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云浮市云硫中学10-11学年高三上学期期中考试(文数)



届高三期中考试数学试题(文科) 云硫中学 2011 届高三期中考试数学试题(文科)
小题给出的四个选项中, 一.选择题:本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分。小题给出的四个选项中,只有一项是 选择题: 符合题目要求的. 符合题目要求的. 1.已知集合 I = { ,2,3,4}, A = { }, B = {2,4},则 A ∪ (C I B ) = ( 1

1 A. { } 1 2.“ x = B. { ,3} 1 C. {3} D. { ,2,3} 1 ) )

π
4

+ 2k π , k ∈ Z ” ,是“ tan x = 1 ”成立的(
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件 3.已知 tan α = ?2 ,那么

sin α ? 2 cos α 的值为( ) 3 sin α + 5 cos α 23 A.-2 B.2 C. D.4 16 1 2 1 4.已知曲线 y = x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 8 2 1 A.4 B.3 C.2 D. 2



5. 如果点 P (sin θ ? cos θ ,2 cos θ ) 位于第三象限,那么角 θ 所在的象限是: ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限



6. 在首项为 81,公差为 ? 7 的等差数列 {a n } 中,最接近零的项是 A. a11 B. a12 C. a13 D. a14

7.下列函数中,最小正周期为 π ,且图象关于直线 x = A. y = sin( 2 x ? C. y = sin(

π π
3

对称的是(

).

π
6

)

B. y = sin( 2 x + D. y = sin(

1 π x? ) 2 3

1 π x+ ) 2 3
主视图 侧视图

6

)

8. 如图, 一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为 2 的正三 角形,俯视图轮廓为正方形,则此几何体的表面积是 A. 4 + 4 3 C. 4 3 B.12 D.8

俯视图

9. 已 知 函 数 f ( x ) = ( ) ? log 3 x , 若 实 数 x0 是 方 程 f ( x ) = 0 的 解 , 且
x

1 5

0 < x0 < x ,则 f ( x0 ) 的值(



1

A.值为负 10. 函数 y = y
1o

B.等于零

C.恒为正 ) y
1o

D.不在于零

xa x (0 < a < 1) 的图象的大致形状是( x
y
1 o

y
1o

o
o -1

x

o
o -1

x

o
o -1

x

o
o -1

x

A B C 填空题: 小题, 小题, 二.填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 11. 函数 f ( x) =

D

1 1? ex

的定义域是

.

12. 某中学部分学生参加市高中数学竞赛取得了优异成 绩,指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整 数,满分 120 分) ,并且绘制了“频数分布直方图” (如 图) ,如果 90 分以上(含 90 分)获奖,那么该校参赛学 生的获奖率为

13. 规定记号 ? ” “ 表示一种运算, a ? b = ab + a + b , 1 ? k = 3 , k 的值为 即 若 则
2



(注:14、15 两题为选做题,请任选一题作答,两题都答按 14 小题给分) 14. (坐标系与参数方程选做题)若直线 l : y = kx 与曲线 C : x = 2 + cos θ (参数 θ ∈R)有唯 y = sin θ 一的公共点,则实数 k = 15. (几何证明选讲选做题)如图,圆 O 的直径 AB = 6 , C 为圆 周上一点,BC = 3 ,过 C 作圆的切线 l ,过 A 作 l 的垂线 AD , 垂足为 D ,则线段 CD 的长为 .

{

D

C
A

O

B

l

小题, 三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。 解答题:
2 2 16. (本小题 14)已知 f ( x ) = 3 cos x + 2 sin x cos x + sin x 。

2

(1)求函数 f (x ) 的最小正周期; (2)求函数 f (x ) 的最小值,并求出此时 x 的值; (3)写出 f (x ) 的单调递增区间。

17. (本小题 12 分) (本小题满分 12 分)将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,求: (1)两数之和为 5 的概率; 2 2 (2)以第一次向上点数为横坐标 x,第二次向上的点数为纵坐标 y 的点(x,y)在圆 x +y =15 的内部的概率.

18.(本小题 12 分)△OAB 是边长为 4 的正三角形,CO⊥平面 OAB 且 CO=2,设 D、E 分别是 OA、AB 的中点。 C (1)求证:OB∥平面 CDE; (2)求四棱锥 C-ODEB 的体积.

O D
2 *

B E

A 19(本题满分 14 分)已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n = n ( n ∈ N ) ,数列 {bn } 为等比数列, 且满足 b1 = a1 , 2b3 = b4 (1)求数列 {a n } , {bn } 的通项公式; (2)求数列 {a n bn } 的前 n 项和。
3

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = ln x + (1)当 a = 0 时,求 f ( x ) 的最小值;

1 + ax, x ∈ (0, +∞) ( a 为实常数). x

(2)若 f ( x ) 在 [2, +∞ ) 上是单调函数,求 a 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 已知圆 C : x 2 + y 2 ? 2 x ? 2 y + 1 = 0 ,直线 l : y = kx ,且 l 与 C 相交于 P 、 Q 两点, 点 M ( 0, b ) ,且 MP ⊥ MQ . (Ⅰ)当 b = 1 时,求 k 的值; (Ⅱ)当 b ∈ ? 1,

? 3? ? ,求 k 的取值范围. ? 2?

数学试题(文科) 数学试题(文科)答案
4

一. 选择题: BADCB CABCD 二,填空题 11. {x|x<0} 13

12.7/16

14.

±

3 3

15.

3 3 2

1 9. (本题满分 14 分)解: (1)由已知 S n = n 2 ,得 a1 = S1 = 1 当 n ≥2 时, a n = S n ? S n ?1 = n 2 ? ( n ? 1) 2 = 2 n ? 1 所以 a n = 2 n ? 1( n ∈ N * ) 由已知, b1 = a1 = 1 设等比数列 {bn } 的公比为 q ,由 2b3 = b4 得 2q 2 = q 3 ,所以 q = 2 所以 bn = 2 n ?1 ………8 分 ………7 分 ………5 分 ………3 分 ………1 分

(2)设数列 {a n bn } 的前 n 项和为 Tn , 则 Tn = 1 × 1 + 3 × 2 + 5 × 2 2 + ... + ( 2 n ? 1) ? 2 n ?1 ,

2Tn = 1 × 2 + 3 × 2 2 + 5 × 2 3 + ... + ( 2n ? 1) ? 2 n ,
两式相减得 ? Tn = 1 × 1 + 2 × 2 + 2 × 2 2 + ... + 2 × 2 n ?1 ? ( 2 n ? 1) ? 2 n ……… 10 分

= 1 + 2(2 + 2 2 + ... + 2 n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n = 1 + 4(2 n ?1 ? 1) ? (2n ? 1) ? 2 n
………11 分
5

= ?(2n ? 3) ? 2 n ? 3
所以 Tn = ( 2n ? 3) 2 n + 3 20.(1) a = 0 时, f ′( x ) =

………12 分 ………14 分

x ?1 , x2

当 0 < x < 1 时, f ′( x ) < 0 , 当 x > 1 时, f ′( x ) > 0 , ∴ f ( x) min = f (1) = 1. (2) f ′( x ) = ……6 分

1 1 ? +a x x2

=

ax 2 + x ? 1 . x2
2

当 a ≥ 0 时, ax + x ? 1 在 [2, +∞ ) 上恒大于零,即 f ′( x ) > 0 ,符合要求. 当 a < 0 时,令 g ( x ) = ax 2 + x ? 1 ,

……9 分

g ( x ) 在 [2, +∞ ) 上只能恒小于或等于零。

? ?1 + 4a > 0 ? 故 ? = 1 + 4a ≤ 0 或 ? g (2) ≤ 0 , ? 1 ?? ≤2 ? 2a
解得 a ≤ ? .

1 4

……13 分

∴ a 的取值范围是 (?∞, ? ] ∪ [0, +∞). ……14 分 21 解: (Ⅰ)圆 C : ( x ? 1) + ( y ? 1) = 1 ,
2 2

1 4

当 b = 1 时,点 M ( 0, b ) 在圆 C 上, 当且仅当直线 l 经过圆心 C 时, 满足 MP ⊥ MQ . ……2 分

∵ 圆心 C 的坐标为 (1,1) ,

∴ k = 1.

……4 分

6

(Ⅱ)由 ?

? y = kx, ? 2 2 ?( x ? 1) + ( y ? 1) = 1. ?

消去 y 得: 1 + k 2 x 2 ? 2 (1 + k ) x + 1 = 0 . 设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,

(

)



∴ x1 + x2 =

2 (1 + k ) 1+ k
2

, x1 x2 =

1 . 1+ k 2

…… 6 分

∵ MP ⊥ MQ ,

∴ MP ? MQ = 0 .

∴ ( x1 , y1 ? b ) ? ( x 2 , y 2 ? b ) = 0 , 即 x1 x 2 + ( y1 ? b )( y 2 ? b ) = 0 .
∵ y1 = kx1 , y2 = kx2 ,

∴ ( kx1 ? b )( kx2 ? b ) + x1 x2 = 0 , 即 (1 + k 2 ) x1 x2 ? kb ( x1 + x2 ) + b 2 = 0 .
2 (1 + k ) 2 1 ∴ (1 + k 2 )i ? kbi +b = 0, 2 1+ k 1+ k 2


……8 分

2k (1 + k ) 1+ k 2

=

b2 + 1 1 =b+ . b b

令 f (b ) = b + 当 b ∈ ? 1,

1 1 ' , 则 f (b ) = 1 ? 2 . b b

1 ? 3? ' ? 时, f ( b ) = 1 ? 2 >0. b ? 2?

? 3? ∴ f ( b ) 在区间 ?1, ? 上单调递增. ? 2? ? 3? ? 13 ? ∴ 当 b ∈ ?1, ? 时, f ( b ) ∈ ? 2, ? . ? 2? ? 6?
∴2 <
……11 分

2k (1 + k ) 1+ k
2

<

13 . 6

?2k (1 + k ) > 2 (1 + k 2 ) , ?k > 1, ? ? 即? 解得 ? 13 2 ?k > 6 + 23或 k < 6 ? 23. ? ?2k (1 + k ) < (1 + k ) . 6 ?
7

∴1 < k < 6 ? 23 或 k > 6 + 23 .
由①式得 ? = ? 2 (1 + k ) ? ? 4 1 + k ? ?
2

……13 分

(

2

) > 0 , 解得 k > 0 .

∴1 < k < 6 ? 23 或 k > 6 + 23 . ∴ k 的取值范围是 1, 6 ? 23 ∪ 6 + 23, +∞ .

(

) (

)

……14 分

8



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