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江苏省淮州中学2012年高二数学暑假作业(10)



淮州中学暑假作业练习(10)
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程, 请把答案直接填空在答题纸相应位置上 . ) ........
1. 2 cos 2 15 -1 ? . .

2.已知 f ( x) 是偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 1 ,则 f ( ?1) =

3.若 tan ? ? 3 , tan ? ?

4 ,则 tan(? ? ? ) = 3

. .

4.已知 A(?3, 4) , B (5, ? 2) ,则 | AB | = 5.函数 y ? log 2 x 的零点是 .

6. 把函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的 点向右平移

1 (纵坐标不变), 再将图象上所有 2
. . .

? 个单位,所得函数图像所对应的解析式 y ? 3
B?

7.已知 A ? {x | x2 ? 2x ? 3}, B ? {x | log 2 ( x ? 1) ? 1} ,则 A 8.函数 y ? sin(2 x ? ) 的单调增区间为 4

?

,对称轴方程是

9.已知向量 a ? (1, n) ,b ? (?1, n) ,若 2a-b 与 b 垂直,则|a|= 10.函数 f ( x) ? (m2 ? 3m ? 1) ? xm 11.若
2

. .

? m?1

是幂函数,且图象过原点,则 m = .
1 = cos 2 (? ? ? )

cos 2? 2 ,则 sin 2? = ?? π 2 sin(? ? ) 4

12.已知 tan ? , tan ? 是方程 3x 2 ? 5 x ? 7 ? 0 的两根,则



13.为了预防流感,学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药 物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量 y (毫克)与时间

t ( 小时 ) 成正比;药物释放完毕后, y 与 t 的函数关系式为
1 ,如图所示,根据图中提供的信息,回 y ? ( )t ?a ( a 为常数) 16
答下列问题: (Ⅰ)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y (毫克)与时间 t (小时)之间的函数关系 式为 .

(Ⅱ)据测定,当空气中每立方米的含药量维持在 0.25 毫克以下,学生方可进教室,那

从药物释放开始,至少需要经过

小时后,学生才能回到教室.

m 14. 设两个向量 a ? (? ? 2, ? 2 ? cos2 ? ) 和 b ? (m, ? sin ? ) , 其中 ?,m,? 为实数. 若 a = 2b, 2


?
m

的取值范围是



二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 14 分:第一小题 6 分,第二小题 8 分) 已知|a| ? 3 ,|b| ? 4 ,a 与 b 的夹角为 60 . 试求:(1)|a + b|;(2)a + b 与 a-b 的夹角 ? 的余弦值.

16. (本小题满分 14 分:第一小题 6 分,第二小题 8 分) 已知 cos ? ?
2 5 , cos(? ? ? ) ? 1 10 ,且?

?
2

? ? ? 0,0 ? ? ?

?
2



(1)求 tan 2? 的值;

(2)求 ? 的值.

17. (本小题满分 14 分:第一小题 6 分,第二小题 8 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x sin ? ? 1 , x ? [ ? (1)当 ? ?
3 1 , ] 2 2

?
6

时,求 f ( x) 的最大值和最小值;
3 1 , ] 上是单调函数,且 ? ??0,2? ? ,求 ? 的取值范围. 2 2

(2)若 f ( x) 在 x ? [ ?

18. (本小题满分 16 分:第一小题 10 分,第二小题 6 分)

如图, 在半径为 R 、 圆心角为 60 的扇形 AB 弧上任取一点 P , 作扇形的内接矩形 PNMQ , 使点 Q 在 OA 上, 点 M 、N 在 OB 上,记 ?BOP ? ? .试求: (1)矩形 PNMQ 的面积 S 关于 ? 的 函数解析式及定义域; (2)矩形 PNMQ 面积的最大值及相应的 ?BOP 的值.
O M Q

A

P

N B

19. (本小题满分 16 分:第一小题 4 分,第二小题 5 分,第三小题 7 分) 如图,在△ ABC 中,| AB |? 3 , | AC |? 1, l 为 BC 的垂直 平分线,l 与 BC 交于点 D , E 为 l 上异于 D 的任意一点, l A F B E D C

F 为线段 AD 上的任意一点.
(1)求 AD ( AB ? AC) 的值; (2)判断 AE ( AB ? AC) 的值是否为一常数,并 说明理由; (3)若 AC ? BC ,求 AF ( FB ? FC) 的最大值.

20. (本小题满分 16 分: 第一小题 4 分,第二小题 4 分,第三小题 4 分,第四小题 4 分)

已知函数 f ( x) ? loga

1 ? mx (a ? 0, a ? 1, m ? 1) 是奇函数. x ?1

(1)求实数 m 的值; (2)判断函数 f ( x) 在 (1, ? ? ) 上的单调性,并给出证明; (3)当 x ? (n, a ? 2) 时,函数 f ( x ) 的值域是 (1, ? ?) ,求实数 a 与 n 的值;
f ? x? ? 5 , a ? 8 时,存在最大实数 t ,使得对于任 (4)令函数 g ? x ? ? ?ax2 ? 8 ? x ? 1? a

意 x ? ?1, t ? 有 ?5 ? g ? x ? ? 5 恒成立,请写出 t 与 a 的关系式.

淮州中学高二暑假作业练习(10)
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程, 请把答案直接填空在答题 纸 相应位置上 . ) .. . .....
1.

3 ; 2

2. 2 ; 6. y ? sin( 2 x ?

3.

1 ; 3

4.10 ; 7. {x |1 ? x ? 3} ;

5.1 ; 8. ? ?

2 ?) ; 3

3 k? 3? ? ? ? (k ? Z ) ; ? k? , ? k? ? ( k ? Z ) ; x ? ? ? 8 2 8 ? 8 ?
10.-3 ; 11. ?

9.2 ;

3 ; 4

12.

5 ; 4
14. ?-6, 1? .

0 ? t ? 0.1 ?10t, ? t ? 0.1 13. (1) y ? ? ? 1 ? ; (2) 0 .6 ; , t ? 0 . 1 ? ? ? ? 16 ? ?

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.
解:(1)| a ? b | 2 ? a ? 2a b ? b ? 9 ? 16 ? 2 ? 3 ? 4 ? cos 60 ? 37
2 2

∴| a ? b | = 37

(2)| a ? b | 2 ? a ? 2a b ? b ? 9 ? 16 ? 2 ? 3 ? 4 ? cos 60 ? 13

2

2

∴| a ? b | = 13
2 2

则 cos ? ?

(a ? b) (a ? b) a ?b a ?b

?

a ?b

a ?b a ?b

?

9 ? 16 7 481 . ?? 481 37 13

16. 解: (1)由 cos ? ?
2 2 ? 2 ? 1 , 0 ? ? ? ,得 sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ? ? ? ? ? 2 5 5 ? 5?

∴ tan ? ? sin ? ? 1 ? 5 ? 1 , cos ? 5 2 2 则 tan 2? ? 2 tan ? ? 1 ? tan 2 ?
1 2 ?4. 2 3 ?1? 1? ? ? ?2? 2?

(2)由 ?

?
2

? ? ? 0,0 ? ? ?

?
2

, ,得 0 ? ? ? ? ? ? ,

又∵ cos ?? ? ? ? ? 1 , 10 ∴ sin ?? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? 1 ? ? 由 ? ? ? ? ?? ? ? ? 得:

3 ? 1 ? . ? ? 10 ? 10 ?

2

cos ? ? cos ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? cos? cos ?? ? ? ? ? sin ? sin ?? ? ? ?

?

2 1 1 3 2 , ? ? ? ? 2 5 10 5 10
?
2 ?? ?0
∴? ? ?

∵? 17.

?
4

.

解: (1)当 ? ?

?
6

时, f ( x) ? x ? x ? 1 ? ( x ?
2

1 2 5 ) ? , 2 4

∴ f ( x ) 在 [? ∴当 x ? ?

1 1 3 1 ,? ] 上单调递减,在 [? , ] 上单调递增. 2 2 2 2

1 5 时,函数 f ( x) 有最小值 ? , 2 4 1 1 当 x ? 时,函数 f ( x) 有最大值 ? . 2 4
2 2 2

(2) f ( x) ? x ? 2x sin ? ?1 ? ( x ? sin ? ) ? sin 要使 f ( x ) 在 x ? [?

? ?1 ,

3 1 , ] 上是单调函数,则 2 2

? sin ? ? ?

1 3 或 ? sin ? ? , 2 2 1 3 或 sin ? ? ? , 2 2

即 sin ? ?



? ??0, 2? ?

解得: ? ? [

? 2

7 11 , ? ]?[ ?, ? ] . 3 3 6 6

18. 解: (1)如图,连 OP ,则 OP ? R . Rt PON 中, PN ? R sin ? , ON ? R cos ? ,

Rt OQM 中, QM ? PN ? R sin ? ,

OM ? MQ

1 3 ? R sin ? , tan 60 3 3 R sin ? . 3 3 R sin ? ) 3

∴ MN ? ON ? OM ? R cos ? ?

则 S ? PN ? MN ? R sin ? ? ( R cos ? ?

?

3 2 3 2 R sin(2? ? 30 ) ? R , 3 6

定义域为 ? 0 ? ? ? 60 (2)

?

?.

0 ? ? ? 60 ∴ 30 ? 2? ? 30 ? 150 ,

则当 2? ? 30 ? 90 即 ? ? 30 时, Smax ?

3 2 3 2 3 2 R ? R ? R . 3 6 6

答:矩形 PNMQ 面积的最大值是 19. 解: (1) ABC 中, ∴ AD ?

3 2 R ,此时 ?BOP ? 30 . 6

D 是线段 BC 的中点,

1 ( AB ? AC ) . 2 1 则 AD ( AB ? AC ) ? ( AB ? AC ) ( AB ? AC ) 2 2 2 1 1 ? ( AB ? AC ) ? (32 ? 12 ) ? 4 . 2 2
(2) AE ( AB ? AC) 的值是常数.

AE ? AD ? DE ,
∴ AE ( AB ? AC) ? ( AD ? DE) ( AB ? AC) ? AD ( AB ? AC) ? DE CB .

∵ DE ? BC ∴ DE CB ? 0 , 又∵ AD ( AB ? AC) ? 4 ,∴ AE ( AB ? AC) ? 4 . (3) ABC 中, ∵ AC ? BC , AB ? 3 , AC ? 1 ,∴ BC ? 2 2 ,

A

Rt ADC 中, AD ? 3 ,

F B D C

∵ FB ? FC ? 2FD ,

∴ AF ( FB ? FC ) ? AF 2 FD ? 2 AF FD cos 0 . 设 AF ? x ,则 FD ? 3 ? x(0 ? x ? 3) ,

AF ( FB ? FC ) ? 2 x( 3 ? x) ? 2(? x 2 ? 3x) ? ?2( x ?
3 3 时, AF ( FB ? FC) 的最大值是 . 2 2

3 2 3 ) ? (0 ? x ? 3) , 2 2

当x? 20.

解: (1)由已知条件得 f (? x) ? f ( x) ? 0 对定义域中的 x 均成立.

mx ? 1 1 ? mx ? log a ?0. ?x ?1 x ?1 mx ? 1 1 ? mx 2 2 2 ? ?1 即 ∴ m x ? 1 ? x ? 1对定义域中的 x 均成立. ?x ?1 x ?1
∴ log a ∴ m ? 1 即 m ? 1 (舍去)或 m ? ?1 .
2

∴ m ? ?1 .

(2)由(1)得 f ( x) ? log a

x ?1 , x ?1 x ?1 x ?1? 2 2 ? ? 1? 设t ? , x ?1 x ?1 x ?1
∴当 x1 ? x2 ? 1时, t1 ? t2 ?

2( x2 ? x1 ) 2 2 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

∴ t1 ? t2 .

当 a ? 1 时, loga t1 ? loga t2 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ∴当 a ? 1 时, f ( x ) 在 (1, ??) 上是减函数. 同理当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 (1, ??) 上是增函数. (3) 函数 f ( x ) 的定义域为 (1, ??) ? (??, ?1) ,

∴① n ? a ? 2 ? ?1 ,∴ 0 ? a ? 1 . ∴ f ( x ) 在 (n, a ? 2) 为增函数, 要使值域为 (1, ??) ,

1? n ? ?1 ?log a 则? ; n ? 1 (无解) ? ?a ? 2 ? ?1
②1 ? n ? a ? 2 , ∴ a ? 3. ∴ f ( x ) 在 (n, a ? 2) 为减函数,

?n ? 1 ? 要使 f ( x ) 的值域为 (1, ??) , 则 ? a ?1 , log a ?1 ? a ?3 ?
∴ a ? 2? 3 ,n ?1. (4) g ? x ? ? ?ax ? 8 ? x ? 1? a
2 f ? x?

4 16 ? 5 ? ?ax2 ? 8x ? 3 ? ?a( x ? )2 ? 3 ? , a a
4 , a
a ? 8∴ x ?

则函数 y ? g ( x) 的对称轴 x ?

4 ? 1? ? ? 0, . a ? 2? ?

∴函数 y ? g ( x) 在 x ? ?1, t ? 上单调减. 则 1 ? x ? t ,有 g ( x) ? g (t ) .

t 是最大实数使得 x ? ?1, t ? 恒有 ?5 ? g ( x) ? 5 成立,
∴ ?at ? 8t ? 3 ? ?5 即 at ? 8t ? 8 ? 0 .
2 2



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