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【2014必备】北京中国人民大学附中高考数学综合能力题选讲:第25讲 建构函数模型的应用性问题(含详解)



数学高考综合能力题选讲 25

建构函数模型的应用性问题
题型预测
应用题是高考考查的重点,也是考生得分的难题,近年来该类试题的特点日趋鲜明:1. 应用题的信息来源真实可靠;2.应用题的个数明显在增加;3.注重考查学生动脑、动手能力 及应用的能力(如 2002 年文科 22 题)。从高考应用题来看,涉及函数、数列、不等式等高中 主要板块的内

容,是历年高考命题的热点和重点. 解答函数型应用题, 一般先从建立函数的解析表达式入手, 通过研究函数的性质获得解 答.因此,这类问题的难点一般有两个:一是解析式的建立,二是数学知识的灵活应用.

范例选讲 例 1. 某公司为帮助尚有 26.8 万元无息贷款没有偿还的残疾人商店,借出 20 万元将该商店改建成经营状况良好 q 的某种消费品专卖店, 并约定用该店 经营的利润逐步偿还债务(所有债务 60 均不计利息). 已知该种消费品的进价为每件 40 元;该店每月销售量 q(百件)与 销售价 p(元/件)之间的关系用右 图中的一条折线(实线)表示;职工 每人每月工资为 600 元, 该店应交付 24 的其它费用为每月 13200 元. 1 (Ⅰ) 若当销售价 p 为 52 元/件 时,该店正好收支平衡,求该店的职 40 58 81 p 工人数; (Ⅱ)若该店只安排 40 名职工, 则该店最早可在几年后还清所有债务,此时每件消费品的价格定为多少元? 讲解 本题题目的篇幅较长,所给条件零散杂乱,为此,不仅需要划分段落 层次, 弄清每一层次独立的含义和相互间的关系, 更需要抓住矛盾的主要方面. 由 题目的问题找到关键词——“收支平衡”、“还清所有债务”,不难想到,均与 “利润”相关. 从阅读和以上分析,可以达成我们对题目的整体理解,明确这是一道函数型 应用题.为此,首先应该建立利润与职工人数、月销售量 q、单位商品的销售价 p 之间的关系,然后,通过研究解析式,来对问题作出解答. 由于销售量和各种支出均以月为单位计量,所以,先考虑月利润. (Ⅰ)设该店的月利润为 S 元,有职工 m 名.则

S ? q ? p ? 40? ?100 ? 600m ?13200 .
??2 p ? 140, ? 又由图可知: q ? ? ?? p ? 82 ?

? 40 ? p ? 58? . ? 58 ? p ? 81? ? 40 ? p ? 58 ? ?58<p ? 81?

?? ?2 p ? 140 ?? p ? 40 ? ?100 ? 600m ? 13200 ? 所以, S ? ? ?? ? p ? 82 ?? p ? 40 ? ?100 ? 600m ? 13200 ?

由已知,当 p ? 52 时, S ? 0 ,即

? ?2 p ?140?? p ? 40? ?100 ? 600m ?13200 ? 0 ,
解得 m ? 50 .即此时该店有 50 名职工. (Ⅱ)若该店只安排 40 名职工,则月利润
?? ?2 p ? 140 ?? p ? 40 ? ?100 ? 37200 ? S ?? ?? ? p ? 82 ?? p ? 40 ? ?100 ? 37200 ?

? 40 ? p ? 58? . ? 58<p ? 81?

当 40 ? p ? 58 时,求得 p ? 55 时,S 取最大值 7800 元. 当 58 ? p ? 81 时,求得 p ? 61时,S 取最大值 6900 元. 综上,当 p ? 55 时,S 有最大值 7800 元. 设该店最早可在 n 年后还清债务,依题意,有 12n ? 7800 ? 268000 ? 200000 ? 0 . 解得 n ? 5 . 所以,该店最早可在 5 年后还清债务,此时消费品的单价定为 55 元. 点评 求解数学应用题必须突破三关: (1)阅读理解关:一般数学应用题的文字阅读量都比较大,要通过阅读审 题,找出关键词、句,理解其意义. (2)建模关:即建立实际问题的数学模型,将其转化为数学问题. (3)数理关:运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型. 例 2.一位救生员站在边长为 100 米的正方形游泳池 ABCD 的 A 处(如 图),发现 C 处有一位溺水者.他跑到 E 处后,马上跳 A 水沿直线 EC 游到 C 处, 已知救生员跑步的速度为米 v / v E 分,游泳的速度为 米/分. 2 试问,救生员选择在何处入水才能最快到达 C 处,所用 的最短时间是多少? 讲解:理解本题并不难:应该建立时间 t(分)关于 某个变量的函数关系式,然后,通过求最值的方法来解
B

D

C

决问题. 难点在于变量的选择,当然,我们可以选择以 AE 的长度 x(米)作为变量,
2 x 2 100 ? ?100 ? x ? 但此时 t ? ? ,求最值较为困难. v v 2

注意到:AE 和 EC 的长度,可以方便的用角表示,不必用到根号,所以我 们可以尝试以 ?CEB 作为变量. 100 设 ?CEB ? ? ,则 AE ? 100 ? 100 cot ? , CE ? ,所以, sin ?
t? 100 ? 100cot ? 200 100 ? 2 ? cos ? ? ? ? ?1 ? ? v v ? sin ? v ? sin ? ?

? ? 1 ? tan 2 ? 2 ? 2? 2? ? 1 ? tan 100 ? 2 ? 1? ? ? v 2 tan ? 2 ? ? ? 1 ? tan 2 ? 2
?

? ? ? ? ? ? 1 ? 3 tan 2 100 ? 2 ?? ?1 ? ? ? v ? 2 tan ? ? 2 ? ? ?

? ? ? ? 100 50 ? 1 ?? ? ? ? 3 tan ? ?? v v ? tan ? 2? ? ? ? 2 ?

100 50 100 ? 100 3 ? ?2 3 ? v v v

等号当且仅当

1 tan

?
2

? 3tan

?
2

,即 tan

?
2

?

? 3 ,即 ? ? 时成立. 3 3

此时, AE ? 100 ?

100 3 100 ? 100 3 ,t ? .也即,救生员应该在 AB 边 3 v

上距 B

100 3 米处入水,才能最快到达 C 处,所用的最短时间为 3

t?

100 ? 100 3 . v

点评 (1)恰当选择变量,有助于简化数学过程;(2)本题中,若以 AE ? x 为自变量,也可通过三角代换(或移项、平方、判别式等)来求得最值. 例 3.某厂生产一种仪器,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些 次品.根据经验知道,该厂生产这种仪器,次品率 P 与日产量 x(件)之间大体
? 1 ? 96 ? x ?1 ? x ? c, x ? N ? ? 满足关系: P ? ? ?2 ? x ? c, x ? N ? ?3 ?

? 其中c为小于96的正常数? .

注:次品率 P

?

次品数 ,如 P ? 0.1 表示每生产 10 件产品,约有 1 件为次品.其余为合格品. 生产量
A 元, 2

已知每生产一件合格的仪器可以盈利 A 元,但每生产一件次品将亏损

故厂方希望定出合适的日产量. (Ⅰ)试将生产这种仪器每天的盈利额 T(元)表示为日产量 x(件)的函 数; (Ⅱ)当日产量为多少时,可获得最大利润? 讲解:(Ⅰ)当 x ? c 时, P ? 当 1 ? x ? c 时, P ?
2 1 2 A ,所以,每天的盈利额 T ? xA ? x ? ? 0 . 3 3 3 2

1 1 ? ? ,所以,每日生产的合格仪器约有 ?1 ? ? x 件, 96 ? x ? 96 ? x ?

? 1 ? 次品约有 ? ? x 件.故,每天的盈利额 ? 96 ? x ?
? 1 ? 3x ? ? 1 ? A ? T ? ?1 ? ?A ? xA ? ? ? x? ? ? x ? 2 ? 96 ? x ? ? ? 96 ? x ? ? 96 ? x ? 2 ? ? ?

综上,日盈利额 T (元)与日产量 x (件)的函数关系为:

?? ? 3x ?? x ? ? A, T ? ?? 2 ? 96 ? x ? ? ? x?c ?0,
? ? 3x 当 1 ? x ? c 时, T ? ? x ? ?A. ? 2 ? 96 ? x ? ? ? ?

1? x ? c



(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x ? c 时,每天的盈利额为 0.

为表达方便,令 96 ? x ? t ,则 0 ? 96 ? c ? t ? 95 .故
? 1 3 ? 96 ? t ? ? ? 144 ? 144 ? 147 ? 1 T ? ? 96 ? t ? A?0 ?A? ? A ? ? 97 ? t ? ? A ? ? 97 ? 2 t ? ? 2 ? 2t t ? t ? 2 ? 2 ? ? ?

.(等号当且仅当 t ?

144 ,即 t ? 12 ?即x ? 88? 时成立).所以, t 147 A (等号当且仅当 x ? 88 时成立). (1)当 c ? 88 时, Tmax ? 2

(2) 当 1 ? c ? 88 时, 1 ? x ? c 得 12 ? 96 ? c ? t ? 95 , 由 易证函数 g ? t ? ? t ?

144 t

在 t ? (12, ??) 上单调递增(证明过程略). 所以, g(t ) ? g ?96 ? c ? .所以,
? 144 ? 189c ? 2c 2 ? 144 ? 144 ? ? 1 ? 1 T ? ? 97 ? t ? A ? ? 97 ? ? 96 ? c ? ? A?? ?A? 0. ? ? t ? 96 ? c ? 192 ? 2c ? 2 ? 2 ? ?

? 144 ? 189c ? 2c 2 ? 即 Tmax ? ? ? A .(等号当且仅当 x ? c 时取得) 192 ? 2c ? ?
综上, 88 ? c ? 96 , 若 则当日产量为 88 件时,可获得最大利润;若 1 ? c ? 88 , 则当日产量为 c 时,可获得最大利润. 点评 基本不等式和函数的单调性是求解函数最值问题的两大重要手段.



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