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高二必修五等比数列(2)



新授课:2.4.2 等比数列(2) 枣庄二中 张婷婷 13001597027 教材分析 本节内容是数学必修 5 第二章 《数列》 第四节等比数列性质的内容, 等比数列在生活中有着广泛应用, 是学生学习了函数、等差数列、等差数列的性质及等比数列概念、通项公式基础上,对另一种特殊函数性 质的理解,是学生探究数列的又一升华、提高.它对之前内容的学习,无论在知识上,还是在方法上都具 有积

极的意义. 课时分配 本节内容用 2 课时的时间完成,本节课为第 2 课时,主要讲解等比数列的性质,以及能够运用等比数 列的有关知识解决一些相关问题. 教学目标 重点:等比数列的通项公式、性质及应用. 难点:灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题. 知识点:灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项概念;熟悉等比数列的有关性质, 并系统了解判断数列是否成等比数列的方法. 能力点:进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用,通过自主探究、合作交流获得对等比数列 的性质的认识. 教育点:采用直观对比法、讨论法,以及讲练结合方法,通过一题多解激发学生求知欲,使学生主动 参与数学实践,以独立思考和相互交流的形式,在教师的指导下发现分析、解决问题. 自主探究点:在引导分析时,留出学生思考空间,让学生去联想、对比、探索,同时鼓励学生大胆质疑, 把思路方法和需要解决问题弄清,课堂中要充分体现学生的主体地位,重过程、重讨论. 考试点:应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题. 易错易混点:等比数列与等差数列性质的区辨. 拓展点:等差数列与等比数列性质的综合运用. 教具准备 投影仪和一体机 课堂模式 学案导学,多媒体引导启发. 一、引入新课 首先回忆一下上一节课所学主要内容: 1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列 就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示(q≠0) ,即: 2.等比数列的通项公式: an =a1 ? q

an?1 ? q ? q ? 0? an

n-1

? a1 ? q ? 0 ?

3.等比中项:如果在 a与b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么称这个数 G 为 a 与 b 的等 比中项. 即 G= ? ab ( ab 同号) ∴ a,G,b 成等比数列 ? G =ab (ab ? 0)
2

4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列 其次回顾等差数列的常用性质: 性质 1:等差数列通项公式的推广: an ? am +(n-m)d(n、m ? N +) . 性质 2:若 ? an ? 为等差数列,且 k+l=n+m(k、l、n、m ? N +) ,

则 ak ? al =am ? an (k、l、n、m ? N +)

? 性质 3:若 ? an ? 是等差数列,则 2an ? an ?1 ? an ?1 , a1 ? an ? a2 ? an ?1 ? a3 ? an ?2 ?? ?
性质 4:若 ? an ? 、?b n ? 分别是以 d1 、 d 2 为公差的等差数列,则 ? pan ? qbn ? 是以 pd1 ? qd 2 为公差的等差 数列

?? 性质 5:若 ? an ? 是等差数列,则 ak , ak ? m , ak ? 2 m , ak ?3m ,? ? k、m ? N + ? 组成公差为 md 的等差数列 ?? ? 性质6:.等差数列 ? an ? 的公差为 d,前 n 项和为 Sn ,那么数列 Sk,S2k -Sk,S3k -S2k,? k ? N + ? 也是等差
数列,其公差等于 k d 问:如何类比等差数列的性质得出等比数列的性质 【设计意图】复习等差数列和等比数列的有关知识,调查学生的掌握情况,并通过等差数列的性质,引导 学生用类比的方法探究出等比数列的性质. 二、探究新知 性质 1(通项公式的变型式) :设 an 、 am 为等比数列
2

?an ? 中任意两项,且公比为 q, a 则
n-1 m-1

n

? am q n ? m .

则有an =a1q ,am =a1q 分析: 设等比数列?an ?的首项为a1,公比为q,

从而

an =q n-m,即an =am q n-m . am

【设计意图】运用此公式,已知任意两项,可求等比数列中的其他项. 性质2(等比数列的对称性):若等比数列

?an ? 的首项为 a ,公比 q,且 m、n、s、t ? N
1

+



若m+n=s+t,则有an ? am =as ? at ; 若m+n=2s,则有an ? am =as 2 .
分析:

an =a1 ? n-1,am =a1 ? m-1,从而am ?an =a12 ? m+n-2 q q q
2 s+t-2

a q 同理可得 as ? t =a1 ?

又因为m+n=s+t,所以am ?an =as ? t a
【设计意图】让学生理解等比数列的对称性,拓展解题思维提高解题的效率,同时与等差数列的对称性区分 开. 性质 3(单调性) :等比数列与指数函数的关系:
? 1 等比数列 ? an ? 的通项公式 a aq( ? ?,它的图象是分布在曲线 y ? ?? n a 0 n 1 1q )

a1 x q (q>0)上的一 q

些孤立的点. 当 a1 ? 0 , q ? 1 时,等比数列

?an ? 是递增数列; ?an ? 是递减数列;

当 a1 ? 0 , 0?q?1 时,等比数列

当 a1 ? 0 , q ? 1 时,等比数列

?an ? 是递减数列; ?an ? 是递增数列;

当 a1 ? 0 , 0?q?1 时,等比数列 当 q ? 0 时,等比数列 当 q ? 1 时,等比数列

?an ? 是摆动数列;

?an ? 是常数列.

【设计意图】讨论等比数列与指数函数的关系,既加深了对等比数列的认识,又提高学生解题特别是填空 题、选择题的效率. 性质 4:判断一个数列是否成等比数列的方法: 1 、定义法,

an ?1 ? q ? q ? 0为常数,n ? N + ? ? ?an ? 是等比数列 an
2

2、通项公式法, an ? cq
2

? c、q是不为0的常数,n ? N ? ? ?a ? 是等比数列
+ n

3、中 项法, an +1 ? an ? an +2 ? an ? an +1 ? an +2 ? 0,n ? N + ? ? ?an ? 是等比数列 4、在等比数列

?an ? 中 a ,a
k

k+m

,ak+2m,ak+3m,?组成公比为 q m 的等比数列(m 为等距离的项数之差) ? ?

?1? ?a ? 若?an ?、bn ? ? 项数相同? 是等比数列,则??an ?、 ?、an 2 ?、an ? bn ?、 n ? 仍是等比数列 ? ? ? ? ? ? an ? ? bn ? 5、
【设计意图】判断数列是否为等比数列的常见方法,重点是定义法. 三、理解新知 1. 理解等比数列的性质及通项公式要抓住关键词和关键量; 2. 运用等比数列的性质来解决问题,能起到事半功倍的效果; 3. 等比数列中得三项问题,注意中项的运用. 四、运用新知 例 1 在等比数列

?an ? 中,若 a =4,a =16,求a
4 6

5

解法一: 用通项公式解法

1 ? ? a1q 4-1 =4 ? a1 = ? 解得 ? 2 ? 6-1 ? a1q =16 ? q 2 =4 ?
? a5 =a1q 4 = ? 8
解法二:用等比数列通项公式变型式解题

a6 =a4q 2,即16=4q 2,所以q= ? 2
所以 a5 =a1q = ? 8 a5 =a1q = ? 8
4 4

【设计说明】给出两种解法,解法 1 设首项与公比,列方程解出是通法;解法 2 是技巧,巧用公式,使计 算简便,可以看出用等比数列通项公式的变型式解题简便得多. 变式 1:在等比数列 ? a n ? 中, a2 ? ? , a5 ? 54,求 a 2
8

解法(一) a a ? ? : 8 5 ?q a 5
3

a 54 5 ?? ? 54 ? 1458 a ? 2 2

解法(二) :∵ a 5 是 a 2 与 a 8 的等比中项 ∴ 54 a ? 2 ? 8 ? [来源:学&科&网 Z&X&X&K]
2

∴ a ?? 1458 8 例 2 (1) 已知 ? a n ? 是等比数列,且 an ? 0,
2

a2 a4 ? 2a3a5 ? a4 a6 ? 25 , 求 a3 ? a5
2

王新敞
奎屯

新疆

(2) a ? c ,三数 a,1, c 成等差数列, a ,1, c 成等比数列,求 解:(1) ∵ ? a n ? 是等比数列, ∴ a2 a4 ? 2a3 a5 ? a4 a6 ? ? a3 ? a5 ? ? 25 ,
2

a?c a2 ? c2

又 an ? 0,? a3 ? a5 ? 5 (2) ∵ a,1, c 成等差数列, ? a+c=2

c 又 a ,1, c 成等比数列, ? a ? ? 1, 有ac =1或ac =-1 ,
2 2 2 2

当 ac =1时, 由 a+c=2 得 a ? 1, c=1 与 a ? c 矛盾, ∴ ac=-1 , ac ( c 2 6 ? a) ac ? ?? ?
2 2 2



a?c 1 ? . 2 2 3 a ?c

【设计说明】通过本例,让学生熟悉 m、n、s、t ? N + , 当m+n=s+t,有an ? am =as ? at ,

当m+n=2s,有an ? am =as 2
变式 2:在等比数列 ?b n ? 中, b4 ? 3 ,求该数列前七项之积.[来源:Zxxk.Com] 解:∵ b 4 6? ?63b b b b 2? ? b b1 b b b b b 1 3 5 7? ? ? 5 2 b 7 b 4 又∵ b? 7 b ?b b ?b b b 26 35 4 1
2

∴前七项之积 3 ?? ? [ 3 3 2187
7

??

23

例 3 已知等比数列 ? a n ? 中, a1 =1 ,公比为 q(q ? 0) ,且 b n =an+1 -an . (1)判断数列 ?b n ? 是否为等比数列?说明理由. (2)求数列 ?b n ? 的通项公式.

解:(1) ∵ ? a n ? 是等比数列, a1 =1 ,公比为 q(q ? 0) ∴ an =a1q
n-1

=q n-1 q ? 0) ( ,

若 q=1 ,则 an =1,b n =an+1 -an =0 ∴ ?b n ? 是各项均为 0 的常数列,不是等比数列 若 q ? 1 ,由于
n b n ?1 an +2 -an +1 q n+1 -q n q ? q-1? ? = n n-1 = n-1 =q bn an +1 -an q -q q ? q-1?

∴ ?b n ? 是首项为 b1 =a2 -a1 =q-1 ,公比为 q 的等比数列. (2)由(1)可知,当 q=1 时, b n =0 ; 当 q ? 1 时, b n =b1q
n-1 n-1

= ? q-1??q n-1

q ∴ b n = ? q-1?? (n ? N ?)
随堂练习: 1.已知 ? an ? 是等比数列,且 an ? 0, a2 a4 ? 2a3a5 ? a4 a6 ? 36 ,那么 a3 ? a5 的值等于 2.已知等比数列 ? an ? 满足 a1 ? a2 ? 3, a2 ? a3 ? 6, 则a7 ? 五、课堂小结 等比数列的性质从公式的结构上,解题的思路上与等差数列有相似的地方,也有不同的地方.(由 学生口述,老师归纳总结) 1 解题思路相似,公式相似,方法相似. 2 解题结果由于数列的不同性质而不同, 如等比数列会出现两组结果.可以通过与等差数列进行对比帮 助记忆、掌握. 六、布置作业 必做作业:1、课本第 53 页,第 1 题(1)(2)(3)(4) 2、在等比数列 ? a n ? ,已知 a1 ? 5 , aa ? ,求 a 18 9 10 100 =

3、在等比数列中,若 a2 =2,a6 ? 162,则a10 ? _______. 4、在等比数列 ? a n ? 中, a3a4 a5 =3,a6 a7 a8 =24,则a9 a10 a11 = 的值是________. 选做作业:1、小明、小刚和小强进行钓鱼比赛,他们三人钓鱼的数量恰好组成一个等比数列.已知他们 三人一共钓了 14 条鱼,而每个人钓鱼数量的积为 64. 并且知道,小强钓的鱼最多,小明钓的鱼最少,问 他们三人各钓了多少条鱼? 2、有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和 是 16,第二个数与第三个数的和是 12,求这四个数. 七、教后反思 1.本教案在等比数列性质得出过程中,充分发挥学生的主动性,类比得出等比数列的性质,能够体现出自 主探究的过程.

2.在例题的设置上,由于本节课的知识点太多,例题、练习不能全部覆盖知识点. 3.课后书面作业实施分层设置,使学生在完成必修教材基本学习任务的同时,拓展自主发展的空间,使不 同的人在数学上得到不同的发展,充分体现了课改精神. 4.用问题式教学, 发挥了学生的主观能动性. 5.绝大部分学生在单独处理例 1、例 2 时是不用费多大劲的,但是当面对例 3 时,大部分学生很有可能感 觉无从下手,原因何在?主要还是因为对等比数列的定义和性质运用的不熟练. 八、板书设计 2.4.2 等比数列(2) 一、复习 1.等比数列定义 2.等差数列性质 二、新课讲授 等比数列性质 1、2、3、4 三、应用 例 1. 变式训练 四、课堂小结: 例 2. 五、作业: 变式训练

例 3.

随堂练习:



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