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湖北省八校2015届高三第二次联考数学(文)试卷 word版含答案



湖北省 八校 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 荆 州 中 学 2015 届高三第二次联考 数学试题(文科)
命题学校:黄冈中学 命题人:胡小琴 考试时间:2015 年 4 月 1 日 下午 15:00—17:00 审题人:曾建民 试卷满分:150 分

鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 华师一附中

一、选择题:本大题共 10 小题,每

小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A = { , B ? {4}, A 1 , 3 , zi}(其中 i 为虚数单位) 数为 A. -2i B. 2i C. -4i D. 4i

B ? A ,则复数 z 的共轭复

? y ≤ 2x ? 2.若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 1 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? y ≥ ?1 ?
A. ?

5 2

B. 0

C.

5 3

D.

5 2

3.从某校高三年级中随机抽取一个班,对该班 50 名学生的高校招生体检 表中的视力情况进行统计,其结果的频率分布直方图如图所示,若某高 校 A 专业对视力的要求在 0.9 以上,则该班学生中能报 A 专业的人数为 A.10 B.20 C.8 D.16 4. 已知 ?ABC 中, 内角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c , 若A? 则

? ac o s B ,c ? 1 , , 且b ? 2 3

?ABC 的面积等于
A.

3 4

B.

3 2

C.

3 6

D.

3 8

5.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题: 把 100 个面包分给 5 个人,使每个人的所得成等差数列,且使较大的三 份之和的

5 A. 2
A.

1 是较小的两份之和,则最小一份的量为 7 5 5 5 B. C. D. 4 3 6
B. 16 ? C. 8?
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2 正视图 1 1
3

侧视图

6.已知某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的外接球的表面积等于

7 ? 3

D.

28 ? 3

俯视图

第 6 题图

7 . 将 一 枚 骰 子 先 后 抛 掷 两 次 得 到 的 点 数 依 次 记 为 a , b , 则 直 线 a x ? b y? 0 与 圆

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2
无公共点的概率为 A.

1 6

B.

5 12

C.

7 12

D.

2 3

8.下列命题为真命题的是 A.已知 a,b ? R ,则“

a 2 ? b2 ≤ ?2 ”是“ a ? 0且b ? 0 ”的充分不必要条件 ab

B.已知数列 {a n } 为等比数列,则“ a 1 ? a 2 ? a 3 ”是“ a 4 ? a 5 ”的既不充分也不必要 条件 C.已知两个平面 ? , ? ,若两条异面直线 m,n 满足 m ? ?,n ? ? 且 m ∥ ? , n ∥ ? , 则 ?∥? D. ?x0 ? (-?, 0) ,使 3
x0

? 4 x 0 成立

9. 对于函数 f ( x ) , 若存在区间 A ? [m,n] , 使得 ?y | y ? f ( x),x ? A? ? A , 则称函数 f ( x ) 为“可等域函数” ,区间 A 为函数 f ( x ) 的一个“可等域区间” .下列函数中存在唯一“可 等域区间”的“可等域函数”为 A. f ( x) ? sin(
x

? x) 2

B. f ( x ) ? 2 x - 1
2

C. f ( x) ? 2 ? 1
2

D. f ( x) ? log 2 (2 x ? 2)

10.已知二次函数 y ? ax ? bx ? c ? ac ? 0? 图象的顶点坐标为 (-

b 1 ,- ) ,与 x 轴的交 2a 4a

点 P , Q 位于 y 轴的两侧, 以线段 PQ 为直径的圆与 y 轴交于 F1 (0, 4) 和 F2 (0,-4) ,则点

(b,c) 所在曲线为
A. 圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置 上.答错位置、书写不清、模棱两可均不得分. 11 . 设 向 量 a ? (2, ?1) , b ? (3, 4) , 则 向 量 a 在 向 量 b 方 向 上 的 投 影 为 . 开始

S ?0

12.已知 ? 为钝角,且 cos(

?

3 ? ? ) ? ? ,则 sin 2? = 2 5



k ?0
5 S? ? 6

输出 k 结束

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否 k ? k ?1

1 S?S? f (k )

13.设函数 f ( x) ? ?

x ? 1 ?2 , ( x ≤ 0) ,则方程 f ( x) ? 的解集为 2 ? ? log 2 x , ( x ? 0)



14.已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,准线为直线 l ,过抛物线上一点 P 作 PE ? l 于 E ,若 直线 EF 的倾斜角为 150 ,则 | PF |?
o



15.已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax 的图象在点 A(1 ,f (1)) 处的切线与直线

x ? 3 y ? 2 ? 0 垂直,执行如图所示的程序框图,输出的 k 值是



16 .在 (1, ;②当 2 ≤ x ≤ 4 时, ? ? ) 上的函数 f (x) 满足:① f (2x)=cf ( x)(c 为正常数)
2 , 若函数 f (x) 的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上, 则c f (x)=1? (x ? 3)

等于__________. 17.若集合 A 具有以下性质:① 0 ? A , 1 ? A ;②若 x, y ? A ,则 x ? y ? A ;且 x ? 0 时,

1 ? A, x
则称集合 A 是“完美集” .给出以下结论: ①集合 B ? ??1,0,1? 是“完美集” ; ②有理数集 Q 是“完美集” ; ③设集合 A 是“完美集” ,若 x , y ? A ,则 x ? y ? A ; ④设集合 A 是“完美集” ,若 x , y ? A ,则必有 xy ? A ; ⑤对任意的一个“完美集” A ,若 x, y ? A ,且 x ? 0 ,则必有 其中正确结论的序号是 .

y ? A. x

三、解答题:本大题 5 小题,共 65 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ?) (其中 A ? 0, ? ? 0, ? ? 把函数 f ( x ) 的图象向右平移 到函数 y ? g ( x) 的图象. (Ⅰ )求函数 y ? g ( x) 的表达式; (Ⅱ ) 已 知 ?ABC 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且 c ? 3, g (C ) ? 0 . 若 向 量

? )的图象如图所示, 2

? 个单位,再向下平移 1 个单位,得 4

m ? (1,sin A) 与 n ? (2,sin B) 共线,求 a, b 的值.

第 - 3 - 页 共 12 页

19.(本小题满分 12 分) 数列 {a n } 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 ,数列 {b n } 满足 b n ? a n?1 ? (?1) n a n , n ? N ? . (Ⅰ )若数列 {a n } 是等差数列,求数列 {b n } 的前 100 项和 S 100 ; (Ⅱ )若数列 {b n } 是公差为 2 的等差数列,求数列 {a n } 的通项公式.

20.(本小题满分 13 分) D , C E ? A于 D E , BF ? AD 于 F , 且 如 图 , 梯 形 A B C中 AF ? BF ? BC ? 1, DE ? 2 ,现将 ?ABF , ?CDE 分别沿 BF 与 CE 翻折,使点 A 与 D 点 重合,点 O 为 AC 的中点,设面 ABF 与面 CDE 相交于直线 l , l (Ⅰ )求证: l / / CE ; A (Ⅱ)求证: OF ? 面 ABE . A F E D F E B C B C

O

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?

ln x ? 1 , x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间,并判断是否有极值; (Ⅱ)若对任意的 x ? 1 ,恒有 ln( x ? 1) ? k ? 1≤ kx 成立,求 k 的取值范围; (Ⅲ)证明:

ln 2 ln 3 ln n 2n 2 ? n ? 1 ( n ? N ? ,n ≥ 2 ) . ? ? ....... ? ? 22 32 n2 4(n ? 1)

22. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,若椭圆 C 上的一动点到右焦点的最短距离为 a 2 b2
a2 的距离等于短半轴的长.已知点 P ? 4,0? ,过 P 点的直 c
第 - 4 - 页 共 12 页

2- 2 ,且右焦点到直线 x ?

线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点,点 T 与点 M 关于 x 轴对称. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )求 OM ON 的取值范围; (Ⅲ )证明:直线 TN 恒过某定点.

湖北省 八校 2015 届高三第二次联考 数学试题(文科)参考答案
一、选择题 二.填空题

鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 荆 州 中 学 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 华师一附中

1-5

DCBAC

6-10
2 2

DBCBB

11. 15. 6

2 5

12. -

24 25

13. { -1, ,2 } 17
②③④⑤

14.

4 3

16. 1或2

1.【解析】选 D .由 A ? B = A ,可得 B ?A ,即得 zi ? 4 , z ? ?4i , z 的共轭复数为 4i 2.【解析】选 C .线性约束区域如下图, z ? x ? 2 y 看作是 y ? ?

1 z x ? ,当经过 y = 2x 与 2 2

1 2 5 x ? y ? 1 的交点 ( , ) 时, z 取最大值 . 3 3 3

3.【解析】选 B .满足条件的有 3 组:视力在 0.9 到 1.1;视力在 1.1 到 1.3;视力在 1.3 到 1.5, 纵轴表示的是频率/组距,所以可以报考 A 专业的有(1+0.75+0.25) ×0.2 ×50=20(人). 4. 【解析】 选 A .由正弦定理可得 sin B = 2 sin A cos B , 即a t n B = 2n i s 因此这是一个正三角形.
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所以 B = A= 3,

π , 3

5.【解析】选 C .易得中间的那份为 20 个面包,设最小的一份为 a1 ,公差为 d ,根据题意, 于是有[20+( a1 + 3d )+( a1 + 4d )] ×

1 5 = a1 + ( a1 + d ),解得 a1 = . 7 3

6.【解析】选 D .这是一个正三棱柱,外接球的球心就是两底面三角形的中心连线的中点,外 接球的半径等于球心到正三棱柱的任意一个顶点的距离,可求半径为 面积为 4π × =

21 ,那么外接球的表 3

7 3

28 π. 3
b?y 0 与 圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 无 公 共 点 , 则 有

7 .【 解 析 】 B . 直 线 a x ?

2a a 2 ?b 2
概率为 P ?

? 2 ? a ? b ,满足该条件的基本事件有 15 种,基本事件总数是 36 种,故所求
5 . 12

8. 【 解 析 】 选 C . 选 项 A 中 ,

a2 ? b 2 a 2? b 2 ( a ? b) 2 ? ?2 ? ?2? ? 0 ? ab ? 0 是 ab ab ab

a ? 0且b ? 0 的必要不充分条件,所以 A 错;
选项 B 中,由 a1<a2<a3 得 ?

? a 1 ? 0 ?a 1 ? 0 或? ,可以推出 a 4<a5 ;但若 a 4<a5 ,则该数 ?q ? 1 ?0 ? q ? 1

列有可能是摆动的等比数列,如:1,-1,1,-1,1,-1??,此时推不出 a1<a2<a3 , 所以 B 错;选项 D 中,当 x 0 ? 0 时,

3 x0 3 3 ? ( ) x 0 ? ( ) 0 ? 1 ? 3 x 0 ? 4 x 0 ,所以 D 错. x0 4 4 4

9.【解析】选 B .选项 A 中,区间 [?1,0],[0,1],[?1,1] 都可以是“等可域区间” ;选项 C,D 中, 函数均为增函数且与 y ? x 不可能有两个交点;选项 B 中, “等可域区间”为 [?1,1] .

b 4ac-b 10 【 解 析 】 选 B . 结 合 二 次 函 数 的 顶 点 坐 标 为 ( - , ),根据题意可得 2a 4a
? ? b 2 ? 4ac ? 1,①,二次函数图像和 x 轴的两个交点分别为(
用射影定理即得:?(

2

-b +1 - b-1 , 0 )和( , 0 ),利 2a 2a

?b ? 1 ?b ? 1 ? ) ? 16 ?1 ? b 2 ? 64a 2 ,结合①先求出 a 和 c 之间的关系, 2a 2a

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c2 ? 1 ,表示椭圆. 代入①可得到,( b, c )所在的曲线为 b ? 4
2

11.【解析】

? 2 ? .向量 a 在向量 b 方向上的投影为 |a|? cos 5

a,b > =

ab

2 = . b 5

12. 【 解 析 】 -

24 ? 3 3 4 ? ? ,又 ? 为钝角, cos ? ?? , . cos( ? ? ) ? ? , 即 s i n 25 2 5 5 5 24 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? . 25

13. 【解析】 {- 1, ,2} .令 2 = 14. 【解析】

2 2

x

1 1 1 或 log2 x = 或 log 2 x = - . 2 2 2

4 . P 点只能在抛物线上半部分,设 P 点为 ( x, 2 x ) , EG = PH = 2 x , 3
1 1 4 , PF ? ? 1 ? . 3 3 3

FG = 2 3x = 2 ,解得 x =

15. 【解析】6.因为 f ' ( x) = 2 x-a ,即过 A 点的切线斜率为 2- a ,与直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 垂

直,可得

a = - 1 从 而 f ( x) = x 2 + x ,

1 1 1 1 ? ? ? ,程序的算法中, f (k ) k (k ? 1) k k ? 1

1 1 1 1 1 1 5 S ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 1? ? ,跳出循环时 k ? 6 . 2 2 3 k k? 1 k? 1 6 f (2 x) 1 2 16. 【解析】1或2 .先令 1 #x 2 ,那么 2 #2 x 4 , f ( x ) = = [1-( 2 x-3) ] ;再 c c
令 4 #x

8 ,那么 2 #

x 2

1 1 2 4 , f ( x) = cf ( x) = c[1-( x-3) ] ;分别算出它们的极值点为 2 2

( , ), (3,1) , (6, c ) ,三点共线解得 c ? 1或c ? 2 . 17.【解析】 ②③④⑤ ①-1∈ B ,1∈ B ,但是 ?1 ? 1= ? 2 ? B , B 不是“完美集” ;
第 - 7 - 页 共 12 页

3 1 2 c

②有理数集肯定满足“完美集”的定义; ③0∈ A , x, y ∈ A ,0- y =- y ∈ A ,那么 x-(-y) = x + y ∈ A ; ④对任意一个 “完美集” A, 任取 x, y ∈ A , 若 x, y 中有 0 或 1 时, 显然 xy ∈ A ; 下设 x, y

均不为 0,1,而

1 1 1 1 1 = + = + 2 2 xy 2 xy 2 xy (x + y ) -x 2-y 2 (x + y ) -x 2-y 2

x,x-1 ∈ A , 那 么

1 1 1 ∈ A , 所 以 x( x- - = 1) ∈ A , 进 而 x-1 x x( x-1)

x(x- 1) + x = x 2 ∈ A ,结合前面的算式, xy ∈ A ;
⑤ x, y ∈ A ,若 x ≠0 ,那么

1 y ∈ A ,那么由(4)得到: ∈ A . x x

三.解答题 18(Ⅰ)由函数 f ( x) 的图象, T ? 4( 又2?

?
3

? ? ? ? ,? ? ?

?
3

7? ? 2? ? )? ,得 ? ? 2 , 12 3 ?

,所以 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?

由图像变换,得 g ( x) ? f ( x ?

?
4

) ? 1 ? sin( 2 x ?

?
6

3

) . ????????3 分

) ? 1 .…???????6 分

f ( C )? s i n ( C 2 ? (Ⅱ)∵


? ) ?1 , 0 即 sin(2C ? ) ? 1 6 6 ? ? 11? 0 ? C ? ? , ? ? 2C ? ? , 6 6 6

?

?

∴ 2C ? ∵

?

6

?

?

2

,∴ C ?

?

3



??????????????????7 分

m与n 共线,∴ sin B ? 2sin A ? 0 .
a ? sin A b , 得 b ? 2a, si Bn
①????????????9 分

由正弦定理

2 2 ∵ c ? 3 ,由余弦定理,得 9 ? a ? b ? 2ab cos

?
3

②????????11 分

解方程组①②,得 ?

?a ? 3 . ?b ? 2 3

??????????????12 分

19. (Ⅰ) a1 ? 1 , a2 ? 2 且 ?an ?是等差数 列, a n ? n , 当 n 为奇数时, b n ? a n?1 ? a n ? 1 ,即 b1 ? b 3 ? b 5 ? ...... ? b 2n?1 ? 1 ;
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当 n 为偶数时, b n ? a n?1 ? a n ? 2n ? 1 ,则 b 2 ? 5 , b 4 ? 9, b 6 ? 13 ,

S 100 ? b 1 ? b 2 ? ......+b 100 ? (b 1 ? b 3 ? .... ? b 99 ) ? (b 2 ? b 4 ? .... ? b 100 ) ? 1? 50 ? (50 ? 5 ? 50 ? 49 ? 4 ) ? 5200 2
??????6 分

(Ⅱ) ?bn ?是公差为 2 的等差数列, b 1 ? a 2 ? a 1 ? 1 , b n ? 2n ? 1. 当 n 为奇数时, b n ? a n?1 ? a n ? 2n ?1 ;当 n 为偶数时, b n ? a n?1 ? a n ? 2n ? 1 . 即

?b 2 n?1 ? a 2 n ? a 2 n ?1 ? 4n ? 3 ? a 2n?1 ? a 2n?1 ? 2 且 a 2n?3 ? a 2 n?1 ,因为 a 1 ? 1, ? b ? a ? a ? 4 n ? 1 2 n ?1 2n ? 2n

? a 1 ? a 3 ? a 5 ? ..... ? 1. ? a 2n?1 ? 1 , a 2n ? 4n ? 2 ,

, (n为奇数) ?1 ∴a n ? ? (n为偶数) ? 2n ? 2 ,
CE / / BF

???????????????12 分

? ? CE / / 面ABF ? ? 20. 解析: (Ⅰ) CE ? 面ABF ? ? CE ? 面ACE ? ? l / /CE . ????? 6 分 ? BF ? 面ABF ? ? 面ABF 面ACE ? l ?
(Ⅱ)

? AF ? BF ? 1? ?ABF为等腰直角三角形 ? ?? ?? AF ? BF ? ? AB ? AE ? 2, 取正方形BCEF 两对角线BE , CF的交点为G ? ?

AG ? BE ? BE ? 面ACF ? ?? ? ? 面ACF ? 面ABE, 交线为AG ① CF ? BE ? BE ? 面ABE ?
AF ? EF ? 1? ? AF ? FE ? ?? ? ? AF ? 面BCEF , AE ? 2 ? ? AF ? BF ?
在 Rt ?AFC 中,连接 OG ,得 OG / / AF 且OG ?

1 1 AF ? , 2 2

2 ? ? 2 ? 且 ? 2 ? ? Rt ?AFG中, tan ?FAG ? ? ?FGA ? ? ?? 2 2 ? OF ? OC ? ?OFC ? ?OCF ? ?, tan ? ?
? ?FGA ? ?OFG ? ? ? OF ? AG ② 2
第 - 9 - 页 共 12 页

结合①②得,即 OF ? 面 ABE . 21. (Ⅰ) f ( x ) ?

??????????????????13 分

ln x ? 1 ? ln x , (x ? 0) , f ?( x ) ? , x x2

即 x ? (0,1), f ?( x) ? 0 ,当 x ? (1, ??) , f ?( x) ? 0 , 所以 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减, 在 x ? 1 处取得极大值,极大值为 f (1) ? 1 ,无极小值.???????????4分 (Ⅱ)方法 1:因为 ln( x ? 1) ? k ? 1≤ kx , ? ln( x ? 1) ? 1 ≤ k ( x ? 1) ?

ln( x ? 1) ? 1 ≤k x ?1

k ≥ f ( x ?1) max 对任意的 x ? 1 恒成立,由(1)知 f ( x) max ? f (1) ?1 ,
则有 f ( x ?1) max ? 1 ,所以 k ≥ 1 .?????????????????9 分 方法 2:记 g ( x) ? ln( x ?1) ? k( x ?1) ?1 , g ?( x ) ?

1 ? k , ( x ? 1) , x ?1 1 当k ? 0时 , g ?( x) ≥ 0 , 当k ? 0时 ,由 g ?( x) ? 0 得 x ? 1 ? , 即 k
当k ? 0时 g ( x)在(1, ??) 上为增函数;

1 ? 1 ? 当k ? 0时 g ( x)在(1,1+ ) 上为增函数;在 ?1 ? , ?? ? 上为减函数. k k ? ?
因为对 ?x ? 1,ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 ? 0, 即要求 g ( x) ≤ 0 恒成立,

所以 k ? 0 符合且 g ( x) max = g (1 ? ) ? ? ln k ≤ 0 得 k ?1. (Ⅲ) f ( x ) ? ???????????????????????? 9 分

1 k

1 ? ln x 1 ? ln x ? f ( x) max ? f (1) ? 1 , ,由(Ⅰ)知 f ( x) ? x x 1 ? ln x ln x 1 ?1? ? 1 ? (当且仅当 x ? 1 取等号) 则 . x x x
令 x ? n ( n? N , n≥2) ,即
2

?

ln n 2 1 ? 1 ? 2 ,则有 2 n n

ln 2 2 ln 3 2 ln n 2 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ...... ? 2 ? (1 ? 2 ) ? (1 ? 2 ) ? ....(1 ? 2 ) ? (n ? 1) ? ( 2 ? 2 ? .... 2 ) 2 2 3 n 2 3 n 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 ? (n ? 1) ? ( ? ? .... ) ? (n ? 1) ? ( ? ? ? ? .... ? ? ) ? n? + 2 ? 3 3? 4 n ? (n ? 1) 2 3 3 4 n n ?1 2 n ?1
第 - 10 - 页 共 12 页



l n 22 ? 22

l 2 n 3 n 2l n ? . . . ? . . . ? 32 n 2

2

? 22 (

l n 2 l nn 3 l n ? 2 ? . .? .n .2 ? . . . ) 3 n n 2? 1

3

+

1

2 ln 3 ln n 1 3 1 2n 2 ? n ? 1 ∴ ln 2 ? 2 ? ....... ? 2 ? (n ? + )? 2 3 n 2 2 n ?1 4(n ? 1)
则得证 ???????????????????????? 14 分

?a ? c ? 2 ? 2 ? ? ?a ? 2 22.解: (Ⅰ)由题意知 ? a 2 , 解得 ? , ? ? ?c ?b ?b ? 2 ?c

x2 y 2 ? ? 1 . ???????????????????? 4 分 故椭圆 C 的方程 4 2
(Ⅱ)由题意知直线 MN 的斜率存在,设直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 4) .

? y ? k ( x ? 4), ? 由 ? x2 y 2 ? 1. ? ? ?4 2

得 (2k 2 ? 1) x2 ?16k 2 x ? 32k 2 ? 4 ? 0 .



设点 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,

? ? (?16k 2 ) 2 ? 4(2k 2 ? 1)(32k 2 ? 4) ? 16 ? 96k 2 ? 0 ? 2 ? x ? x ? 16k ? 1 2 2k 2 ? 1 ? ? 32k 2 ? 4 ? x1 x2 ? 2k 2 ? 1 ? ? 12k 2 2 y y ? k ( x ? 4)( x ? 4) ? 1 2 ? 1 2 2k 2 ? 1 ?
44k 2 ? 4 26 1 2 OM ON =x1 x2 ? y1 y2 ? =22 ? 2 , 0≤k ? 2 6 2k ? 1 2k ? 1
即 OM ON ? [?4, )

5 2



????????? ?????????? ? 9 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知, T ( x1 , ? y1 ) ,直线 TN 的方程为 y ? y2 ?

y2 ? y1 ( x ? x2 ) . x2 ? x1

令 y ? 0 ,得 x ? x2 ?

y2 ( x2 ? x1 ) . y2 ? y1

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将 y1 ? k ( x1 ? 4) , y2 ? k ( x2 ? 4) 代入, 整理,得 x ?

2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) . x1 ? x2 ? 8



由①得 x1 ? x2 ?

16k 2 32k 2 ? 4 x x ? , 代入②整理,得 x ? 1 . 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
????????? ??? ?? ?? 14 分

所以直线 TN 恒过定点 Q(1, 0) .

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