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辽宁省鞍山一中2015届高三四模数学(文)试卷



辽宁省鞍山市 2015 届高考数学一模试卷(文科)
一、选择题:每小题 5 分,共 60 分 1.已知集合 M={x|﹣3<x<1},N={x|x≤﹣3},则集合{x|x≥1}=( A.M∩N 2.复数 A.﹣ i B.M∪N 的虚部是( B.﹣ ) C. i D. C.?R(M∩N)

) D.?R(M∪N)

3.已知递增等比

数列{an}满足 a3?a7=6,a2+a8=5,则 A. B. C.

=(

)

D.

4.已知空间中不共面的四点 A,B,C,D 及平面 α,下列说法正确的是( ) A.直线 AB,CD 可能平行 B.直线 AB,CD 可能相交 C.直线 AB,CD 可能都与 α 平行 D.直线 AB,CD 可能都与 α 垂直 5.命题“?x∈R,使得 x <1”的否定是( 2 A.?x∈R,都有 x <1 2 C.?x∈R,使得 x ≥1
2 2 2

) B.?x∈R,都有 x≤﹣1 或 x≥1 2 D.?x∈R,使得 x >1

6.直线 ax+by+a+b=0 与圆 x +y =2 的位置关系为( ) A.相交 B.相切 C.相离

D.相交或相切

7. 等差数列{an}中, A.18

<﹣1, 若其前 n 项和 Sn 有最大值, 则当 Sn 取最小正值时, n=( B.19 C.20 D.21 ) D.

)

8.从区间(0,2)内随机取两个数 x,y,则使 ≥4 的概率为( A. B. C.

9.一个算法的程序框图如图,若该程序输出结果为 6,则判断框内 m 的取值范围是(

)

A. (12,20]

B. (20,30]

C. (30,42]

D. (12,42]

10. 已知函数 f (x) = A.8 B.4

+7, 其中 a 为常数, a>1, 且f (b) =8, 则f (﹣b) 的值为( C.﹣8
2

)

D.﹣4

11.已知点 A(﹣1,0) ,B(1,0)及抛物线 y =2x,若抛物线上点 P 满足|PA|=m|PB|,则 m 的最大值为( ) A.3 B.2 C. D. 12.已知函数 f(x)=e ,g(x)=ln + ,对任意 a∈R 存在 b∈(0,+∞)使 f(a)=g(b) , 则 b﹣a 的最小值为( A.2 ﹣1 ) B.e ﹣
2 x

C.2﹣ln2

D.2+ln2

二、填空题:每小题 5 分,共 20 分 13.设 x,y 满足线性约束条件 ,则 x+2y 的取值范围是__________.

14.已知



,则 sinα+cosα=__________.

15.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是__________.

16.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1,F2, 且它们在第一象限的交点为 P,△ PF1F2 是以 PF2 为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,双曲线 的离心率的取值范围为(1,2) .则该椭圆的离心率的取值范围是__________.

三、解答题 17.已知函数 (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间 上的值域. .

18.如图,等边△ ABC 与直角梯形 ABDE 所在平面垂直,BD∥AE,BD=2AE,AE⊥AB, M 为 AB 的中点. (1)证明:CM⊥DE; (2)在边 AC 上找一点 N,使 CD∥平面 BEN.

19. 某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩, 按成绩分组: 第 1 组[75,80) ,第 2 组[80,85) ,第 3 组[85,90) ,第 4 组[90,9) , 第 5 组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)分别求第 3,4,5 组的频率; (Ⅱ) 若该校决定在笔试成绩高的第 3, 4, 5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试, 求第 3,4,5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的面试, 求第 4 组至少有一名学生被甲考官面试的概率.

20.已知椭圆

(a>b>0)的焦距为

,离心率为



(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)设过椭圆顶点 B(0,b) ,斜率为 k 的直线交椭圆于另一点 D,交 x 轴于点 E,且|BD|, |BE|,|DE|成等比数列,求 k 的值. 21.已知函数 f(x)=e ﹣mx +1(m∈R) . (Ⅰ)当 m= 时,是判断函数 f(x)的单调性并给予证明; (Ⅱ)若 f(x)有两个极值点 a,b(a<b) ; (i)求实数 m 的取值范围 (ii)证明:2<f(a)< +1(注:e 是自然对数的底数)
x 2 2

四、选做题:选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,AB 是圆 O 的直径,C 是半径 OB 的中点,D 是 OB 延长线上一点,且 BD=OB, 直线 MD 与圆 O 相交于点 M,T(不与 A,B 重合) ,连结 MC,MB,OT. (Ⅰ)求证:MTCO 四点共圆; (Ⅱ)求证:MD=2MC.

五、选修 4-4:坐标系与参数方程 2 2 23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的方程为(x﹣1) +(y﹣1) =2,直线 l 的倾斜角为 45° 且经过点 P(﹣1,0) (Ⅰ)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线 C 的极坐标方程 2 2 (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 交于两点 A,B,求|PA| +|PB| 的值.

六、选修 4-5:不等式选讲 2 24.设函数 f(x)=x ﹣2x 2 (Ⅰ)解不等式|f(x)|+|x +2x|≥6|x|; (Ⅱ)若实数 a 满足|x﹣a|<1,求证:|f(x)﹣f(a)|<2|a|+3.

辽宁省鞍山市 2015 届高考数学一模试卷(文科)
一、选择题:每小题 5 分,共 60 分 1.已知集合 M={x|﹣3<x<1},N={x|x≤﹣3},则集合{x|x≥1}=( ) A.M∩N B.M∪N C.?R(M∩N) D.?R(M∪N) 考点:交、并、补集的混合运算. 专题:集合. 分析:根据题意和交、并、补集的运算,分别求出 M∩N、M∪N、?R(M∩N) 、?R(M∪N) , 即可得答案 解答: 解:因为集合 M={x|﹣3<x<1},N={x|x≤﹣3}, 所以 M∩N=?, M∪N={x|x<1}, 则?R(M∩N)=R, ?R(M∪N)={x|x≥1}, 故选:D. 点评:本题考查集合的交、并、补集的混合运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 2.复数 A.﹣ i 的虚部是( B.﹣ ) C. i D.

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 解答: 解:∵ ∴复数 = ,

的虚部是﹣ .

故选:B. 点评:本题考查了复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.

3.已知递增等比数列{an}满足 a3?a7=6,a2+a8=5,则 A. B. C.

=(

)

D.

考点:等比数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:利用等比数列的性质及其通项公式即可得出. 解答: 解:递增等比数列{an}满足 a3?a7=6,a2+a8=5, ∴a2a8=6,a2+a8=5, 解得 a2=2,a8=3. ∴ = = .

故选:D. 点评:本题考查了等比数列的性质及其通项公式,属于基础题. 4.已知空间中不共面的四点 A,B,C,D 及平面 α,下列说法正确的是( A.直线 AB,CD 可能平行 B.直线 AB,CD 可能相交 C.直线 AB,CD 可能都与 α 平行 D.直线 AB,CD 可能都与 α 垂直 )

考点:空间中直线与平面之间的位置关系. 专题:综合题;空间位置关系与距离. 分析:AB,CD 不共面,可得 A,B,D 都不正确;经过 AC,BD,AD,BC 中点的平面与 AB,CD 平行,故 C 正确. 解答: 解:由题意,AB,CD 不共面,故 A,B 不正确; 经过 AC,BD,AD,BC 中点的平面与 AB,CD 平行,故 C 正确; 直线 AB,CD 都与 α 垂直,可得 AB 与 CD 平行,故不正确, 故选:C. 点评:本题考查直线与平面的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. 5.命题“?x∈R,使得 x <1”的否定是( ) 2 A.?x∈R,都有 x <1 B.?x∈R,都有 x≤﹣1 或 x≥1 2 2 C.?x∈R,使得 x ≥1 D.?x∈R,使得 x >1 考点:命题的否定. 2 分析:根据命题“?x∈R,使得 x <1”是特称命题,其否定为全称命题,即:?x∈R,都有 2 x ≥1.??x∈R,都有 x≤﹣1 或 x≥1.从而得到答案. 2 解答: 解:∵命题“?x∈R,使得 x <1”是特称命题 2 ∴否定命题为:?x∈R,都有 x ≥1 ∴?x∈R,都有 x≤﹣1 或 x≥1. 故选 B. 点评:本题主要考查全称命题与特称命题的转化. 6.直线 ax+by+a+b=0 与圆 x +y =2 的位置关系为( A.相交 B.相切 C.相离 考点:直线与圆的位置关系. 专题:计算题.
2 2 2

) D.相交或相切

分析:由圆的方程找出圆心坐标与半径 r,利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线 的距离 d,比较 d 与 r 的大小即可得到直线与圆的位置关系. 解答: 解:由题设知圆心到直线的距离
2 2 2



而(a+b) ≤2(a +b ) , 得 ,圆的半径 , 2 2 所以直线 ax+by+a+b=0 与圆 x +y =2 的位置关系为相交或相切. 故选 D 点评: 此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值, 掌握直线与圆位置关系的判别 方法,是一道基础题.

7. 等差数列{an}中, A.18

<﹣1, 若其前 n 项和 Sn 有最大值, 则当 Sn 取最小正值时, n=( B.19 C.20 D.21

)

考点:等差数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由数列的前 n 项和 Sn 有最大值,可知数列为递减数列,再由 <﹣1,可得 a11<0,

a10>0,a10+a11<0,然后结合二次函数的性质求得使 Sn 取最小正值时的 n 值. 解答: 解:∵等差数列{an}中,它的前 n 项和 Sn 有最大值, ∴a1>0,公差 d<0, 由 <﹣1,得 , <﹣1,

∴a11<0,a10>0,a10+a11<0. ∴Sn=an +bn 中其对称轴 n=﹣
2

=10,

又 S19=

=19a10>0,而 S20=

<0,

1 与 19 距离对称轴 n=10 的距离相等, ∴S1=S19. ∴使 Sn 取得最小正数的 n=1 或 n=19. 故选:B. 点评:本题考查了等差数列的性质,考查了等差数列的前 n 项和,训练了二次函数求最值的 方法,是中档题.

8.从区间(0,2)内随机取两个数 x,y,则使 ≥4 的概率为( A. B. C. D.

)

考点:几何概型. 专题:应用题;概率与统计. 分析:该题涉及两个变量,故是与面积有关的几何概型,分别表示出满足条件的面积和整个 区域的面积,最后利用概率公式解之即可. 解答: 解:在区间[0,2]上随机取两个数 x,y,对应区域的面积为 4, 满足 ≥4,对应区域的面积为 = ,

∴所求的概率为 = . 故选:A. 点评:本题主要考查了与面积有关的几何概率的求解,解题的关键是准确求出区域的面积, 属于中档题 9.一个算法的程序框图如图,若该程序输出结果为 6,则判断框内 m 的取值范围是( )

A. (12,20]

B. (20,30]

C. (30,42]

D. (12,42]

考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析:由程序框图依次求得程序运行的结果,再根据输出的 k 值判断运行的次数,从而求出 输出的 S 值. 解答: 解:由程序框图知第一次运行第一次运行 S=2,i=2; 第二次运行 S=0+2+4,i=3; 第三次运行 S=0+2+4+6,i=4; 第四次运行 S=0+2+4+6+8,i=5; 第五次运行 S=0+2+4+6+8+10,i=6; ∵输出 i=6, ∴程序运行了 5 次,此时 S=0+2+4+6+8+10=30, ∴m 的取值范围为 20<m≤30. 故选:B. 点评:本题考查了循环结构的程序框图,根据程序运行的结果判断程序运行的次数是关键, 属于基本知识的考查.

10. 已知函数 f (x) = A.8 B.4

+7, 其中 a 为常数, a>1, 且f (b) =8, 则f (﹣b) 的值为( C.﹣8 D.﹣4

)

考点:函数奇偶性的性质;函数的值. 专题:函数的性质及应用. 分析:构造奇函数 g(x)= 的值 解答: 解:令 g(x)= (x≠0) ,则 g(﹣x)= = =﹣g(x) , ,则 f(x)=g(x)+6,进而根据 f(b)=8,可求 f(﹣b)

故 g(x)=

为奇函数,

又∵f(x)=

+7=

+6,f(b)=8,

∴g(b)=2, ∴g(﹣b)=﹣2, ∴f(﹣b)=g(﹣b)+6=﹣2+6=4, 故选:B 点评:本题考查的知识点是函数的奇偶性,函数求值,是函数图象和性质的综合应用,难度 中档. 11.已知点 A(﹣1,0) ,B(1,0)及抛物线 y =2x,若抛物线上点 P 满足|PA|=m|PB|,则 m 的最大值为( ) A.3 B.2 C. D. 考点:抛物线的简单性质. 专题:计算题;压轴题.
2

分析:由题意可得 m =

2

=

=

=1+

≤3,可得 m≤



解答: 解:设 P(

,y) ,由题意可得

m=

2

=

=

=1+

≤1+

=3,∴m≤

,当且仅当 y =2 时,等号成立,

2

故选 C. 点评:本题考查抛物线的标准方程,以及简单性质,基本不等式的应用,运用基本不等式求 2 出 m ≤3,是解题的关键. 12.已知函数 f(x)=e ,g(x)=ln + ,对任意 a∈R 存在 b∈(0,+∞)使 f(a)=g(b) , 则 b﹣a 的最小值为( A.2 ﹣1 ) B.e ﹣
2 x

C.2﹣ln2

D.2+ln2

考点:对数函数图象与性质的综合应用. 专题:函数的性质及应用. 分析:令 y=e ,则 a=lny,令 y=ln + ,可得 b=2
a

,利用导数求得 b﹣a 取得最小值.

解答: 解:令 y=e ,则 a=lny,令 y=ln + ,可得 b=2

a



则 b﹣a=2

﹣lny,∴(b﹣a)′=2

﹣ .

显然, (b﹣a)′是增函数,观察可得当 y= 时, (b﹣a)′=0,故(b﹣a)′有唯一零点.

故当 y= 时,b﹣a 取得最小值为 2

﹣lny=2

﹣ln =2+ln2,

故选 D. 点评:本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用,利用导数求函数的最小值,属于中 档题. 此题中导数零点不易用常规方法解出, 解答时要会用代入特值的方法进行验证求零点 二、填空题:每小题 5 分,共 20 分

13.设 x,y 满足线性约束条件

,则 x+2y 的取值范围是[2,6].

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最值. 解答: 解:作出不等式对应的平面区域, 由 z=x+2y,得 y=﹣ 平移直线 y=﹣ , ,由图象可知当直线 y=﹣ 经过点 B(2,2)时,直线 y=﹣

的截距最大,此时 z 最大. 此时 z 的最大值为 z=2+2×2=6, 过点 C(2,0)时,直线 y=2 的截距最小,此时 z 最小. 此时 z 的最小值为 z=2+2×2=6, 故 x+2y 的取值范围是[2,6] 故答案为:[2,6].

点评:本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.

14.已知



,则 sinα+cosα=



考点:三角函数的恒等变换及化简求值. 专题:计算题. 分析: 通过已知求出 tanα, 利用同角三角函数的基本关系式, 结合角的范围, 求出 sinα, cosα 的值即可. 解答: 解:∵ ∴ 解得 tanα= ,

∵ ∵sin α+cos α=1…① tanα= ,…②
2 2



解①②得 sinα= ,cosα=﹣ ∴sinα+cosα= 故答案为:﹣ . 点评:本题考查同角三角函数的基本关系式的应用,注意角的范围,考查计算能力. 15.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 12. =﹣ .

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题. 分析:由已知中的三视图,我们可以判断出这个几何体是一个六棱柱,根据已知中正视图中 及俯视图中所标识的数据,我们可以确定出棱柱的高,并根据割补法可求出底面面积,代入 棱柱体积公式,即可求出答案. 解答: 解:由已知中三视图可以判断该几何体是一个底面如正视图所示的六棱柱 由俯视图可得棱柱的高 h=2,由割被法,可得棱柱的底面面积 S=2?3=6 故棱柱的体积 V=2?6=12 故答案为:12 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积, 其中根据已知中的三视图确定几何体的形状及 棱长、高等关系几何量是解答本题的关键. 16.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1,F2, 且它们在第一象限的交点为 P,△ PF1F2 是以 PF2 为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,双曲线 的离心率的取值范围为(1,2) .则该椭圆的离心率的取值范围是( ,1) .

考点:双曲线的简单性质;椭圆的简单性质. 专题:压轴题;数形结合法.

分析:作出图象,结合图象把问题转化为 1<

<2,求

的取值范围.

解答: 解:如图,设双曲线的半实轴长,半焦距分别为 a2,c, ∵△PF1F2 是以 PF2 为底边的等腰三角形.若|PF1|=10, ∴|PF1|=|F1F2|=10,即 c=5, |PF2|=10﹣2a2, 又由双曲线的离心率的取值范围为(1,2) . 故 ∈(1,2) .

∴a2∈( ,5) , 设椭圆的半实轴长为 a1, 则|PF1|+|PF2|=2a1=20﹣2a2, 即 a1=10﹣a2∈(5, 故 e= ∈( ,1) )

故答案为: ( ,1)

点评:本题考查双曲线的性质和应用,作出图象,数形结合,事半功倍. 三、解答题 17.已知函数 (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间 上的值域. .

考点:三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域;正弦函数的对称性. 专题:三角函数的图像与性质. 分析: (1)先根据两角和与差的正弦和余弦公式将函数 f(x)展开再整理,可将函数化简 为 y=Asin (wx+ρ) 的形式, 根据 T= 求出 x 的值即可得到对称轴方程. 可求出最小正周期, 令 ,

(2)先根据 x 的范围求出 2x﹣ 进而得到函数 f(x)在区间 解答: 解: (1)∵ = = = ∴周期 T= 由 ∴函数图象的对称轴方程为

的范围,再由正弦函数的单调性可求出最小值和最大值, 上的值域.

sin2x+(sinx﹣cosx) (sinx+cosx) =

(2)∵ 因为 调递减, 所以当 又∵ 所以函数 f(x)在区间

,∴ 在区间

, 上单调递增,在区间 上单

时,f(x)取最大值 1, ,当 上的值域为 时,f(x)取最小值 . ,

点评: 本题主要考查两角和与差的正弦公式和余弦公式, 以及正弦函数的基本性质﹣﹣最小 正周期、对称性、和单调性.考查对基础知识的掌握情况. 18.如图,等边△ ABC 与直角梯形 ABDE 所在平面垂直,BD∥AE,BD=2AE,AE⊥AB, M 为 AB 的中点. (1)证明:CM⊥DE; (2)在边 AC 上找一点 N,使 CD∥平面 BEN.

考点:直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的判定. 专题:综合题. 分析: (1)由已知中因为 BC=AC,M 为 AB 中点,我们易得 CM⊥AB,又由等边△ ABC 与直角梯形 ABDE 所在平面垂直,可得 CM⊥平面 ABDE,进而根据线面垂直的性质,即可 证明 CM⊥DE; (2) 连接 AD 交 BE 于点 K,连接 KN,由已知中直角梯形 ABDE 所在平面垂直, BD∥AE, BD=2AE,AE⊥AB,M 为 AB 的中点.我们易得 KN∥CD,结合线面平行的判定定理,即 可得到答案. 解答: 解: (1)证明:因为 BC=AC, M 为 AB 中点.所以 CM⊥AB, 又因为平面 ABC⊥平面 ABDE,平面 ABC∩平面 ABDE=AB,CM?平面 ABC, 所以 CM⊥平面 ABDE, 又因 DE?平面 ABDE,所以 CM⊥DE; (2)当 时,CD∥平面 BEN.

连接 AD 交 BE 于点 K,连接 KN, 因梯形 ABDE 中 BD∥AE,BD=2AE, 所以 又因 ,则 ,所以 KN∥CD

又 KN?平面 BEN,CD?平面 BEN,所以 CD∥平面 BEN. 点评: 本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质及直线与平面平行的判定, 线线垂直可由 线面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线 垂直的重要依据.垂直问题的证明,其一般规律是“由已知想性质,由求证想判定”,也就是 说,根据已知条件去思考有关的性质定理;根据要求证的结论去思考有关的判定定理,往往 需要将分析与综合的思路结合起来. 19. 某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩, 按成绩分组: 第 1 组[75,80) ,第 2 组[80,85) ,第 3 组[85,90) ,第 4 组[90,9) , 第 5 组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)分别求第 3,4,5 组的频率; (Ⅱ) 若该校决定在笔试成绩高的第 3, 4, 5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试, 求第 3,4,5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?

(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的面试, 求第 4 组至少有一名学生被甲考官面试的概率.

考点:频率分布直方图;古典概型及其概率计算公式. 专题:计算题. 分析: (I)根据频率分步直方图的性质,根据所给的频率分步直方图中小矩形的长和宽,求 出矩形的面积,即这组数据的频率. (II)由上一问求得频率,可知 3,4,5 组各自所占的比例样,根据分层抽样的定义进行求 解; (Ⅲ)由题意知变量 ξ 的可能取值是 0,1,2,该变量符合超几何分布,根据超几何分布的 概率公式写出变量的概率,写出这组数据的分布列从而求出 P(ξ≥1)的概率; 解答: 解: (Ⅰ)根据所给的频率分步直方图中小正方形的长和宽, 得到第三组的频率为 0.06×5=0.3; 第四组的频率为 0.04×5=0.2; 第五组的频率为 0.02×5=0.1. (Ⅱ)由题意知本题是一个等可能事件的概率, 由(Ⅰ)可知第三,四,五组的频率分别为:0.3,0.2,0.1 则分层抽样第 3,抽取的人数为: 第 4 组抽取的人数为: 5 组每组抽取的人数为: ×6=2 ×6=1; ×6=3

(Ⅲ)学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的面试, 由题意知变量 ξ 的可能取值是 0,1,2 该变量符合超几何分布, ∴P(ξ=i)= ∴ξ 分布列是 (i=0,1,2)

∴P(ξ≥1)=

+

=

= ;

点评:本题考查频率分步直方图的性质,考查等可能事件的概率,考查离散型随机变量的分 布列,考查超几何分布,本题是一个概率与统计的综合题目;

20.已知椭圆

(a>b>0)的焦距为

,离心率为



(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)设过椭圆顶点 B(0,b) ,斜率为 k 的直线交椭圆于另一点 D,交 x 轴于点 E,且|BD|, 2 |BE|,|DE|成等比数列,求 k 的值. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题:计算题. 分析: (Ⅰ)由已知 , 可求 a,c 结合 b =a ﹣c =1 即可求 b,进而可求椭圆方
2 2 2

程 (Ⅱ)由(Ⅰ)得过 B 点的直线为 y=kx+1,联立直线 y=kx+1 与椭圆方程可求 D 的坐标, 2 及 k 的取值范围,由|BD|,|BE|,|DE|成等比,可得|BE| =|BD||DE|,即(1﹣yD)|yD|=1 ,解方程可求 解答: 解: (Ⅰ)由已知 解得 ,… 2 2 2 所以 b =a ﹣c =1, 椭圆的方程为 .… , .…

(Ⅱ)由(Ⅰ)得过 B 点的直线为 y=kx+1,
2 2



得(4k +1)x +8kx=0,…

所以

,所以

,…

依题意 k≠0,


2

因为|BD|,|BE|,|DE|成等比数列,所以|BE| =|BD||DE|,… 2 所以 b =(1﹣yD)|yD|,即(1﹣yD)|yD|=1,… 2 当 yD>0 时,yD ﹣yD+1=0,无解,… 当 yD<0 时,yD ﹣yD﹣1=0,解得
2

,…

所以

,解得



所以,当|BD|,|BE|,|DE|成等比数列时,

.…

点评:本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆的方程,直线与椭圆的相交关系的应用,及等 比数列的应用,属于综合性试题 21.已知函数 f(x)=e ﹣mx +1(m∈R) . (Ⅰ)当 m= 时,是判断函数 f(x)的单调性并给予证明; (Ⅱ)若 f(x)有两个极值点 a,b(a<b) ; (i)求实数 m 的取值范围 (ii)证明:2<f(a)< +1(注:e 是自然对数的底数)
x 2

考点:利用导数研究函数的极值. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)m= 时,求出 f(x)= f(x)的单调性; (Ⅱ) (i)容易判断 a,b 是方程 f′(x)=0 的两个实数根,并且能够得到方程 2m= (x)= ,设 g ,再求 f′(x) ,根据该导数符号即可判断出

,求 g′(x) ,根据导数的符号可以求出 g(x)的一个极小值为 g(1)=e,这时候 有两个不同实数根,就需限制 2m>e,这样即可解出 m 的取值范围; ,带入 f(a)= ,f

要使得方程

(ii)a 是 f′(x)=0 的一个实数根,这样即可求出 m=

(a)表示关于 a 的函数,求 f′(a) ,并能够判断 f′(a)>0,从而得到 f(a)在(0,1)是 增函数,从而 f(0)<f(a)<f(1) ,求出 f(0) ,f(1)即完成该问的证明. 解答: 解: (Ⅰ)当
x

时,
x

,f′(x)=e ﹣x;

x

由 y=e ,y=x 图象知 e >x,并且图象如下: ∴f′(x)>0; 所以 f(x)在 R 上单调递增; (Ⅱ) (ⅰ)若 f(x)有两个极值点 a,b,则 a,b 是方程 f′(x)=0 的两个根; x 故方程 2mx﹣e =0 有两个根 a,b;

又 x=0 显然不是该方程的根,所以方程

有两个实根;



,得



∴①x<0 时,g(x)<0,g′(x)<0,g(x)单调递减; ②x>0 时,g(x)>0:0<x<1 时,g′(x)<0,x>1 时,g′(x)>0; ∴g(1)=e 是 g(x)的极小值; ∴要使方程 有两个根,需 2m>e,故 ) ;
a

,且 0<a<1<b;

故 m 的取值范围为(

(ⅱ)证明:由 f′(a)=0 得,e ﹣2ma=0; ∴ ;
a 2

∴f(a)=e ﹣ma +1= 由上面知 0<a<1,∴f′(a)>0; ∴f(a)在(0,1)上是增函数; ∴f(0)<f(a)<f(1) ; ∴2<f(a)< .

,f′(a)=



点评:考查根据导数符号判断函数单调性的方法,要熟悉 y=e 和 y=x 图象的关系,从而比 x 较出 e 和 x 的大小关系,极值的定义,极值点处的导数为 0,以及方程的解和对应曲线或直 线交点的等价关系,以及函数单调性定义的运用. 四、选做题:选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,AB 是圆 O 的直径,C 是半径 OB 的中点,D 是 OB 延长线上一点,且 BD=OB, 直线 MD 与圆 O 相交于点 M,T(不与 A,B 重合) ,连结 MC,MB,OT. (Ⅰ)求证:MTCO 四点共圆;

x

(Ⅱ)求证:MD=2MC.

考点:与圆有关的比例线段. 专题:综合题;推理和证明. 分析: (1)由切割线定理可得 DT?DM=DB?DA,结合题中中点条件利用半径作为中间量进 行代换,即可得证; (2)利用四点共圆的性质及圆周角定理,可得 MB 是∠DMC 的平分线,即可证明结论. 解答: 证明: (Ⅰ)因 MD 与圆 O 相交于点 T,设 DN 与圆 O 相切于点 N, 由切割线定理 DN =DT?DM,DN =DB?DA, 得 DT?DM=DB?DA, 设半径 OB=r(r>0) , 因 BD=OB,且 BC=OC= ,则 DB?DA=r?3r=3r ,DO?DC=2r? 所以 DT?DM=DO?DC. 所以 M、T、C、O 四点共圆;… (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知 M、T、C、O 四点共圆, 所以∠DMC=∠DOT, 因为∠DMB= ∠TOD, 所以∠DMB=∠CMB, 所以 MB 是∠DMC 的平分线, 所以 = =2,
2 2 2

=3r ,

2

所以 MD=2MC … 点评:本题考查四点共圆,角平分线的性质,考查切割线定理,考查学生分析解决问题的能 力,属于中档题. 五、选修 4-4:坐标系与参数方程 2 2 23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的方程为(x﹣1) +(y﹣1) =2,直线 l 的倾斜角为 45° 且经过点 P(﹣1,0) (Ⅰ)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线 C 的极坐标方程 2 2 (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 交于两点 A,B,求|PA| +|PB| 的值. 考点:简单曲线的极坐标方程. 专题:坐标系和参数方程.

分析: (Ⅰ)直接把直角坐标方程转化成极坐标方程. (Ⅱ)利用直线和圆的关系建立一元二次方程,利用根和系数的关系求出结果. 解答: 解: (I)将 曲线 C 的极坐标方程为 代入(x﹣1) +(y﹣1) =2,化简得, …
2 2

(II)因为直线 l 的倾斜角为 45°且经过点 P(﹣1,0) ,
2 2

所以直线 l 的参数方程为

,代入(x﹣1) +(y﹣1) =2,

整理得: 化简得, 所以 故|PA| +|PB| = =12.… 点评:本题考查的知识要点:参数方程与直角坐标方程的转化,及直角坐标方程与极坐标方 程的转化,一元二次方程根和系数的关系,及相关的运算问题. 六、选修 4-5:不等式选讲 24.设函数 f(x)=x ﹣2x 2 (Ⅰ)解不等式|f(x)|+|x +2x|≥6|x|; (Ⅱ)若实数 a 满足|x﹣a|<1,求证:|f(x)﹣f(a)|<2|a|+3. 考点:不等式的证明;绝对值不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用;推理和证明. 分析: (Ⅰ)原不等式化为因式乘积的形式,利用绝对值不等式的几何意义,求解即可. (Ⅱ)直接利用因式分解,放缩法,绝对值的性质,证明即可. 解答: (24) (本小题满分 10 分)选修 4﹣5:不等式选讲 2 解: (Ⅰ)原不等式|f(x)|+|x +2x|≥6|x|可化为: (|x﹣2|+|x+2|)|x|≥6|x|;解得 x≤﹣3 或 x≥3 ,或 x=0. 所以,原不等式的解集为{x|x≤﹣3 或 x≥3,或 x=0}; … 2 (Ⅱ)证明:∵f(x)=x ﹣2x,|x﹣a|<1, ∴|f(x)﹣f(a)| 2 2 =|x ﹣2x﹣a +2a| =|x﹣a||x+a﹣2| <|x+a﹣2| =|(x﹣a)+2a﹣2| ≤|x﹣a|+|2a﹣2|
2 2 2

, ,t1?t2=3,

<1+2|a|+2 =2|a|+3, ∴|f(x)﹣f(a)|<2|a|+3.… 点评:本题考查绝对值不等式的解法,不等式的证明,绝对值的几何意义,考查逻辑推理能 力以及计算能力.



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