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第三讲、集合的基本运算



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第三讲、集合的基本运算 【本课目标】 1、理解交集和并集的意义; 2、了解全集和补集; 3、能准确运用集合运算符号; 4、会用 Venn 图、数轴来帮助思考。 【知识要点】 (1) 并集:由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合叫做 A 与 B 的并集。 记作 A∪B。读作:A 并 B。其含义用符号表示为: A ? B

? {x | x ? A, 或x ? B} 用 Venn 图表示并集如下:

A

B

(2) 交集:由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为 A 与 B 的交集。 记作:A∩B。读作:A 交 B。其含义用符号表示为: A ? B ? {x x ? A,且x ? B} 。 用 Venn 图表示交集如下:
A B

(3) 交集与并集的运算性质: ① A ? A ? A,A ? A ? A ; ③ A ? B ? B ? A,A ? B ? B ? A ;
( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C) ; ④ ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C),

② A ? ? ? ?,A ? ? ? A ;

⑤ A ? B ? A ? A ? B,A ? B ? A ? B ? A 。 (4) 全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个 集合为全集,通常记作 U。 (5) 补集:对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集,简称为集合 A 的补集。 其含义用符号表示为: CU A ? {x x ?U,且x ? A} 用 Venn 图表示交集如下:
U A CUA
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(6)

补集与交集、并集的性质——反演律:

① CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) ;② CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) 。 即为:并的补等于补的交;交的补等于补的并(摩尔根定律)。 【例题解析】 [例 18] 设 U={三角形},M={直角三角形},N={等腰三角形},则 M ? N= M ? N= CUN= CUM= CU(M ? N)=

[例 19] 设集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2}, 集合B ? { x |1 ? x ? 3}, 求A ? B.

[例 20] 设集合 A={x ? Z x 2 ? px ? 15 ? 0 },集合 B={x ? Z x 2 ? 5 x ? q ? 0 },若已知 A ? B={2,3,5},则集合 A、B 分别为( A.{3,5}、{2,3} B.{2,3}、{3,5} ) C.{2,5}、{3,5} D.{3,5}、{2,5}

2, 3, 4, 5},A ? {x x 2 ? 5 x ? 4 ? 0} ,求 CU A 。 [例 21]已知全集 U ? {1,

[例 22]已知集合 A ? {x x 2 ? 4mx ? 2m ? 6 ? 0, x ? R} , B ? {x x ? 0,x ? R} ,若已知
A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围。

[例 23] 设 A={x x 2 ? 4 x ? 0, B ? {x x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 1 ? 0} ,其中 x ? R,如果 A ? B=B, 求实数 a 的取值范围。

2 2 [例 24]已知 A ? y y ? x ? 4 x ? 6, y ? N , B ? y y ? ? x ? 2 x ? 18, y ? N ,求A ? B 。

?

?

?

?

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[例 25]已知集合 A ? ?x x 2 ? px ? q ? 0? , B ? ?x x 2 ? px ? 2q ? 0? , 且A ? B ? ??1? , 求A ? B.

[例 26]设全集 U ? {a,b,c,d,e,f,g,h} 。已知 (CU A) ? (CU B) ? {a,e} ,
(CU A) ? (CU B) ? {a,b,c,e,f,g,h}, (CU A) ? B ? {c,g}, (CU B) ? A ? {b,f,h},

求集合 A 和集合 B。

[例 27] 若 M={ x n ? A. ?

x x ?1 , n ? Z },N={ x n ? , n ? Z},则 M ? N 等于( 2 2



B.{ ? }

C.{0}

D.Z

2 2 2 [例 28]已知集合 A ? x x ? 4 x ? 3 ? 0 , B ? x x ? ax ? a ? 1 ? 0 , C ? x x ? mx ? 1 ? 0 ,

?

? ?

?

?

?

且A ? B ? A, A ? C ? C, 求a, m 的值或取值范围。

[例 29]定义 A—B={x|x∈A,且 x ? B},若 M={1,2,3,4,5},N={2,4,8},则 N—M=



[例 30]某班 50 个学生中,参加数学竞赛的 25 个,参加化学竞赛的 32 人,既参加数学竞 赛又参加化学竞赛的人数最多是几人?最少又是几人?

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【练习检测 1】 一、选择题 1.设集合 M={ ( x, y) | y ? ? x ? 2 },N= {( x, y) | y ? x ? 4 },则集合 M ? N 为( (A) x ? 3, y ? ?1 (B) (3,-1) (C) {3,-1} )

(D) {(3,-1)} )

2.集合 M={ y | y ? x 2 ? 4 x ? 3, x ? R },N={ y | y ? x ? 1 , x ? R }则集合 M ? N 为( (A) { y | y ? ?1或0} (B) { x | x ? 0或1 } (C){ (0,?1), (1,0) } ( ) (D) A ? ?

(D){ y | y ? ?1 }

3.若 A、B、C 为三个集合, A ? B ? B ? C ,则一定有 (A) A ? C 二、填空题 4.{ x | x ? 2n, n ? N } ? { x | ?3 ? x ? 3 }=_________________ (B) C ? A (C ) A ? C

5.{ x |? ?3 ? x ? 3 } ? { x | x ? ? 2 or x ? 2 }=____________________ 6.A={ x | x ? ?4 or x ? 6 },B={ x | a ? x ? 2a }, A ? B ? B ,则 a ?_______________ 三、解答题 7.设 A={ x | x 2 ? px ? q ? 0 },B={ x | x 2 ? px ? 2q ? 0 }, A ? B ={-1},求 A ? B

8.已知集合 M={2,3, x 2 ? 1 },N={ ?

13 2 , x ? x ? 4,2 x ? 1 },M ? N={2},求 x 的值 4

9.已知 A={ x | x 2 ? ( p ? 2) x ? 1 ? 0 },若 A ? R ? ? ? ,求 p 的范围

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【练习检测 2】 一、选择题 1.记 U 是全集,且非空集合 A、B 满足 A ? B,则下列选项中表示空集的是( (A) A ? B (B) CuA ? B (C) CuA ? CuB (D) A ? CuB ) )

2.已知全集为 U,集合 A={ x | ?2 ? x ? 2 },B={ x | x ? a },如果 A ? CUB=A,则有( (A) a =2 (B) a ? 2 (C) a ? 2 (D) a ? 2

3.若全集 U={1,2,3,4,5,6},P={1,2,5},Q={2,3,4,5},则 CU(P ? Q)的所有 元素的和为( ) (A)15 (B)14 (C)8 (D)6 二、填空题 4.设全集 U={2,3,5},A={2,| a ? 5 |},CUA={5},则 a =_________ 5.设全集 U=R,A={-1,1},B={ x | x ? ?2 or x ? 2 },则 CUA ? B=___________ 6.已知 U={ x | x ? 10, x ? N * },A ? CUB={2,4,6},CUA ? B={5,7,9},CUA ? CUB= {1,10},则 A=_________,B=___________ 三、解答题 7.设全集 U={ x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0 },A={ x | x 2 ? px ? q ? 0 },CUA= ? ,求 p、q 的值

8.设 U=R,集合 A={ x | ?4 ? x ? 6 },B={ x | ?a ? x ? a, a ? 0 },若 A ? CUB= ? ,求 a 的范围

9.用 A、B 、C 的运算式表示图中的阴影部分

A

B

C

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阶段检测(1) 一、填空题 1.{矩形} ? {菱形}=______________ 2.集合{1,3,5,7}的真子集个数为______________ 3.全集 U={ x | x ? 3 },集合 A={ x | 4 ? x ? 5 },集合 B={ x | 2 ? x ? 6 },则 CUA ? B=___
b 4.如果 {a, ,1} ={ a 2 , a ? b,0 },那么 a 3 ? b 3 =___________ a

5.集合 {x | x ?

a b c abc ? ? ? , a、b、c ? Z } =_______________ | a | | b | | c | | abc | 1 1 _____A, _____A 2 ?1 3? 2

6.A={ x | x ? a ? 2b, a ? Z , b ? Z },则 0____A,

7.非空集合{ x | x 2 ? 4x ? p ? 0 }中所有元素之和为________ 8. 全集 U={ ( x, y) | x ? R, y ? R }, A={ ( x, y ) | 二、选择题 9.集合 {n | x ? (A) 5
6 , x ? Z } 中元素个数( 2?n (B) 6 (C) 7
y?3 B={ ( x, y) | y ? x ? 1 }, 则 CU (A ? B) =_________ ? 1 }, x?2

) (D) 8 )

10.M={ x | x ? 2n ? 1, n ? Z },N={ x | x ? 4n ? 3, n ? Z },则 M、N 的关系是( (A) M ? N (B)M ? N (C) M=N (D)M ? N

11.设全集 U=N,E={ x | x ? 2n, n ? N },F={ x | x ? 6n, n ? N },则 U 可以表示为( (A) E ? F (B)CUE ? F (C)E ? CUF (D)CUE ? CUF



12.设 A={ x | x ? n, n ? Z },B={ x | x ? 的是( )
?

n n , n ? Z },C={ x | x ? ? 1, n ? Z },下列结论中错误 2 2

(A)A ? B 三、解答题

( B)C ? B
?

(C)A ? C =B

(D) A ? C ? B

13.已知(1,2) ? (A ? B), 这里 A={ ( x, y) | ax ? y 2 ? b ? 0 },B={ ( x, y) | x 2 ? ay ? b ? 0 },求 a、 b 的值

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14.集合 A={ x | 1 ? x ? 2 },B={ x | a ? 2 ? x ? 2a ? 1},C={ x | x 2 ? 3x ? 4 ? 0 },且 B ? C, B ? A,求实数 a 的范围

15.若 A={ x | x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0 },B={ x | x 2 ? 5x ? 6 ? 0 },C={ x | x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 } (1) 若 A ? B ? A ? B ,求 a (2) 若 ? ? A ? B , A ? C ? ? ,求 a
?

16. 已知集合 A ? {x | x 2 ? 6x ? 0} , 非空集合 B ? {x | x 2 ? 3(a ? 1) x ? a 2 ? 1 ? 0} , 并且 A ? B ? A , 求实数 a 的一切可能取值所组成的集合

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