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必修4第二章平面向量复习题(含答案)



《必修 4》第二章“平面向量”复习题与答案
一、选择题 1.有下列四个表达式: ①|a+b|=|a|+|b|; 其中正确的个数为( A.0 ②|a-b|=± (|a|-|b|); ) B.2 ) B B.a=(4,10)与 b=(-2,-5)方向相反 D.a=(2,4)与 b=(-3,1)的夹角为锐角 A C.3 D.4 ③a2>|a|2; ④|a· b|=|a|

· |b|.

2.下列命题中,正确的是(

A.a=(-2,5)与 b=(4,-10)方向相同 C.a=(-3,1)与 b=(-2,-5)方向相反 → → → 3.若AB=(2,4),AC=(1,3),则BC=( A.(1,1) B.(-1,-1) )B

C.(3,7)

D.(-3,-7) )C

4.若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)· c=30,则 x=( A.6 B.5 C.4 D.3

5.设单位向量 e1,e2 的夹角为 60° ,则向量 3e1+4e2 与向量 e1 的夹角的余弦值为( 3 A. 4 5 B. 37 25 C. 37 D. 5 37 ) C D.(-2,4)

)D

1 3? 6.点 B 为线段 AC 的中点,且 A (-3,1),B? ?2,2?,则 C 点坐标为( A.(1,-3) 二、填空题 5 5 - , ? B.? ? 4 4? C.(4,2)

7.已知向量 a、b 不共线,实数 x,y 满足 5xa+(8-y)b=4xb+3(y+9)a, 则x? 3 ,y ?4

8.已知 a=(2cosθ,2sinθ),b=(3, 3),且 a 与 b 共线,θ∈[0,2π), π 7 则 θ=_____. 或 π 6 6 9.假设|a|=2 5,b=(-1,3),若 a⊥b, 则 a=________.(3 2, 2)或(-3 2,- 2) 10.给出下列命题 ①若 a 与 b 为非零向量,且 a∥b,则 a+b 必与 a 或 b 的方向相同;

②若 e 为单位向量,且 a∥e,则 a=|a|e; ③a· a· a=|a|3; ④若 a 与 b 共线,又 b 与 c 共线,则 a 与 c 必共线; → → → → ⑤若平面内有四点 A、B、C、D,则必有AC+BD=BC+AD. 其中正确命题的个数是 1

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 11.已知|a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60° ,c=3a+5b,d=ma-3b. (1)当 m 为何值时,c 与 d 垂直? (2)当 m 为何值时,c 与 d 共线? 解:(1)令 c· d=0, 则(3a+5b)· (ma-3b)=0, 即 3m|a|2-15|b|2+(5m-9)a· b=0

3m ? 9 ?15 ? 4 ? (5m ? 9) ? 3? 2 ? cos60 ? 0
27m ? 60 ? 15m ? 27 ? 0 42 m? 87
29 解得 m= . 14 29 故当 m= 时,c⊥d. 14 (2)令 c=λd, 则 3a+5b=λ(ma-3b) 即(3-λm)a+(5+3λ)b=0, ∵a,b 不共线,
? ?3-λm=0, ∴? ?5+3λ=0. ?

?λ=-3, 解得? 9 ?m=-5.
9 故当 m=- 时,c 与 d 共线. 5

5

→ 12.已知在△ABC 中,A(2,-1)、B(3,2)、C(-3,-1),AD 为 BC 边上的高,求|AD|与点 D 的坐标. 解:设 D 点坐标为(x,y), → 则AD=(x-2,y+1), → BC=(-6,-3), → BD=(x-3,y-2),

→ → ∵D 在直线 BC 上,即BD与BC共线, → → ∴存在实数 λ, 使BD=λBC, 即(x-3,y-2)=λ(-6,-3)
? ?x-3=-6λ, ∴? ?y-2=-3λ. ?

∴x-3=2(y-2). 即 x-2y+1=0.① 又∵AD⊥BC, → → ∴AD· BC=0, 即(x-2,y+1)· (-6,-3)=0, ∴-6(x-2)-3(y+1)=0.

?6 x ? 3 y ? 9 ? 0 2x ? y ? 3 ? 0
? ?x=1, 由①②可得? ?y=1. ?



→ ∴|AD|= ?1-2?2+22= 5, → 即|AD|= 5, D(1,1).

13.已知三个点 A(2,1),B(3,2),D(-1,4). → → (1)求证:AB⊥AD; (2)要使四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标,并求矩形 ABCD 两对角线所夹锐角的余 弦值.

解:(1)证明:A(2,1),B(3,2),D(-1,4). → ∴AB=(1,1), → AD=(-3,3).

→ → 又∵AB· AD=1×(-3)+1×3=0, → → ∴AB⊥AD. → → (2)∵AB⊥AD,若四边形 ABCD 为矩形, → → 则AB=DC. 设 C 点的坐标为(x,y), 则有 (1,1)=(x+1,y-4),

? ?x+1=1, ∴? ?y-4=1, ? ?x=0, ? ∴? ?y=5. ?

∴点 C 的坐标为(0,5). → → 由于AC=(-2,4),BD=(-4,2), → → → → ∴AC· BD=(-2)×(-4)+4×2=16,|AC|=2 5,|BD|=2 5. 设对角线 AC 与 BD 的夹角为 θ, → → AC· BD 16 4 则 cosθ= = = >0. → → 20 5 |AC||BD| 4 故矩形 ABCD 两条对角线所夹锐角的余弦值为 . 5



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