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北京各区2015届高三二模理科数学分类汇编(概率统计)



北京各区二模理科数学分类汇编 概率统计
(2015届西城二模)16.(本小题满分13 分) 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量(单位:台),并根据这 10 个卖场的销售情况,得到如图所示的茎叶图.

为了鼓励卖场,在同型号电视机的销售中,该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名 为该型号电视机的“星级卖场”. (Ⅰ)当a = b = 3时,记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ,乙型号电视机的“星级 卖场”数量为n ,比较m , n 的大小关系; (Ⅱ)在这10 个卖场中,随机选取2 个卖场,记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场” 的个数,求X 的分布列和数学期望. (Ⅲ)若a =1,记乙型号电视机销售量的方差为s2,根据茎叶图推断b为何值时,s2达 到最小值.(只需写出结论) 16.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:根据茎叶图, 得甲组数据的平均数为 乙组数据的平均数为

10 ? 10 ? 14 ? 18 ? 22 ? 25 ? 27 ? 30 ? 41 ? 43 ? 24 , ??? 1 分 10

10 ? 18 ? 20 ? 22 ? 23 ? 31 ? 32 ? 33 ? 33 ? 43 ? 26.5 . ???? 2 分 10
?????? 3 分

由茎叶图,知甲型号电视机的“星级卖场”的个数 m ? 5 , 乙型号电视机的“星级卖场”的个数 n ? 5 , 所以

m?n.

?????? 4 分 ?????? 5 分

(Ⅱ)解:由题意, X 的所有可能取值为 0,1,2, 且 P( X ? 0) ?

0 2 1 2 0 C5 C5 2 C1 C5 C5 2 5 5 C5 , , ? P ( X ? 1) ? ? P ( X ? 2) ? ? ,???? 8 分 2 2 2 C10 9 C10 9 C10 9

所以 X 的分布列为:

X
P

0

1

2

2 9

5 9

2 9
?????? 9 分

所以 E( X ) ? 0 ?

2 5 2 ? 1? ? 2 ? ? 1 . 9 9 9
2

?????? 10 分 ??????13 分

(Ⅲ)解:当 b=0 时, s 达到最小值.

(2015 届海淀二模)

答案:A (2015 届海淀二模)

(16)(共 13 分) 解:(Ⅰ)20 名女生掷实心球得分如下: 5,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,10,10. 所以中位数为 8,众数为 9. (Ⅱ) ??????3 分 ??????4 分

X 的可能取值为 0,1,2.

P ? X ? 0? ?

1 1 2 C82 14 C12 C8 C12 33 48 ; ; ? P X ? 1 ? ? P X ? 2 ? ? ? 2 ? ; ? ? 2 2 C20 95 C20 95 C20 95

所以抽取的 2 名男生中优秀人数

X

的分布列为: 1 2

X
P
(Ⅲ)略.

0

33 95

48 95

14 95
??????10 分 ??????13 分

评分建议:从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可;也 可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比;或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议. (2015 届东城二模) (4)甲、乙两名同学 8 次数学测验成绩如茎叶图所示, x1 , x2 分别表示甲、乙两名同学 8 次数学测验成 绩的平均数, s1 , s2 分别表示甲、乙两名同学 8 次数学测验成绩的标准差,则有(B) (A) x1 (B) x1 (C) x1 (D) x1

? x2 , s1 ? s2
? x2 , s1 ? s2 ? x2 , s1 ? s2
8 4 6 2 95 1 5 甲 7 8 8 9 7 3 7 3 2 5 5 乙

? x2 , s1 ? s2

(2015 届东城二模) (16)(本小题共 13 分) 某校高一年级开设

A , B , C , D , E 五门选修课,每位同学须彼此独立地选三门课程,其中甲同学必选 A 课程,

不选 B 课程,另从其余课程中随机任选两门课程.乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程. (Ⅰ)求甲同学选中 C 课程且乙同学未选中 C 课程的概率;(Ⅱ)用 (16)(共 13 分) 解:(Ⅰ)设事件

X

表示甲、乙、丙选中 C 课程的人数之和,求

X

的分布列和数学期望.

A 为“甲同学选中 C 课程”,事件 B 为“乙同学选中 C 课程”.

则 P( A) ? 因为事件

C1 C2 2 3 2 4 , ? P ( B ) ? ? . 2 3 C3 3 C5 5

A 与 B 相互独立,

所以甲同学选中 C 课程且乙同学未选中 C 课程的概率为

P( AB) ? P( A) P( B) ? P( A)[1 ? P( B)] ?
(Ⅱ)设事件 C 为“丙同学选中 C 课程”. 则 P(C ) ?

2 2 4 ? ? . 3 5 15

???????4 分

C2 3 4 ? . 3 C5 5

X

的可能取值为: 0,1, 2,3 .

1 2 2 4 . P ( X ? 0) ? P ( ABC ) ? ? ? ? 3 5 5 75

P( X ? 1) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC) P( X ? 2) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC)
?

?

2 2 2 1 3 2 1 2 3 20 ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75

2 3 2 2 2 3 1 3 3 33 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75 2 3 3 18 ? ? ? . 3 5 5 75

P ( X ? 3) ? P ( ABC ) ?
X
为分布列为:

X
P

0
4 75

1

2

3
18 75

20 75

33 75

E( X ) ? 0 ?

4 20 33 18 140 28 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ? .???13 分 75 75 75 75 75 15

(2015 届昌平二模) 5. 在篮球比赛中,某篮球队队员投进三分球的个数如表所示: 队员 i 三分 球个数 a i 右图是统计上述 6 名队员在比赛中投进的三分球 总数 s 的程序框图,则图中的判断框内应填入的条件是(B) 1 2 3 4 5 6 开始

a1

a2

a3

a4

a5

a6

输入a1 , a2 ,

a6

s ? 0, i ? 1
i ? i ?1


A. i ? 6

B. i ? 7

C. i ? 8

D. i ? 9
否 输出 s 结束

s ? s ? ai

(2015 届昌平二模) 16. (本小题满分 13 分) 某大学志愿者协会有 10 名同学,成员构成如下表,其中表中部分数据不清楚,只知道从这 10 名同学中随机抽取一位, 抽到该名同学为“数学专业 ”的概率为 .... 专 中文

2 5

. 英语 数学 体育

业 性别 男 女

n
1

1 1

m
1

1 1

现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学参加社会公益活动(每位同学被选到的可能性相同). (I) 求 m, n 的值; (II)求选出的 3 名同学恰为专业互不相同的男生 的概率; .. (III)设 ? 为选出的 3 名同学中“女生或数学专业 ”的学生的人数,求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E? . ....... 16. (本小题满分 13 分) 解:(I)设事件

A :从 10 位学生中随机抽取一位,抽到该名同学为“数学专业”.

由题意可知,“数学专业”的学生共有 (1 ? m) 人. 则 P ( A) 解得

?

1? m 2 ? . 10 5

m ?3. ? 1.
1 2 C3 C3 ? 1 1 ? . 3 12 C10

所以 n

…………… 4 分

(II)设事件 B :从这 10 名同学中随机选取 3 名同学为专业互不相同的男生. 则 P( B)

?

……………7 分

(III)由题意, ? 的可能取值为 0 , 1 , 2 , 3 . 由题意可知,“女生或数学专业”的学生共有 7 人. 所以 P(?

? 0) ?

3 C3 1 , ? 3 C10 120

1 2 C7 C 21 7 , P(? ? 1) ? 3 3 ? ? 120 40 C10

P(? ? 2) ?

2 1 C7 C3 63 21 , ? ? 3 120 40 C10

3 C7 35 7 . P(? ? 3) ? 3 ? ? C10 120 24

所以 ? 的分布列为

?

0

1

2

3

P1
120
所 以

7 40

21 40

7 24

E? ? 0 ?

1 7 21 7 21 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 120 40 40 24 10

……………13 分

(2015 届丰台二模) 16.(本小题共 13 分) 长时间用手机上网严重影响着学生的健康,某校为了解 A,B 两班学生手机上网的时长,分别从这两个班中随机抽取 6 名同学进行调查,将他们平均每周手机上网时长作为样本数据,绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个 位数字).如果学生平均每周手机上网的时长超过 21 小时,则称为“过度用网”. (Ⅰ)请根据样本数据,估计 A,B 两班的学生平均每周上网时长的平 (Ⅱ)从 A 班的样本数据中有放回地抽取 2 个数据,求恰有 1 个数据为 网”的概率; (Ⅲ)从 A 班、B 班的样本中各随机抽取 2 名学生的数据,记“过度用 人数为 ? ,写出 ? 的分布列和数学期望 E? . 3 4 1 0 7 1 2 3 A班 9 0 网”的学生 1 1 6 2 5 7 B班 均值; “过度用

(2015 届昌平二模) 16. (本小题满分 13 分) 某大学志愿者协会有 10 名同学,成员构成如下表,其中表中部分数据不清楚,只知道从这 10 名同学中随机抽取一位, 抽到该名同学为“数学专业 ”的概率为 .... 专 业 性别 男 女 中文 英语 数学 体育

2 5

.

n
1

1 1

m
1

1 1

现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学参加社会公益活动(每位同学被选到的可能性相同). (I) 求 m, n 的值;(II)求选出的 3 名同学恰为专业互不相同的男生 的概率;(III)设 ? 为选出的 3 名同学中“女生 .. .. 或数学专业 ”的学生的人数,求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E? . ..... 解:(I)设事件

A :从 10 位学生中随机抽取一位,抽到该名同学为“数学专业”.

由题意可知,“数学专业”的学生共有 (1 ? m) 人. 则 P ( A) 解得

?

1? m 2 ? . 10 5

m ?3.
? 1.
1 2 C3 C3 ? 1 1 ? . 3 12 C10

所以 n

…………… 4 分

(II)设事件 B :从这 10 名同学中随机选取 3 名同学为专业互不相同的男生. 则 P( B)

?

……………7 分

(III)由题意, ? 的可能取值为 0 , 1 , 2 , 3 . 由题意可知,“女生或数学专业”的学生共有 7 人.
3 C3 1 所以 P(? ? 0) ? 3 ? , C10 120

P(? ? 1) ?

1 2 C7 C3 21 7 , ? ? 3 120 40 C10

2 1 C7 C 63 21 , P(? ? 2) ? 3 3 ? ? 120 40 C10

P(? ? 3) ?
所以 ? 的分布列为

3 C7 35 7 . ? ? 3 C10 120 24

?
X

0

1

2

3





P

P

1 120

7 40

21 40

7 24

E? ? 0 ?

1 7 21 7 21 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 120 40 40 24 10

……………13 分



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