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2013年高考最有可能考的50道题(文科数学)



2013年高考最有可能考的50道数学文科试题
(30 道选择题+20 道压轴题) 一.选择题(30 道)
1.集合 M ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} , N ? {x | 2 x ? 2 ? 0} ,则 M ? N 等于 A. (?1, 1) B. (1,

3) C. (0, 1) D. (?1, 0)
<

br />2.知全集 U=R,集合 A. 1, ??)

A ? x | y ? 1? x

?

? ,集合 B ? ?x | 0 < x <2 ? ,则 (CU A) ? B ?

?

B. ?1 ? ?? ,

C. 0,+?)

?

D. ? 0,+? ?

3.设 a 是实数,且 A.1 B.

a 1? i ? 是实数,则 a ? 1? i 2
C.

1 2

3 2

D.2

2 4. i 是虚数单位,复数 z ? 1 ? i ,则 z ?

2 ? z
C. 1 ? i D.1 ? i

A. ? 1 ? i

B. ? 1 ? i

5. “a=-1”是“直线 a 2 x ? y ? 6 ? 0 与直线 4x ? (a ? 3)y ? 9 ? 0 互相垂直”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件

s i s 6.已知命题 p : n ? ?n “i
题q 的 A.必要不充分条件 C.充要条件

? ,且 cos? ? cos ? ” ,命题 q : ? ? ? ” “ 。则命题 p 是命

B.充分不必要条件 D.既不充分与不必要条件

2 7.已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ a ? 2a ”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既非充分也非必要条件

8.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 9,则判断框内 m 的取值范围是 (A)(42,56] (B)(56,72] (C)(72,90] (D)(42,90)

9.如图所示的程序框图,若输出的 S 是 30 ,则①可以为 A. n ? 2 ? C. n ? 4 ? B. n ? 3 ? D. n ? 5 ?

10.在直角坐标平面内,已知函数 边过点 P ,则 cos A .
2

f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 3(a ? 0 且 a ? 1) 的图像恒过定点 P ,若角 ?
) C .

的终

? ? sin 2? 的值等于(
B .

?

1 2

1 2

7 10

D



?

7 10

11.已知点 M,N 是曲线 y ? sin ?x 与曲线 y ? cos ?x 的两个不同的交点,则|MN|的最小值 为( A.1 ) B. 2 C. 3 D.2

12.如图所示为函数 f ? x ? ? 2sin ??x ? ? ? ( ? ? 0, 0 ? ? ? ? )的 部分图像,其中 A, B 两点之间的距离为 5 ,那么 f ? ?1? ? ( )

y A
2

O
?2

x B

A. 2 C. ? 3

B. 3 D. ?2

13.设向量 a 、 b 满足: a ? 1 , b ? 2 , a ? ? a ? b? ? 0 ,则 a 与 b 的夹角是( A. 30? B. 60? C. 90?

) D.120?

???? ??? ? 14.如图,D、E、F 分别是 ?ABC 的边 AB、BC、CA 的中点,则 AF ? DB ? ( ???? A. FD B. FC

)D

C. FE

D. BE

15.一个体积为 12 3的正三棱柱的三视图如图所示, 则该三棱柱的侧视图的面积为( (A)6 3 (B)8 (C)8 3 (D)12



16. A, B, C , D 是同一球面上的四个点,其中 ?ABC 是正三角形, AD ? 平面

ABC , AD ? 2 AB ? 6 则该球的体积为(
A. 32 3? B. 48?

) C. 64 3? D. 16 3?

17. 已知集合A ? ?x x ? a ? 0?, 若1 ? A ,则实数 a 取值范围为( ? ? ? x?a ? A

) D (-1,1]

(??,?1) ? [1,??)

B [-1,1]

C

(??,?1] ? [1,??)

3x ? 3 y 18. M ? 设 ,N ? 2
A. M ? N ? P

? 3?

x? y

, P ? 3 xy (其中 0 ? x ? y )则 M , N , P 大小关系为 , ( )

B. N ? P ? M

C. P ? M ? N

D. P ? N ? M

19.若 a 是从集合{0,1,2,3}中随机抽取的一个数,b 是从集合{0,1,2}中随机抽取的 一个数,则关于 x 的方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根的概率是
2 2



) D.

A.

5 6

B.

2 3

C.

7 12

3 4

20.右图是 1 , 2 两组各 7 名同学体重(单位: kg ) 数据的茎叶图.设 1 , 2 两组数据的平均数依次 为 x1 和 x2 ,标准差依次为 s1 和 s 2 ,那么( (注:标准差 s ? )

1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] , n

其中 x 为 x1 , x2 , ?, xn 的平均数) (A) x1 ? x2 , s1 ? s2 (C) x1 ? x2 , s1 ? s2 (B) x1 ? x2 , s1 ? s2 (D) x1 ? x2 , s1 ? s2
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

21. Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S4 ? 10, S5 ? 15, S7 ? 21 ,则 a7 的取值区间为 设 若 ( A.(? ?, 7] B. [3,4] C. [4,7] D. [3,7]



22.若等比数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? a ? 3n ? 2 ,则 a2 ? A.4
2

B.12

C.24

D.36

23.抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,点 A、B 在此抛物线上,且∠AFB=90°,弦 AB 的 |MM′| 中点 M 在其准线上的射影为 M′,则 的最大值为( |AB| (A) 2 2 (B) 3 2 (C)1 (D) 3 )

24.已知双曲线 x ?
2

???? ???? ? ? y2 ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 M 在双曲线上,且 MF1 ? MF2 ? 0 ,则点 2


M 到 x 轴的距离为(
A. 3 B.

2 3 3

C.

4 3

D.

5 3

25. 若直线 x ? y ? 2 被 ? C : ( x ? a)2 ? y 2 ? 4 所截得的弦长为 2 2 , 则实数 a 的值为 (
[来源:学,科,网]



A. ?1 或 3

B.1 或 3

C. ?2 或 6

D.0 或 4

? ( 1 ) x ? 8( x ? 0) ? 26.设函数 f ( x ) ? ? 3 ,若 f( a)>1,则实数 a 的取值范围是( ) ? x 2 ? x ? 1( x ? 0) ?
A. ( ?2,1) B. ( ?? , ?2) ∪ (1, ??) C.(1,+∞) D. ( ?? , ?1) ∪(0,+∞)

27 . 定 义 在 R 上 的 函 数 y ? f ( x ? 1) 的 图 像 关 于 (1, 0) 对 称 , 且 当 x ? ? ??, 0 ? 时 ,

f ( x) ? xf ?( x) ? 0







f ?( x)



f ( x)









) ,



1? ? a ? ? 30.3 ? ? f ? 30.3 ? , b ? ? log? 3? ? f ? log? 3? , c ? ? log 3 ? ? 9? ?
系是( ) B. c ? b ? a A. a ? b ? c

1? ? f ? log 3 ? ,则 a, b, c 的大小关 9? ?
D. a ? c ? b

C. c ? a ? b

28.曲线 y ? e x ? 2x 在点(0,1)处的切线方程为( A. y ? x ? 1 B. y ? x ? 1

) D. y ? ? x ? 1

C. y ? 3x ? 1

29.函数 y ? y

x , x ? ? ?? ,0? ? ? 0, ? ? 的图像可能是下列图像中的( sin x
y y



y

??

1

。 O
A.

? x ??

1 O



? x

??

1 O


? x

??



1 O



。x ?

B.

C.

D.

' 30.设 f ( x) 在区间 (??, ??) 可导,其导数为 f ( x) ,给出下列四组条件(



① p:f ( x) 是奇函数, q : f ' ( x) 是偶函数 ② p:f ( x) 是以 T 为周期的函数, q : f ' ( x) 是以 T 为周期的函数 ③ p:f ( x) 在区间 (??, ??) 上为增函数, q : f ' ( x) ? 0 在 (??, ??) 恒成立 ④ p:f ( x) 在 x0 处取得极值, q : f ' ( x0 ) ? 0 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④

二.填空题(8 道)
31.已知一组抛物线 y ?

1 2 ax ? bx ? 1, 其中 a 为 2、4 中任取的一个数,b 为 1、3、5 中任 2

取的一个数, 从这些抛物线中任意抽取两条, 它们在与直线 x=l 交点处的切线相互平行的概 率是 。

32.已知双曲线的两条渐近线均和圆 C:x +y -6x+5=0 相切,且双曲线的右焦点为抛物线

2

2

y 2 ? 12x 的焦点,则该双曲线的标准方程为

.

33.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积与 其外接球面积之比为________.
2 2 2 2

2 2

2 2

1
正视图

1
侧视图

1 1
俯视图

34.函数 f(x)=x +ax(x∈ R )在 x=l 处有极值,则曲线 y= f(x)在原点处的切线方程 是_____ 35.△ABC 中,若∠A、∠B、∠C 所对的边 a,b,c 均成等差数列,△ABC 的面积为 4 3 ,

3

那么 b=



36.若 ?

? y ?1 ,则 x ? 3 y 的最大值是_________. ? y ?| x |

37.为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况,某市卫生部门对本地区 9 月份至 11 月份注 射疫苗的所有养鸡场进行了调查, 根据下图表提供的信息, 可以得出这三个月本地区每月注 射了疫苗的鸡的数量平均为 万只。

38. Sk ? 1k ? 2k ? 3k ? ??? ? nk , 当 k ? 1, 2, 3, ? ? ? 时, 记 观察下列 等式:
S1 ? 1 n2 ? 1 n , 2 2
S 2 ? 1 n3 ? 1 n 2 ? 1 n , 3 2 6

S3 ? 1 n 4 ? 1 n 3 ? 1 n 2 , 4 2 4
S4 ? 1 n5 ? 1 n4 ? 1 n3 ? 1 n , 5 2 3 30

S5 ? An6 ? 1 n5 ? 5 n4 ? Bn2 , ??? 可以推测, A ? B ? 2 12

.

三.解答题(12 道)
39.已知函数 (1)求函数 (2)设 ,求 的最小值和最小正周期; 的内角 的值. 的对边分别为 且 , ,若 .

40.已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和 S4=14,且 a1,a3,a7 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)设 Tn 为数列 ? 小值.

?

1 ? * ? 的前 n 项和,若 Tn≤λ an+1 对?n∈N 恒成立,求实数 λ 的最 an an ?1 ? ?

41.衡阳市第一次联考后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于 或等于 120 分为优秀,120 分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的 2 ? 2 列联表,且已知 在甲、乙两个文科班全部 110 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 优秀 甲班 乙班 合计 10 30 110 非优秀

3 . 11
合计

⑴请完成上面的列联表; ⑵根据列联表的数据,若按 99.9%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”; ⑶若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人:把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到 9 号或 10 号的概率.

n(ad ? bc) 2 参考公式与临界值表: K ? . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

P( K 2 ? k )
k

0.100 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.001 10.828

42.某校为了解学生的视力情况,随机抽查了一部分学生的视力,将调查结果分组,分组区 间为(3.9,4.2], (4.2,4.5],?, (5.1,5.4].经过数据处理,得到如下频率分布表: 分组 (3.9,4.2] (4.2,4.5] (4.5,4.8] (4.8,5.1] 频数 3 6 25 频率 0.06 0.12

x z

y

(5.1,5.4] 合计

2

0.04 1.00

n

(Ⅰ)求频率分布表中未知量 n,x,y,z 的值; (Ⅱ)从样本中视力在(3.9,4.2]和(5.1,5.4]的所有同学中随机抽取两人,求两人 的视力差的绝对值低于 0.5 的概率.

0 43.如图四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, ?ACB ? 90 , PA ? 平面

ABCD , PA ? BC ? 1 , AB ? 2 , F 是 BC 的中点.
(Ⅰ)求证: DA ? 平面 PAC ; (Ⅱ)试在线段 PD 上确定一点 G ,使 CG ∥平面 PAF ,并 求三棱锥 A - CDG 的体积.

P

A

D

B

F

C

44.已知椭圆 C 的方程为:

2 x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 ? ,其焦点在 x 轴上,离心率 e ? . 2 a 2 2
??? ? ???? ? ????

(1)求该椭圆的标准方程; (2)设动点 P ? x0 , y0 ? 满足 OP ? OM ? 2ON ,其中 M,N 是椭圆 C 上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ?

1 2 2 ,求证: x0 ? 2 y0 为定值. 2

(3)在(2)的条件下,问:是否存在两个定点 A, B ,使得 PA ? PB 为定值? 若存在,给出证明;若不存在,请说明理由.

45.本题主要考查抛物线的标准方程、简单的几何性质等基础知识,考查运算 y 理论证的能力: 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线的顶点在原点,焦点为 F(1, 0)过抛物线在 x 轴上方的不同两点 A 、 作抛物线的切线 AC 、 . B

求解、推 A M B

BD ,与 x 轴分别交于 C 、 D 两点,且 AC 与 BD 交于点 M ,

C

N D OF

x

(第 45 题)

直线 AD 与直线 BC 交于点 N . (1)求抛物线的标准方程; (2)求证: MN ? x 轴; (3)若直线 MN 与 x 轴的交点恰为 F(1,0) , 求证:直线 AB 过 定点.

46.已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ?x 2 ? ax ? 3 . (1) 求函数 f ( x) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值; (2) 对一切 x ? (0, ??) , 2 f ( x)≥ g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3) 证明:对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ?

1 2 ? 成立. e x ex

47.已知函数 f ( x) ?

ex ? a , g ( x) ? a ln x ? a x

(1) a ? 1 时,求 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间; (2)若 x ? 1 时,函数 y ? f ( x) 的图象总在函数 y ? g ( x) 的图像的上方,求实数 a 的取值 范围.

48.如图,⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C,过点 B 作两圆 的割线,分别交⊙O1、⊙O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P . (1)求证:AD//EC;

(2) AD 是⊙O2 的切线, PA=6, =2, =9, AD 的长。 若 且 PC BD 求

1 ? ?x ? 1 ? 2 t, ? x ? cos ? , ? 49.已知直线 ? : ? (t 为参数), 曲线 C1 : ? ? y ? sin ? , ? y ? 3 t. ? 2 ?

( ? 为参数).

(Ⅰ)设 ? 与 C1 相交于 A, B 两点,求 | AB | ; (Ⅱ)若把曲线 C1 上 各点的横坐标压缩为原来的

3 1 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得 2 2

到曲线 C2 ,设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 ? 的距离的最小值.

50.已知函数 f ( x) ? log2 ( x ?1 + x ? 2 ? m). (1)当 m ? 5 时,求函数 f ( x ) 的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 1 的解集是 R ,求 m 的取值范围.

(数学文课标版)
(30 道选择题+20 道压轴题) 【参考答案】 一.选择题(30 道)
1. 【参考答案】B 2. 【参考答案】D 【 点评】:集合问题是高考必考内容之一,题目相对简单.集合的表示法有列举法、描述 法、图示法三种,高考中与集合的运算相结合,不外乎上述几种题型。侧重考查简单的不等 式的有关知识。 3. 【参考答案】A 4. 【参考答案】D 【点评】:3、4 题考查的是复数有关知识。复数主要内容有:复数的四则运算、复数的模、 共轭复数、复平面、复数概念等,文科一般都只考简单的复数除法运算,且比较常规化。 5.【参考答案】A 6.【参考答案】A 7.【参考答案】A 【点评】:上面 5、6、7 题是简易逻辑的内容,简易逻辑内容有:命题的 或、且、非;四 种命题;充分、必要条件;全称命题和特称命题。作为高考内容的重要组成部分,也是各省 高考常见题型,特别是对充分、必要条件与全称命题和特称命题的考查。单独考查简易逻辑 相关的概念不多见,按照近几年高考真题的特点来讲,结合其他知识点一同考查是总趋势, 如 5、6 题。一般和不等式相结合的也时有出现,如 7 题。 8. 【参考答案】B 9. 【参考答案】C 【点评】:8,9 题考查的内容是程序框图。程序框图题型一般有两种,一种是根据完整的 程序框图计算,如题 8;一种是根据题意补全程序框图,如题 9.程序框图一般与函数知识和

数列知识相结合,一般结合数列比较多见,特别经过多年的高考,越来越新颖、成熟。
10.【参考答案】A

11. 【参考答案】C 12. 【参考答案】A 【点评】:10、11、12 为三角函数类题目。三角函数在高考中一般有两种题型,一是三 角求值题,二是三角函数的性质和图象题,上面两题几乎把要考的知识点都包含进去了,且 题设比较好! 13.【参考答案】B 14. 【参考答案】D 【点评】:13、14 是向量这部分内容的代表。向量的数量积是高考命题的一个重要方向, 而 13 题可以作为一个代表;而向量的几何运算是高考命题的另一 个重要方向,像 14 题 15. 【参考答案】A 16.【参考答案】A 【点评】:15、16 题是空间几何体的内容。三视图和几何体的表面积和体积计算是高考 的重点内容,这其中三视图考查学生的空间想象能力并且与直观图结合进行一些,如 15 题 就是这样;而作为基本几何体,选择题中经常出现球体的有关运算,如表面积、体积等,要 求学生的空间想象能力和公式记忆如 16 题。 17.【参考答案】B
[来源:学|科|网]

18. 【参考答案】D 【点评】:不等式也是高考的热点,尤其是均值不等式和一元二次不等式的考查,30 题 两者都兼顾到了。 19. 【参考答案】D 20. 【参考答案】C 【点评】:19、20 题为概率、统计、模块内容,该模块包含的内容比较多,一般高考会 有两道题,所以应该引起足够的重视 21. 【参考答案】D 22. 【参考答案】B 【解析】? ?an } 为等比数列,?a ? 2 ,又 a2 ? S2 ? S1 ? 12 ,故选 B. 【点评】 :21,22 题考查的数列知识。 数列版块在新课标的背景下要求降低, 只强调等差、 等比数列通项、前 n 项和,所以这两题比较,把高考要求的东西都包括进去了,而且题干比 较新鲜。 23. 【参考答案】A 24. 【参考答案】B

? ?m2 ? n2 ? ???? 2 ? 12 ???? ? ???? ? F1F2 ? 【解析】设 MF1 ? m, MF2 ? n ,由 ? ,得 m ? n ? 4 , ?| m ? n |? 2 ?
由 S?F1MF2 ?

1 1 2 3 m ? n ? | F1 F2 | ?d 解得 d ? .故选 B. 2 2 3

25. 【参考答案】D 【点评】:23-25 题为解几内容。新课标背景下双曲线是客观题的必考内容,抛物线、直 线和圆也是常考内容,而椭圆一般放在解答题中考查,相对来说在客观题出现的比较少。 26. 【参考答案】B 27. 【参考答案】C 28. 【参考答案】A 29. 【参考答案】C 30. 【参考答案】B 【点评】:26-30 题属于函数与导数模块。该模块的内容主要包括分段函数、函数的奇偶 性、函数的图象、函数的零点、指对函数、导数应用及新概念问题,上述 6 题考查的内容基 本涵盖该模块中的知识点,且比较全面

二.填空题(8 道)
31. 【参考答案】

2 15

【点评】:概率问题包括两方面的问题:几何概型和古典概型。尤其古典概型是高考必考 内容,必须掌握,而几何概型有的省份不考。

x2 y 2 ? ?1 32. 【参考答案】 5 4
【点评】:新课标中,椭圆通常作为压轴题放在解答题中,因此填空题考查的一般都是 双曲线和抛物线的定义,还有圆的有关知识。32 题考查的知识点比较丰富,各种内容都有 所涉及。 33. 【参考答案】

3 ?

【点评】:新课标不仅爱考查三视图,也喜好考查球,近两年都考查了球的有关问题。本 题一题两考。 34. 【参考答案】 3x ? y ? 0 【点评】 :导数的切线问题是高考必考题型之一,即使没有在客观题出现,在解答题中也 必会该知识点糅合进去,该知识点必须掌握。 35. 【参考答案】4 【点评】:解三角形是高考的重要组成部分,不在客观题考查,就在解答题中出现,但一 般难度不大。解三角形所涉及的知识点要掌握,如正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式 等。 36. 【参考答案】4 【点评】:线性规划是高考重要内容,也是常考内容,而且文科试题往往比较常规。 37. 【参考答案】90 【点评】:统计的有关知识点是高考常考题型,每年考查的内容都有所变化。本题考查了 条形图,求的是平均数,是对前几年考查统计知识点的一个有益补充。

38.【参考答案】 1 4 【点评】:推理与证明作为新课标的新增知识点,高考出现是必要的,此题考查了归纳推 理的应用。当然类比推理的定义也要掌握。

三.解答题(12 道)
39.【参考答案】 【解析】

, 则 的最小值是 , ; ,则 , , , , , ,即 . ,

最小正周期是

,由正弦定理,得 由余弦定理,得 由解得

【点评】:高考三角类解答题无非就是两种,(1)三角函数题——考查三角函数的性质 或图像;(2)是解三角形,有点省份也会考解三角形的应用题。 40.【参考答案】

解:(1)设公差为 解得 或

。由已知得 (舍去) 所以 ,故

(2)因为

所以

[来源:学科网]

因为



恒成立。即,

,对

恒成立。



所以实数

的最小值为

【点评】:新课标下对数列的考查要求降低,只对等差、等比数列通项和求和要求掌握。 数列求和的方法具有很强的模型(错位相减型、裂项相消型、倒序相加型),建议熟练掌握, 将恒成立问题转化为最值是常用的方法,需要注意. 41.【参考答案】 解析:⑴ 优秀 甲班 乙班 合计 非优秀 合计

10
20 30

50
30 80

60
50 110

⑵根据列联表中的数据,得到

K2 ?

110(10 ? 30 ? 20 ? 50) 2 ? 7.487 ? 10.828. 60 ? 50 ? 30 ? 80

因此按 99 .9% 的可靠性要求,不能认为“成绩与班级有关系” ⑶设“抽到 9 或 10 号”为事件 A ,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数 为 ( x, y ) .所有的基本事件有:

(1,1) 、 (1,2) 、 (1,3) 、 ? 、 (6,6) 共 36 个.
事件 A 包含的基本事件有:

(3,6) 、 (4,5) 、 (5,4) 、 (6,3) 、 (5,5) 、 (4,6) (6,4) 共 7 个.
所以 P( A) ? 42. 【参考答案】 2 解: (Ⅰ)由频率分布表可知,样本容量为 n,由 =0.04,得 n=50.

7 7 ,即抽到 9 号或 10 号的 概率为 . 36 36

n

25 y 14 ∴x= =0.5,y=50-3-6-25-2=14,z= = =0.28. 50 n 50 (Ⅱ)记样本中视力在(3.9,4.2]的 3 人为 a,b,c,在(5.1,5.4]的 2 人为 d,e.

由题意,从 5 人中随机抽取两人,所有可能的结果有:{a,b},{a,c},{a,d}, {a,e },{b,c},{b,d},{b,e },{c,d},{c,e },{d,e },共 10 种. 设事件 A 表示“两人的视力差的绝对值低于 0.5”,则事件 A 包含的可能的结果 有:{a,b},{a,c},{b,c},{d,e },共 4 种. 4 2 ∴P(A)= = . 10 5 2 故两人的视力差的绝对值低于 0.5 的概率为 . 5 【点评】:文科概率题主要考察茎叶图、抽样方法、直方图、统计案例、概率等基础知 识, 试题多考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力和应用意识. 43. 【参考答案】 解:(Ⅰ)证明: Q 四边形是平行四边形,? ?ACB ? ?DAC ? 90 ,
0

Q PA ? 平面 ABCD ? PA ? DA ,又 AC ? DA , AC I PA ? A ,
? DA ? 平面 PAC .
(Ⅱ)设 PD 的中点为 G , 在平面 PAD 内作 GH ? PA 于 H , GH 平行且等于 则 连接 FH ,则四边形 FCGH 为平行四边形,

1 AD , 2

? GC ∥ FH , Q FH ? 平面 PAE , CG ? 平面 PAE , ? CG ∥平面 PAE ,? G 为 PD 中点时, CG ∥平面 PAE .
设 S 为 AD 的中点,连结 GS ,则 GS 平行且等于

1 1 PA ? , 2 2

Q PA ? 平面 ABCD ,? GS ? 平面 ABCD ,
1 1 ? VA?CDG ? VG ? ACD ? SV ACD GS ? . 3 12
【点评】 空间几何体的解答题一般以柱体或锥体为背景, : 考查线面、 面面关系, 体积等。 44.【参考答案】 解: (1)由 e ?

2 2 , b ? 2 ,解得 c ? b ? 2, a ? 2 , 2

x2 y 2 ? ? 1. 故椭圆的标准方程为 4 2
(2)设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , 则由 OP ? OM ? 2ON ,得 ? x0 , y0 ? ? ? x1 , y1 ? ? 2 ? x2 , y2 ? , 即 x0 ? x1 ? 2 x2 , y0 ? y1 ? 2 y2 ,

??? ?

???? ?

????

x2 y 2 ? ? 1 上,∴ x12 ? 2 y12 ? 4, x22 ? 2 y22 ? 4 ∵点 M,N 在椭圆 4 2
设 kOM , kON 分别为直线 OM , ON 的斜率,由题意知,

kOM ? kON ?

y1 y2 1 ? ? ,∴ x1 x2 ? 2 y1 y2 =0 , x1 x2 2

2 2 2 2 2 2 故 x0 ? 2 y0 ? x1 ? 4 x2 ? 4 x1 x2 ? 2 y1 ? 4 y2 ? 4 y1 y2

?

? ?

?

? ? x12 ? 2 y12 ? ? 4 ? x2 2 ? 2 y2 2 ? ? 4 ? x1 x2 ? 2 y1 y2 ? ? 20 ,
即 x0 ? 2 y0 ? 20 (定值)
2 2

(3)由(2)知点 P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的点, 20 10

∵ c ? 20 ? 10 ? 10 , ∴该椭圆的左右焦点 A ? 10, 0 、B

?

? ?

10, 0 满足 PA ? PB ? 4 5 为定值,

?

因此存在两个定点 A, B ,使得 PA ? PB 为定值。 45. 【参考答案】 解: (1)设抛物线的标准方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) , 由题意,得

p ? 1 ,即 p ? 2 . 2

所以抛物线的标准方程为 y 2 ? 4 x .??3 分
y y (2)设 A( x1,1 ) , B( x2,2 ) ,且 y1 ? 0 , y2 ? 0 .

由 y2 ? 4x ( y ? 0 ) ,得 y ? 2 x ,所以 y? ? 1 . x 所以切线 AC 的方程为 y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ) ,即 y ? y1 ? 2 ( x ? x1 ) . y1 x1 整理,得 yy1 ? 2( x ? x1 ) ,
0) 且 C 点坐标为 (? x1, .



同理得切线 BD 的方程为 yy2 ? 2( x ? x2 ) ,②
0) 且 D 点坐标为 (? x2, .

由①②消去 y ,得 xM ? 又直线 AD 的方程为 y ?

x1 y2 ? x2 y1 . y1 ? y2

y1 ( x ? x2 ) ,③ x1 ? x2

直线 BC 的方程为 y ?

y2 ( x ? x1 ) . ④ x1 ? x2

由③④消去 y ,得 xN ?

x1 y2 ? x2 y1 . y1 ? y2

所以 xM ? xN ,即 MN ? x 轴. (3)由题意,设 M (1,0 ) ,代入(1)中的①②,得 y0 y1 ? 2(1 ? x1 ) , y0 y2 ? 2(1 ? x2 ) . y 所以 A( x1,1 ), ( x2,2 ) 都满足方程 y0 y ? 2(1 ? x) . y B y 所以直线 AB 的方程为 y0 y ? 2(1 ? x) .
0) 故直线 AB 过定点 (?1, .

【点评】 :新课标高考中, 解析几何大题多考椭圆和抛物线, 常和向量等结合考查其轨迹、 标准方程、简单的几何性质等基础知识,同时考查了学生运算求解、推理论证的能力. 46. 【参考答案】 解析: (1)

1 1 f '( x) ? ln x ? 1 ,当 x ? (0, ) , f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减,当 x ? ( , ??) , f '( x) ? 0 , e e

f ( x) 单调递增.
① 0 ? t ? t ? 2 ? ,t 无解; ② 0?t ? ③

1 e

1 1 1 1 ? t ? 2 ,即 0 ? t ? 时, f ( x)min ? f ( ) ? ? ; e e e e

1 1 ? t ? t ? 2 ,即 t ? 时, f ( x) 在 [t , t ? 2] 上单调递增, f ( x)min ? f (t ) ? t ln t ; e e
1 ? 1 ?? e , 0 ? t ? e ? . ?? ?t ln t,t ? 1 ? e ?

所以 f ( x) min

(2)

2 x ln x ? ? x 2 ? ax ? 3 ,则 a ? 2ln x ? x ?
设 h( x) ? 2ln x ? x ? ( x ? 0) ,则 h '( x) ?

3 , x

3 x

( x ? 3)( x ?1) , x ? (0,1) , h '( x) ? 0 , h( x) 单 x2

调递减, x ? (1, ??) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增,所以 h( x)min ? h(1) ? 4 . 因为对一切 x ? (0, ??) , 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,所以 a ? h( x)min ? 4 . (3) 问题等价于证明 x ln x ? 最小值是 ? ,当且仅当 x ?

x 2 ? ( x ? (0, ??)) ,由⑴可知 f ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 的 ex e

1 e

1 时取到. e

设 m( x) ?

x 2 1 1? x 则 'x 易得 m( x)max ? m(1) ? ? , 当且仅当 x ? 1 时 ? ( x ? (0, ??)) , m( ) ? x , x e e e e 1 2 ? 成立. e x ex

取到,从而对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? 47. 【参考答案】 解: (1) a ? 1 时 F ( x) ? 则 F '( x) ?

ex ?1 ? ln x ? 1( x ? 0) x

xe x ? (e x ? 1) 1 ( x ? 1)(e x ? 1) ? ? x2 x x2

令 F '( x) ? 0 有: x ? 0(舍去)或x ? 1;令 F '( x) ? 0有0 ? x ? 1 故 F ( x) 的单增区间为 ?1, ?? ? ;单减区间为 ? 0,1? . (2)构造 F ( x) ? f ( x) ? g ( x)( x ? 1) ,即 F ( x) ? 则 F '( x) ?

ex ? a ? a ln x ? a( x ? 1) x

( x ? 1)(e x ? a) . x2
x

① 当 a ? e 时, e ? a ? 0 成立,则 x ? 1 时, F '( x) ? 0 ,即 F ( x) 在 (1, ??) 上单增, 令:

F (1) ? e ? a ? a ? 0 ? a ?

1 1 e ,故 a ? e 2 2

② a ? e 时 , F '( x) ? 0有x ? 1或x ? lna ? 1 令 F '( x) ? 0有x ? 1或x ? lna ;令 F '( x) ? 0有1 ? x ? lna 即 F ( x) 在 ?1,lna ? 上单减;在 ?ln a, ??? 上 单增 故 F ( x)min ? F (ln a) ? ?a ln(ln a) ? a ? 0 ? a ? e ,舍去 综上所述,实数 a 的取值范围 a ?
1 e

1 e 2

【点评】:导数题常放在高考解答题的最后一题,主要考查导数的几何意义、导数的求法 以及导数在研究函数的性质和证明不等式等方面的应用, 考查等价转化、 分类讨论等数学思 想方法以及分析问题与解决问题的能力. 48. 【参考答案】 (1)证明:连接 AB , Q AC 是 e O1 的切线,??BAC ? ?D . 又 Q ?BAC ? ?E,??D ? ?E.? AD / / EC. (2) Q PA 是 e O1 的切线, PD 是 e O2 的割线,

? PA2 ? PBgPD. ?62 ? PBg( PB ? 9) .? PB ? 3 .又 e O2 中由相交弦定理,
得 PAgPC ? BP gPE ,? PE ? 4 . Q AD 是 e O2 的切线, DE 是 e O2 的割线,

? AD2 ? DBgDE ? 9 ?16. ? AD ? 12.
【点评】 :几何证明选讲主要考查圆内接四边行、 圆的切线性质、 圆周角与弦切角等性质、 相似三角形、弧与弦的关系、试题分两问,难度不大,图形比较简单,可以考作辅助线,但 非常简单。 49. 【参考答案】 解.(I) ? 的普通方程为 y ? 联立方程组 则 | AB |? 1 .

3 ( x ? 1), C1 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1.

? y ? 3 ( x ? 1), 1 3 ? 解得 ? 与 C1 的交点为 A(1,0) , B ( ,? ), ? 2 2 2 2 ? x ? y ? 1, ?

? ?x? ? (II) C2 的参数方程为 ? ?y ? ? ?
从而点 P 到直线 ? 的距离是

1 cos ? , 1 3 2 sin ? ) , (? 为参数).故点 P 的坐标是 ( cos ? , 3 2 2 sin ? . 2

d?

|

3 3 cos ? ? sin ? ? 3 | 3 ? 2 2 ? [ 2 sin(? ? ) ? 2] , 2 4 4

由此当 sin(? ?

?
4

) ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为

6 ( 2 ? 1) . 4

【点评】 :坐标系与参数方程就坐标系而言, 主要考查极坐标系与直角坐标系的坐标和方 程的互化,在 极坐标系下的点与线,线与圆的位置关系;就参数方程而言,主要考查参数 方程与普通方程的互化,圆、椭圆、直线参数的几何意义,直线的参数方程在直线与圆锥曲 线的位置关系中,弦长、割线长等的计算问题。坐标系与参数方程轮换考或结合起来考。 50. 【参考答案】

??2 x ? 1, x ? ?1 ? 解:(1)由题意 x ?1 + x ? 2 ? 5 ? 0 ,令 g ( x) ? x ? 1 + x ? 2 ? ? 3, ?1 ? x ? 2 ? 2 x ? 1, x ? 2 ?
解得 x ? 3 或 x ? ?2 ,? 函数的定义域为 ?x | x ? 3或x ? ?2? (2) Q f ( x) ? 1 ,? log2 ( x ?1 + x ? 2 ? m) ? 1 ? log2 2 ,即 x ? 1 + x ? 2 ? m ? 2 . 由题意,不等式 x ? 1 + x ? 2 ? m ? 2 的解集是 R , 则 m ? x ? 1 + x ? 2 ? 2 在 R 上恒 成立. 而 x ? 1 + x ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 ,故 m ? 1 . 【点评】 :不等式选讲近三年主要考查的是解绝对值不等式, 但随着参与新课标全国卷的 省份的增加,也会考查比较法、综合法和分析法等不等式方法,但柯西不等式、排序不等式 等还不会在新课标全国卷里考。
[来源:学科网]



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