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直线与圆锥曲线的位置关系l练习



同步

直线与圆锥曲线的位置关系练 习
1、 直线 l 被圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 截得的线段长为2, 将直线 l 沿向量 a ? (?3,4) 平移后 被该圆截得的线段的长仍为2,则直线 l 的方程为( )
2 2

A 4x ? 3 y ? 2 ? 0

B 3x ?

4 y ? 5 ? 0

C 4x ? 3 y ? 2 ? 0

D 3x ? 4 y ? 5 ? 0

2、若直线 y ? x ? t 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1 相交于 A,B 两点,当 t 变化时, | AB | 的最大值是( 4
C



A 2

B

4 5 5

4 10 5

D

2 10 5

3、若双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的右支上一点 P (a, b) 到直线 y ? x 的距离为 2 ,则 a ? b ? ______.

C 为 AB 的中点, 4、 椭圆 ax 2 ? by 2 ? 1与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于 A, B 两点, 若 AB ? 2 2, O
为坐标原点, OC 斜率为 5、 F1 , F2 是椭圆

2 ,则 a , b 的值分别为_____________. 2

x2 y 2 ? ? 1 的左,右焦点,把向量 F1F2 绕 F1 逆时针旋转 60°得到 F1 A a 2 b2


A 点在 y 轴上,且 F1 A 的中点 M 在椭圆上,则椭圆的离心率为( A、

1 2

B、

2 2

C

2? 3

D

3 ?1

6、过 M(-2,0)的直线 l 与椭圆 x2 ? 2 y 2 ? 2 交于 P1、P2 两点,线段 P1P2 的中点为 P,设直线 l 的斜率为 k1,(k1≠0),直线 OP 的斜率为 k2,则 k1·k2 的值等于( ) A. 2 B.-2 C.

1 2

D. ?

1 2

x y x y 7、已知 a ? ( , ), b ? ( ,? ) ,双曲线 a ? b ? 1 上一点 M 到 F(7,0)的距离为 11,N 是 MF 5 2 6 5 2 6

的中点,O 为坐标原点,则|ON|=(



11 21 1 1 21 B、 D、 或 C、 2 2 2 2 2 8、已知 F1、F2 是两个定点,椭圆 C1 和等轴双曲线 C 2 都以 F1、F2 为焦点,点P是 C1 和 C 2 的一
A、
个交点,且 ?F1 PF2 ? 90 ,那么椭圆 C1 的离心率是(
0



6 3 2 2 2 B. C. D. 3 2 2 3 ? x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点为 F1、 9、 双曲线 F2, 点 P 在双曲线上, 且直线 PF1、 PF2 倾斜角之差为 , 3 9 16
A. 则△PF1F2 的面积是_____. 10、已知椭圆 C 的焦点分别是 F1 (?2 2,0), F2 (2 2,0), 长轴长为 6,设直线 y=x+2 交椭圆 C 于 A、B 两点,则线段 AB 的中点坐标为 . 11、已知点 P 是直线 l : 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点,PA、PB 是圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的两
2 2

1

同步

条切线,A、B 是切点,C 是圆心,那么四边形 PACB 的面积最小值是____. 12、设直线 y ? kx ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? kx ? my ? 4 ? 0 交于 M , N 两点,且 M , N 关于

?kx ? y ? 1 ? 0 ? 直线 x ? y ? 0 对称,求不等式组 ?kx ? m y ? 0 表示平面区域的面积。 ?y ? 0 ?
13、一船在水面上的高度为 5 米,船顶宽 4 米.现要通过一抛物线型桥洞,该抛物线方程为

x 2 ? ?8 y ,测得河面宽 10 米(河面宽与桥洞宽相同),问:该船能否通过桥洞?请说明理由.若
不能,只得等落潮退水。当河面宽至少为多少米时,该船才能通过桥洞?(精确到 0 . 1 米) .

14、直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的左支交于 A、B 两点,直线 l ′过定点 P(-2,0)且过弦 AB 的中点 M,求直线 l′在 y 轴上的截距 b 的取值范围.

15、 F1 , F2 分别是椭圆

? x2 ? y 2 ? 1的左、右焦点,过 F1 作倾斜角 的直线与椭圆交于 P, Q 两 3 2

点,求 ?F2 PQ 的面积. 16、对于椭圆 x ?
2

y2 ? 1,是否存在存直线 l ,使 l 与椭圆交于不同的两点 M , N ,且线段 MN 9

恰好被直线 x ?

1 ? 0 平分,若存在,求出 l 的倾斜角的范围,若不存在,请说明理由. 2

17、 (苏州二模卷)已知O为坐标原点, OA ? (?4,0), AB ? (8,0) ,动点 P 满足关系

PA ? PB ? 10 , (1)求 PA ? PB 的最小值。 (2)若 Q(1,0) ,试问动点 P 的轨迹上是否存在
M , N 两点,满足 NQ ?
4 QM ,若存在,求出 M , N 两点的坐标;若不存在,请说明理由。 3

18、已知椭圆的一个顶点是 A(0,?1) ,焦点在 x 轴上,其右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离 为3,试问是否存在一条斜率为 k (k ? 0) ,且在 y 轴上的截距为2的直线 l ,使 l 与已知椭圆 交于不同的两点 M , N ,设 MN 的中点为 P ,且有直线 AP 到直线 l 的角的正切为 求出 k 的值,若不存在请说明理由。

2 。若存在, k

2

同步

练习 1、A 1、 D ; 5、 16 3 2、C 3、

1 2

4、 ,

2、 D ; 6、 ( ? , )

1 2 3 3 3、 B ;

4、 A ;

9 1 7、 2 2 5 5 8、解析:直线 y ? kx ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? kx ? my ? 4 ? 0 交于 M , N 两点,且 M , N 关于

?x ? y ?1 ? 0 ? 直线 x ? y ? 0 对称,所以 k ? 1 ,又圆心在直线上 x ? y ? 0 ,所以 m ? ?1 , ? x ? y ? 0 表 ?y ? 0 ?
示平面区域的面积为

1 。 4
25 米,因为船高已经是 5 米,所以船无法通过,要船通过此桥, 8

9、解析:一抛物线型桥洞,该抛物线方程为 x 2 ? ?8 y ,测得河面宽 10 米(河面宽与桥洞宽相 同),此时河面与拱顶的距离为

1 x 2 ? 8 ? (5 ? ) ,则河面宽至少为 4 11 2 ? y ? kx ? 1 10、解析: ? 2 ? (1 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 2 ? 0 ,直线 l 与左支交于两点。 2 ?x ? y ? 1
?1 ? k 2 ? 0 ? ?? ? 0 ∴? ,解得 1 ? k ? x ? x ? 0 1 2 ? ? x1 x 2 ? 0 ?

2 ,又设
x1 ? x2 k 1 ? , y0 ? 2 2 1? k 1? k 2

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ), ? x0 ?

k PM

1 ?0 2 2 1 1 / 1 ? k ( x ? 2) ,? b ? ,所以 l : y ? , ? ? 2 2 k k ? 2 ? 2k 2 k ? 2 ? 2k k ? 2 ? 2k ?2 1? k 2

由于 1 ? k ?

2 ,∴ b ? ?2 ? 2 或 b ? 2 . 2 2 例 1、解:直线为 y ? 3( x ? 1) ,与椭圆 x ? 2 y ? 2 联立方程组,消去 y ,得到一个有关 x 的 1 2 | 代入计算得 一 元 二 次 方 程 7 x ? 12 x ? 4 ? 0 , 又 S ?F2 P Q ? ?2 ?| y 1 ? y2 | ? 3 | x 1 ?x 2 , 2 4 6 S?F2PQ ? 7
〖教学建议〗 :联立方程组得到一元二次方程后,要注意检验△是否大于零;求弦长、求高,思 路虽清晰,但要让学生踏踏实实地运算,培养合理运算的能力和细心运算的习惯.
3

同步

例 2、解:若直线的倾斜角为 90°时,这样的点 M,N 不存在。

x ? b ? y ?k ? 2 若直线的倾斜角不为 90°时, 设直线为 y ? kx ? b , 则? 2 y 消去 y , 得到一个有关 x 的 ?1 ?x ? 9 ? 2 2 2 N 分别 ( x1, y1 ),( x2 , y2 ) ,因为线段 MN 恰 一元二次方程 (9 ? k ) x ? 2kbx ? b ? 9 ? 0 ,设 M , 1 2kb ? 1 ,又因为直线与椭圆必须有两个交 好被直线 x ? ? 0 平分,所以 x1 ? x2 ? ?1 ,即 9 ? k2 2 2 2 2 点,所以△>0, k ? b ? 9 ? 0 ,将上式代人得 k ? 3 ,所以 ? ? ? 2? k ? ? 3或k ? 3 ,直线的倾斜角为 ( , ) ? ( , ) 3 2 2 3
〖教学建议〗 :1、设直线方程时一定要注意倾斜角为 90°时的情况。2、解析几何中一个等式 和一个不等式在求范围时经常遇到,只需将等式代入不等式即可。 例 3、 (I)解: P 点的轨迹方程是

x2 y2 ? ? 1, A(?4,0), B(4,0) 25 9

16 2 y P ,又 y P ? ?? 3,3? ,所以 ( PA? PB) min ? ?7 9 (Ⅱ)解:由题意知 M , N , Q 共线,设 M , N , Q 所在直线为 l ,当 k 不存在时,不成立 当 k 存在时,设 l : y ? kx ? b ,过点 Q(1,0),? k ? b ? 0 ,又椭圆与直线联立方程得 PA ? PB ? 9 ?

?(25k 2 ? 9) y 2 ? 18by ? 9b 2 ? 225k 2 ? 0 9 ? 2 由韦达定理,消去 y M , y N ,得 k ? ?4 25 ? yM ? ? y N ?3 3 3 9 12 当 k ? 时, b ? ? , M (4, ), N (?3,? ) 5 5 5 5 3 3 9 12 当 k ? ? 时, b ? , M (4,? ), N (?3, ) 5 5 5 5
〖教学建议〗 :应用圆锥曲线的定义求轨迹问题要注意定义本身的条件限制。在解决线段长度 关系时,可以转化为坐标关系,再用一元二次方程求解。 例 4、解: 设椭圆的右焦点是 (c,0) ,则

c?2 2 2

? 3,? c ? 2 ,又 b ? 1 ,所以

x2 ? y 2 ? 1 ,设 l : y ? kx ? 2 ( k ? 0 )与椭圆联立 3 12 k 6k (13k 2 ? 1) x 2 ? 12 kx ? 9 ? 0, x1 ? x 2 ? ? ,所以p点的横坐标 x p ? ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 2 1? k 2 1 ? 3k 2 2 5 yp ? ? ,k ? ,又 A(0,?1) ,? k AP ? ? , tan? ? 2 3 1 ? 3k 2k k 5 k ?k

a ? 3 ,椭圆

代入检验“△”无解。 〖教学建议〗 :1、直线与圆锥曲线的位置关系中,要理解中点弦问题的常规解法。 以及所要注意的解题要点。

4



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