 ? ? 2 k



m2 ? ?

2k 7 ,且均满足 3 ? 4 k ? m
2 2

? 0,

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m1 ? ? 2 k
2k

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0 时, l 的方程为 y ? k ( x ? 2 ) ,直线过定点 ( 2, ) ,与已知矛盾;



m2 ? ?

2? ? ?2 ? y ? k?x? ? 0 ? ,? 7? ? 7 时, l 的方程为 ,直线过定点 ? 7 ?

?2 ? 0 ? ,? l 过定点,定点坐标为 ? 7 ? 所以,直线

★★★自我提升
x
2

1.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 3 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另 外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是(C ) (A)2 3 (B)6 (C)4 3 (D)12
2x

2.如果双曲线的两个焦点分别为 F1 ( ? 3 , 0 ) 、 F 2 ( 3 , 0 ) ,一条渐近线方程为 y ? 它的两条准线间的距离是( C ) A. 6 3 B. 4 C. 2 D. 1

,那么

3.抛物线 y=4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( B)
17
15 7

( A ) 16

(B)

16

(C) 8
6

(D)0

e ?

4.双曲线的虚轴长为 4,离心率

2 ,F1、F2 分别是它的左,右焦点,若过 F1 的直线

与双曲线的左支交于 A、B 两点,且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项,则|AB|为(A). A、 8 2 B、 4 2 C、 2 2 D、8

5.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭
y2 x2 ? ?1 1 6 4

圆的标准方程是



6.过椭圆左焦点 F,倾斜角为 60?的直线交椭圆于 A、B 两点,若|FA|=2|FB|,则椭圆的离 心率为( B )
2
2 1

2

(A)

3

(B) 3

(C) 2

(D) 2

7.椭圆

+

=1 的离心率 e=

,则 m=___________m=8 或 2。

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x
2 2

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?

y b

2 2

?1

8. F1、F2 是椭圆 a

(a>b>0)的两焦点,过 F1 的弦 AB 与 F2 组成等腰直角三
6 ? 3

角形 ABF2,其中∠BAF2=900,则椭圆的离心率是________

9.已知椭圆 E 的离心率为 e,左、右焦点为 F1、F2,抛物线 C 以 F2 为焦点,F1 为其顶点,

若 P 为两曲线的公共点,且 e|PF2|=|PF1|,则 e=__________。 10.如图,已知三点 A(-7, 0),B(7,0),C(2,-12). ① 若椭圆过 A、B 两点,且 C 为其一焦点, 求另一焦点 P 的轨迹方程; ② 若双曲线的两支分别过 A、B 两点,且 C 为其一 焦点,求另一焦点 Q 的轨迹方程。 解析:①由椭圆定义知,|AP|+|AC|=|BP|+|BC|,

即 故 P 的轨迹为 A(-7,0) 、B(7,0)为焦点实轴长为 2 的双曲线的一支,

其方程为



② 经讨论知,无论 A 在双曲线的哪一支上, 总有|QA|+|QB|=|AC|+|BC|=28>|AB|=14 故点 Q 的轨迹为以 A(-7,0) 、B(7,0)为焦点长轴长为 28 的椭圆,

其方程为
x
2 2


? y b
2 2

?1

11.如图,A 为椭圆 a

(a ? b ? 0)

上的一个动点,弦 AB、AC 分别过焦点 F1、

F2.当 AC 垂直于 x 轴 时,恰好|AF1|:|AF2=3:1 (I)求该椭圆的离心率;

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(II)设 AF 1 ? ? 1 F1 B , AF 2 ? ? 2 F 2 C ,试判断?????是否为定值?若是,则求出该定值; 若不是,请说明理由. 解: (I)当 A C 垂直于 x 轴时,
A F1 : A F 2 ? 3 : 1
3a 2 ,

y A , F1 B
2

,由

A F1 ? A F 2 ? 2 a
a 2
2



A F1 ?

A F2 ?

O

F2 C

x

在 Rt△

A F1 F 2
2

中,

A F1

? A F2

? (2c)

2

解得 e = 2 .
2

b

?

a

2

?c a

2

?

1? e

2

?

2 2 ,b ? c .
x
2 2

(II)由 e = 2 ,则 a

焦点坐标为
2

F1 ( ? b, ), F 2 ( b, ) 0 0
2 2

?

y b

2 2

?1

,则椭圆方程为 2 b



化简有 x ? 2 y ? 2 b . 设
A ( x 0, y 0 )



B ( x1, y 1 ), C ( x 2, y 2 )


y ? y0 x0 ? b
2

(x ? b)

①若直线 AC 的斜率存在,则直线 AC 方程为 代入椭圆方程有
(3b
2

? 2 bx 0 ) y
2

2

? 2 by 0 ( x 0 ? b ) y ? b y 0
2

2

? 0



y0 y2 ? ?

b y0 3b
2

由韦达定理得:
?2 ?
AF
2

? 2 bx 0

y2 ? ?

b y0 3b
2

2

,∴

? 2 bx 0
3b ? 2 x 0 b

?

y0 ? y2

?

3b ? 2 x 0 b

所以

F2C
6b

,同理可得

?1 ?

? 3b ? 2 x 0 ?b

?

? 6

故?????= b


?1 ?
3b ? 2 b b ? 5

②若直线 AC ? x 轴, ∴?????=6.
第 12 页 共 13 页

x0 ? b

,?2 ? 1,

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综上所述:?????是定值 6.
x
2 2

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?

y b

2 2

?1

12.已知椭圆 a

(a>b>0)上两点 A、B,直线 l : y ? x ? k 上有两点 C、D,

且 ABCD 是正方形。此正方形外接圆为 x2+y2-2y-8=0,求椭圆方程和直线 l 的方程。 解:圆方程 x2+y2-2y-8=0 即 x2+(y-1)2=9 的圆心 O' (0,1) ,半径 r=3。 设正方形的边长为 p,则 2 p ? 2 r ,∴ p ? 3 2 ,又 O'是正方形 ABCD 的中心,∴O'
3 2

到直线 y=x+k 的距离应等于正方形边长 p 的一半即 2 或 k=4。 (1)设 AB:y=x-2 CD:y=x+4 由 y=x-2 x2+y2-2y-8=0
x
2 2

,由点到直线的距离公式可知 k=-2
D y

C

A O' O x

?

y b

2 2

?1

得 A(3,1)B(0,-2) ,又点 A、B 在椭圆 a
x
2

上,

B

?

y

2

?1

∴a2=12,b2=4,椭圆的方程为 12

4



(2)设 AB:y=x+4,同理可得两交点的坐标分别为(0,4)(-3,1)代入椭圆方程得 ,
a
2

?

48 5

, b

2

? 16

,此时 b2>a2(舍去) 。
x
2

?

y

2

?1

综上所述,直线 l 方程为 y=x+4,椭圆方程为 12

4



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