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2006年中国数学奥林匹克协作体 前五次考试试题汇编(PDF)


1, 直线 l 在 x 轴与 y 轴上的截距相等,且到点 P(5,6)的距离为 6,则这样的直线共_____条.

2, △ABC 的三边长为 a,b,c,满足 b+c≤2a,及 a+c≤2b,则 a/b 的取值范围是_____. 3, 在棱长为 a 的正方体 AC1 中, N 分别为 D1C1, 的中点, C 到平面 MB1ND 的距离为 _____. M, AB 则 4, (n)表示 n 的个位数,an =(n2)-(n),则数列{an}的前 2006 项之和 S2006=___. 5, 已知 cosα + cosβ = 2m , sinα + sinβ = 2n , 则 cotαcot β=_____. 6, 已知非负实数 a, c 满足 a+b+c=1, a^2+b^2+c^2+18abc 的最大值是_____, b, 则 最小值是_____. 7, 曲线 x2-my2=1,焦点 F1,F2 及准线 l1,l2 与 x 轴交点 K1,K2,这四个点在 x 轴上等距排列,则 m
的值为_____.

8, 设 x,y,z in R^+, 满足 xyz+x+z=y,P=2/(x^2+1)-2/(y^2+1)+3/(z^2+1), 则 P_max = 9, 三位数中,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,则称这个数为凹数,如 504,746
等都是凹数,那么,各个数位上无重复数字的三位数中凹数共有_____个.

10,

经过一个直平行六面体内的一点作出 3 个平面分别平行于它的各面,这时它被分成 8 个较小的

体积不等的平行六面体,那么在这些小平行六面体中至少有 a 个体积小于原平行六面体体积的 1/8, 则 a 最大值是_____. 8 8 甲,乙二人相约 10 天之内在某地会面,约定先到的人等候另一个人,经过 3 天以后方可离开, 边长均为整数,最长边不超过 9 的三角形的个数为? 一个制镜工人有块形如直角三角形的材料,现要求截下两个半径相同的圆作为隐形眼镜镜片,

11, 12, 13, 14, 15, 16,

若他们在限期内到达目的地是很可能的,则此二人会面的概率为?

已知直角三角形三边长为 3,4,5,且两圆均与斜边相切,并分别与两直角边相切,则该圆形镜片最 大半径为? 4×4 的正方形网格,每个小正方形边长为 1,从网格上任一点出发,沿着网格线行走.要求不 8 二次项三项式 f(x) 满足对任意 a ,b in R ,f(a)+f(b)=f(a+b)-ab-1,则抛物线 y= f(x) 的顶 已知锐角△ABC 的三条高分别为 AD,BE,CF,若△ABC 的周长为 20cm,则△DEF 的周长最大 8 8 本不同的书分别给 3 名学生,要求每个学生至少分得 1 本,有_____种分法(用数字作答) .

17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 二

能走重复的线段,则一次行走能走过的最长路程为?

点的轨迹方程为? 值为?

1,设定义在有序正整数对上的函数 f 满足如下条件:
(1)f(x,x) = x;(2)f(x,y) = f(y,x);(3)(x+y)*f(x,y) = y*f(x,x+y) 求:f(x,y).

2,对平面上的任意凸 n 边形 A1A2…An 及内部任意点 P,求∠PAiAi+1(1≤ i ≤n)中最小者的最大值,其中
An+1=A1. 3,

三, 1,

2,给定正整数 m,n,求最小正整数 k,使得在任意 k 个人中,要么存在 2m 个人,将他们两两分成 m 组,每组
中的两个人互相认识;要么存在 2n 个人,将他们两两分成 n 组,每组中的两个人互相不认识. 3,给定正整数 r,求一切正整数 k.使 Xk={6r2, 6r2+1, … , 6r2+k}可以划分为 3 个子集 A,B,C(A ∩B∩C=空集 , A∪B∪C=Xk), 满足:S(A)=S(B)=S(C).(S(X)为 X 中元素之和) 四,

.

11. 从等差数列 2,5,8,11,…中取 k 项,使其倒数和为 1,则 k 的最小值是__________. 12.在一个圆上任取三个点,求这三点构成的三角形是锐角三角形的概率是_____.

五, 一.(50 分)锐角三角形 ABC 的内切圆 切 BC 于点 K,AD 为三角形 ABC 的高,M 为 AD 的中点,直线 KM 交 于另一点 N. 求证:三角形 BCN 的外接圆与 相切于点 N.

三.(50 分)设$a_1,a_2,...,a_n$是一个由正整数组成的公差不为零的等差数列,且该数列每一项的十进制表 示中都不出现数字 9,试求该数列项数 n 的最大值.


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