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(衡水万卷)2016年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学(理)试题(三) Word版含解析



2016 好题精选模拟卷 3
数学(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时 间 120 分钟。

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题

目要求的。 1.已知集合 M={ (x,y)丨 则 a 的值为( ) A± 1,-4,2.5 或 0

y-3 =a+1} ,N={ (x,y)丨(a? -1)x+(a-1)y=15} 。若 M∩N=?, x-2
C2.5 或-4
4

B± 1,-4 或 2.5
4

D± 1,-4 或 0

2.已知 2 ? 是第一象限的角,且 sin ? +cos ? =

5 ,那么 tan ? =( ) 9
C

A

2 2

B-

2 2

2

D- 2

3.定义在 R 上的函数 f(x)=

x+1 x2 ? 2x ? 3

,则 f(x) (



A 既有最大值也有最小值 B 既没有最大值,也没有最小值 C 有最大值,但没有最小值 D 没有最大值,但有最小值 4.某班班会准备从甲乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言, 要求甲乙两人甲乙两人至少有一人参 加,当甲乙同时参加时,他们两人的发言不能相邻,那么不同的发言顺序有( )种 A 360 B 520 C 600 720

1 1 1 9 ? ?1 ? 5.若正数 a,b 满足 a b ,则 a ? 1 b ? 1 的最小值
A.1 B.6 C.9 D.16

6.如图,在△ABC 中, AN= ( )

?? ? 1 ?? ? ?? ? ?? ? 2 ?? ? NC ,P 是 BN 上一点,若 AP=mAB ? AC ,则实数 m 的值为 3 9

A1

B

1 3

C

1 9

D3 )

7. 阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为(
-1-

A.7

B.9

C.10

D.11

8.已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为 球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为( ) A

2 6

B

3 6

C

2 3

D

2 2

9.将编号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片,放入四个不同的盒子中,每个盒子至少放入一张卡片,则 编号为 3 与 6 的卡片不在同一个盒子中的不同放法共有( )种 A 960 B 1240 C 1320 D 1440

10.抛物线 y? =2x 的焦点为 F,过 M( 3 ,0)的直线与抛物线相交于 A、B 两点与抛物线的 准线相交于点 C, BF =2,则△BCF 与△ACF 面积之比为( )

A

4 5

B

2 3

C

4 7

D

1 2

11.在△ABC 中,已知 ? BAC 的平分线交 BC 于点 M,且 BM:CM=2:3.若 ? AMB=60° ,则

AB ? AC =( ) BC
A2 B

5

C

7

D3

12.已知点 A(-1,0)B(1,0)C(0,1) ,直线 y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部 分,则 b 的取值范围( ) A(0,1) B(1-

2 1 , ) 2 2

C(1-

2 1 , ) 3 2

D[

1 1 , ) 3 2

第 II 卷(非选择题 共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22~24 题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中的横线上。 13.在△ABC 中,a、b、c 分别是∠A、B、C 对应的边长。若 cosA+sinA-

2 =0, cos B ? sin B



a ? b = c

14.已知线段 OA、OB、OC 两两垂直,且 OA=1,OB=1,OC=2,若线段 OA、OB、OC 在直
-2-

线 OP 上的投影长相等,则其射影长为 15.如图,内外两个椭圆的离心率相同,从外层椭圆顶点向内层椭圆引

x2 y2 切线 AC、BD,设内层椭圆方程 2 ? 2 =1 (a>b>0) ,若直线 AC a b
与 BD 的斜率之积为-

1 ,则椭圆的离心率为 4
2 ? lg x

16.若 x ∈ [1,100] , 则 函 数 f ( x ) =x

的值域为

三.解答题:本大题共 6 小题,前 5 题每题 12 分,选考题 10 分,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17.已知数列{ an }满足 a 1 =1,a n ?1 =2a n +(-1) (n∈N ) (1)若 bn=a2n-1n ?

1 ,求证:数列{bn}是等比数列并求其通项公式 3

(2)求 an 的通项公式

18.一款游戏的规则如下:如图为游戏棋盘,从起点到终点共 7 步,选定一副扑克牌中的 4 张 A、2 张 2、1 张 3,其中 A 代表前进 1 步、2 代表前进 2 步、3 代表前进 3 步.如果在终点前一 步时抽取到 2 或 3,则只需前进一步结束游戏,如果在终点前两步时抽取到 3,则只需前进两 步结束游戏。游戏开始时不放回的依次抽取一张决定前进的步数。

起点
(1)求恰好抽取 4 张卡片即结束游戏的概率; (2)若游戏结束抽取的卡片张数记为 X,求 X 的分布列和期望.

终点

19.如图 1, 在 Rt△ABC 中, ∠C=90° , BC=3, AC=6, D, E 分别是 AC, AB 上的点, 且 DE∥BC, DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2. (1)求证:A1C⊥平面 BCDE; (2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (3)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由

-3-

20.已知曲线 C : y ? x2 与直线 l : x ? y ? 2 ? 0 交于两点 A( xA , yA ) 和 B( xB , yB ) ,且

xA ? xB .记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)为 D .设点 P( s, t ) 是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合. (1)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程; 51 2 2 2 ? 0 与 D 有公共点,试求 a 的最小值. (2)若曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ? 25

21.设 函 数 f ( x ) =x? +aln ( x+1 ) ( 1 ) 若 函 数 y=f ( x ) 在 区 间 [1 , + ? )上是单调递增函数,求 a 的取值范围 (2)若函数 y=f(x)有两个极值点 x1 与 x2,求证:0<

f ? x2 ? x1

<-

1 +ln2 2

请考生在 22~24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知△ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H,∠B=60° ,F 在 AC 上,且 AE=AF.

(1)求证:B,D,H,E 四点共圆; (2)求证:CE 平分∠DEF.

-4-

23.选修 4-4:极坐标与参数方程 已知点 P( x, y ) 是圆 x 2 ? y 2 ? 2 y 上的动点, (1)求 2 x ? y 的取值范围; (2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

24.选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 2 (1) 求 f(x)≤6 的解集 (2)若 f(x)≥m 对任意 x∈R 恒成立,求 m 的范围。

2016 好题精选模拟卷 3 答案解析
1. 【答案】B 【解析】若 M∩N=?,则①两直线平行,有(a-1) (a+1)=1-a? ,a=± 1 ②N 过(2,3) ,有 2(a? -1)+3(a-1)=15,解得 a=-4 或 2.5,选 B 2. 【答案】A 【解析】sin ? +cos ? =(sin ? +cos ? )? -2sin ? cos ? =
4 4 2 2 2 2

5 9

∴sin ? cos ? =

2 3

∴sin ? cos ? =
2 2

2 9



sin ? cos ? 2 1 = = 2 2 3 sin ? ? cos ? tan2 ?

-5-

∴ tan ?=

2 2

∴选 A

3. 【答案】B 【解析】设 t=x+1,则 y=

t t ?2
2

当 t>0 时,y=

1 2 1? 2 t

在(0,+ ? )上递增

经计算,可知 y=

t t2 ? 2
y

为奇函数 ∴y max 趋于 1,y min 趋于-1

1
O

x

?1

∴图像为 ∵y 取不到最大值和最小值 4. 【答案】C ∴f(x)既没有最大值,也没有最小值 ∴选 B

【解析】若只有甲乙其中一人参加,有 C1 =480 种情况 ? C3 ? A4 2 5 4
2 4 2 若甲乙两人都参加,有 C2 =240 种情况,其中甲乙相邻的有 C2 =120 种情况 ? C5 ?A4 ? C5 ? A3 ? A2 2 2 3 2

则不同的发言顺序种数为 480+240-120=600 种 ∴选 C 5. 【答案】B

1 1 a ? ? 1 ? b= >0 1, 同理 b>1 , a ?1 【解析】∵正数 a, b ,满足 a b , ,解得 a>

1 9 1 9 1 1 ? ? ? ? ? 9 ? a ? 1? ? 2 .9 ? a ? 1? ? 6 a a ?1 b ?1 a ?1 a ? 1 a ? 1 ?1 a ?1 ∴ , 当 且 仅 当
1 4 ? 9 ? a ? 1? a? a ?1 3 等号成立,所以最小值为 6.故选择 B. ,即
6. 【答案】C 【解析】∵ AN=

?? ? 1 ?? ? NC 3

∴ AC=4AN

?? ?

?? ?

∴ AP=mAB ?

?? ?

?? ?

? ?? ? 8 ?? ? 2 ?? AC=mAB ? AN 9 9

∵B、P、N 共线 ∴m+ 7. 【答案】B

8 1 =1 ∴m= 9 9

∴选 C

-6-

【解析】当 i ? 1 时, S ? 0 ? lg

1 3 ? ? lg 3 >-1, i ? 1 ? 2 ? 3 , S ? ? lg 3 ? lg ? ? lg 5 >-1, 3 5 5 7 i ? 3 ? 2 ? 5 , S ? ? lg 5 ? lg ? ? lg 7 >-1, i ? 5 ? 2 ? 7 , S ? ? lg 7 ? lg ? ? lg 9 >-1 7 9 9 i ? 7 ? 2 ? 9 , S ? ? lg 9 ? lg ? ? lg11 <-1,所以输出 i ? 9 11

8. 【答案】A 【解析】 取 AB 的中点 D,连接 SD,过点 S 作 SE⊥DC.则 AB⊥SD,AB⊥DC, ∴AB⊥平面 SDC, ∴平面 SDC⊥平面 ABC, ∴SE⊥平面 ABC SB= SC2 ? BC2 = 3 , ∴∠SCB=60° ,∠DCB=30° ∴由 cos∠SCB=cos∠SCE× cos∠DCB 得 cos∠SCE=

3 3

∴CE=

1 2 6 3 2 6 2 ∴V=( )× × = 3 3 4 3 6

∴选 A

9. 【答案】C 【解析】根据题意,有 10. 【答案】A 【解析】可设点 A(2a? ,2a),B(2b? ,2b).由点 A,M,B 三点共线可知 2ab=- 3 . 设 BP⊥准线 L 于点 P,AQ⊥准线 L 于点 Q. 又由抛物线定义知,2b? +

C2 C2 C1 C1 6 4 2 1 AA
2 2 2 2

?A 4 ? 4

C3 C1 C1 C1 6 3 2 1 A
3 3

?A 4 ? 4

2 1 1 1 C5 C3C2C1

A

3 3

=1320 ∴选 C ?A 4 4

1 3 =|BP|=|BF|=2.∴b? = .结合 2ab=- 3 ,知 a? =1. 2 4
1 1 5 4 ):(2a? + )=2: =4:5= 2 2 2 5
∴选 A

显然( S? BCF ):( S? ACF )=|BC|:|AC|=|BP|:|AQ|=(2b? +

11. 【答案】C 【解析】∵AM 平分∠BAC,由角平分线的性质:三角形一个角的平分线,这个角平分线其对 边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例. ∴AB:AC=BM:CM=2:3 设 AB=2k(k>0) 则 AC=3k

2 3 BC BC 2k 3k 5 5 = = 根据正弦定理, , sin ?BAM 3 sin ?CAM 3 2 2
可求得: sin?BAM=

两式相加可得:

BC 5k = sin ?BAM 3 2

3BC 5k
50k2 ? 3BC2 50k2

∴根据余弦定理: (BC)? =(2k)? +(3k)? -2× 2k× 3k×
-7-

整理可求得:BC=

AB ? AC 5k 5 7 k 则可求得 = = 7 BC 7 5 7k 7

∴选 C

12. 【答案】B 【解析】①y=ax+b 和 x 轴交点在 A 时,容易得 b= ∵此时以 AB 为底边,高只能为 OC 的一半, ∴y=ax+b 与 BC 直线(x+y=1)交于(

1 ; 3

1 1 1 , )点,A(-1,0),所以 b= ; 2 2 3 b a

②当 y=ax+b 和 x 轴交点在 A 与(0,0)点之间时,不妨设为(x 0 ,0)点,x 0 =-

又知 y=ax+b 与 BC 线段交于(x 1 ,y 1 )点,x 1 =

1?b a+b ,y 1 = 1?a 1?a

△ABC 面积=1,

∴分割后的三角形面积=

1 1 = (1-x 0 )× y1 2 2

∴(a+b)? =a× (1+a);即 a=

b?b >0, 1 ? 2b

∴b<

1 ; 2 1 ;但也不能趋于 0; ∴选 B 3

③当 y=ax+b 和 x 轴交点在 A 点左侧时,明显 b 不能超过

如果展开第三点讨论,设 y=ax+b 与直线 CA 的延长线交(x 2 ,y 2 )点,与 BC 交(x 3 ,y 3 )点 得 x 2 =(1-b)/(1+a),x3=(1-b)/(1+a), 面积=

1 1 = (1-b)× (x3-x 2 ) 2 2

∴(1-b)(1-b)=

1 2 (1-a× a),a 大于零,所以 b>1. ∴选 B 2 2

13. 【答案】 2 【解析】∵cosA+sinA-

2 =0 ∴(cosA+sinA) (cosB+sinB)=2 cos B ? sin B

∴cosAcosB+sinAsinB+sinAcosB+sinBcosA=2 ∴cos(A-B)+sin(A+B)=2 ∵cos(A-B)∈[-1,1];sin(A+B)∈[-1,1] ∴当二者和为 2 时,只能是二者均为 1 即 cos(A-B)=1,sin(A+B)=1 ∵A、B、C 为△ABC 内角 ∴A-B=0,A+B=90°

-8-

∴解得 A=B=45°∴C=180° -45° -45° =90° ∴

a ? b sin A ? sin B 2 2 = = + = 2 c sin C 2 2

14. 【答案】

2 3

【解析】线段 OA,OB,OC 两两垂直,且 OA=1,OB=1,OC=2.若线段 OA,OB,OC 在 直线 OP 上的射影长相等.解得:AC=BC= 5 ,AB= 2 利用余弦定理: AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos∠ACB 解得:cos∠ACB=

4 5

则 sin∠ACB=

3 5

∴S △ A BC =

1 3 × 5 × 5 sin∠ACB= 2 2

利用三棱锥的体积相等 VC-AOB=VO-ABC ∴

1 1 1 3 2 × × 1× 1× 2= × h ∴解得 h= 3 2 3 2 3

∴答案为

2 3

15. 【答案】

3 2

【解析】由于内层椭圆和外层椭圆的离心率相等,不妨设外层椭圆的方程为

,设切线 消去 由 得

的方程为 ,

,则





化简得



同理可得





因此

,所以

,因此



故椭圆的离心率为 16. 【 答 案 】 [1,10]

.

∴离心率为

3 . 2

-9-

【 解 析 】 ∵ x ∈ [1,100]

∴ f( x) > 0

∵ lgy=lgx

2 ?lg x

=(2-lgx)lgx

∴令 t=lgx,则有 lgy=t(2-t)=-(t-1)? +1

∵t=lgx∈[0,2] ∴lgy max =1 所以 y max =10

而当 t=0 或 2 时,lgy min =0 ∴y min =1 ∴值域为[1,10]

1 bn ?1 a 2n ?1 ? 3 17.(1)∵ = 1 bn a 2n-1 ? 3

又∵ a2n ?1 =2 a 2n +1, a 2n =2 a2n-1 -1

1 1 ∴ a2n ?1 =4 a2n-1 -1 ∴ a2n ?1 - =4( a2n-1 - ) ∴ 3 3 1 2 = 3 3

a 2n ?1 ? a 2n-1

1 3 =4 1 ? 3
2 3

∴{bn}是公比为 4 的等比数列 ∵a 1 -

∴bn 的首项为

4 ∴bn= ?

2 3

n ?1

(n∈N )

?

(2)∵ a2n-1 -

1 2 n ?1 4 = ? 3 3

∴ a2n-1 =

1 1 2n ?1 1 2n ?1 2 = ( ?2 ? 1) + ? 3 3 3

2 ∴ a 2n =2 a2n-1 -1= ?

1 3

2n

1 1 2n ? 2 ? 1) = ( 3 3

?1 n (2 ? 1) (n为奇数) ? ?3 ∴a n = ? ?1 (2n ? 1) (n为偶数) ? ?3

18. (1)设抽取 4 张卡片即结束游戏为事件 A,取 4 张步数要大于等于 7,卡片可以是 2 个 A、1 个 2、1 个 3 或 1 个 A、2 个 2、1 个 3,所以 P(A)= (2)X 的可能取值为 3,4,5,6

C2 C1 A 4 ? C1 A1 A3 3 4 2 4 4 3 3 = 4 7 A7
47 105

1 P(X=3)= 3 = A 7 35
P(X=6)= 则分布列为 X P 3 4 5

A3 3

3 P(X=4)= 7
=

P(X=5)=

A5 ? C3 A 5 ? C3 C1 C1 A 4 ? C2 A4 5 4 5 4 2 2 4 4 4 A
6 7

=

C1 A5 ? C1 A5 2 5 2 5 A
6 7

2 21
6

1 35

3 7

47 105

2 21
- 10 -

∴E(X)=

1 3 47 2 484 × 3+ × 4+ × 5+ × 6= 7 105 21 105 35

19. (1)? CD ? DE , A1 E ? DE

? DE ? 平面 A1CD ,
又 A1C ? CD , ? AC ? 平面 BCDE 。 1

又? AC ? 平面 A1CD , ? AC ? DE 1 1

(2)如图建系 C ? xyz ,则 D ? ?2 , 0, 0 ? , A 0 ,0 ,2 3 , B ? 0 , 3, 0 ? , E ? ?2 , 2, 0? ???? ? ? ???? ∴ A1 B ? 0 ,3 ,? 2 3 , A1E ? ? ?2 , ? 1, 0? 设平面 A1 BE 法向量为 n ? ? x ,y , z?

?

?

?

?

???? ? ? ? A1 B ? n ? 0 则 ????? ? ? ? ? A1 E ? n ? 0
? ∴ n ? ?1 ,2 , 3

? ?3 y ? 2 3z ? 0 ∴? ? ??2 x ? y ? 0

???? ? 又∵ M ?1 ,0 , 3 ∴ CM ? ?1 ,0 , 3 ???? ? ? CM ? n 1? 3 4 2 ? ? ? ? ? ∴ cos ? ? ???? 2 | CM | ? | n | 1? 4 ? 3 ? 1? 3 2 ? 2 2 , ∴ CM 与平面 A1 BE 所成角的大小 45 ? 。

?

?

?

? 3 z? y ? ? 2 ∴? ?x ? ? y ? ? 2

z A1 (0,0,2 3) M

?

?

?

D (-2,0,0) C (0,0,0) x

E (-2,2,0) y B (0,3,0)

(3)设线段 BC 上存在点 P ,设 P 点坐标为 ? 0 , a, 0? ,则 a ? ? 0 , 3? ??? ? ? ? ? ???? 则 A1 P ? 0 ,a ,? 2 3 , DP ? ? 2 , a, 0? 设平面 A1 DP 法向量为 n1 ? ? x1 ,y1 ,z1 ?

?

?



? 3 z ? ay ? ?? ? ? 1 6 1 ∴? ∴ n1 ? ?3a ,6 , 3a 。 ? x ? ? 1 ay 1 1 ? ? 2 ? ? ? ? 假设平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直,则 n1 ? n ? 0 ,∴ 3a ? 12 ? 3a ? 0 , 6a ? ?12 , a ? ?2 ,

? ?ay ? 2 3z1 ? 0 则? 1 ? ?2 x1 ? ay1 ? 0

?

?

∵ 0 ? a ? 3 , ∴不存在线段 BC 上存在点 P ,使平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直。

?y ? x2 ? x1 ? ?1 ? x 2 ? 2 20.(1)解曲线 C 与直线 l 的联立方程组 ? ,得 ? ,? , ? x ? y ? 2 ? 0 ? y1 ? 1 ? y 2 ? 4
又 xA ? xB ,所以点 A,B 的坐标分别为 A(?1,1), B(2,4) ∵点 Q 是线段 AB 的中点∴点 Q 的坐标为 Q?

?1 5? , ? ?2 2?
2

∵点 P( s, t ) 是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合.∴ t ? s
2 即 P(s, s ) ,且 ? 1 ? s ? 2

设线段 PQ 的中点为 M (x,y),

- 11 -

? ? ?x ? ? 则点 M 的轨迹的参数方程为 ? ? ?y ? ? ?
2

1 ?s 2 2 (s 为参数,且 ? 1 ? s ? 2 ) ; 5 2 ?s 2 2

5? 1? 5 ? 1 ? 消去 s 整理,得 y ? 2? x ? ? ? ,且 ? ? ? x ? ? 4? 4? 4 ? 4 ?
∴线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程是 y ? 2? x ?

? ?

5? 1? 5 ? 1 ? ? ,?? ? x ? ?; 4? 4? 4 ? 4
2

2

(2)曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ?
2 2 2

51 ?7? ? 0 可化为 ?x ? a ?2 ? ? y ? 2?2 ? ? ? , 25 ?5?

它是以 G(a,2)为圆心,以

7 为半径的圆 5

设直线 l : x ? y ? 2 ? 0 与 y 轴相交于点 E,则 E 点的坐标为 E(0,2); 自点 A 做直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的垂线,交直线 y=2 于点 F 在 RT△EAF 中,∠AEF= 45 , AE ?
0

2 ,所以 AF ? 2



7 ? 2 ,∴当 a ? 0 且圆 G 与直线 l 相切时,圆心 G 必定在线段 FE 上, 5

且切点必定在线段 AE 上 ∴此时的 a 的值就是所求的最小值。 当圆 G 与直线 l : x ? y ? 2 ? 0 相切时

a?2?2 1?1

?

7 5

解得 a ? ?

7 2 7 2 ,或者 a ? (舍去) 5 5 7 2 5

所以,使曲线 G 与平面区域 D 有公共点的 a 的最小值是 ?

21.(1)f`(x)=2x+

a ≥0 ∴a≥-2x(x+1)=-2x? -2x x?1

∴a≥-4 即 a∈[-4,+ ? ) (2)∵f`(x)=

a 2x2 ? 2x ? a =0 时 根据韦达定理有 x1+x2=-1 x1x2= 2 x?1
- 12 -

∴a=2x1x2=2x2(-1-x2)



f ? x 2 ? x2 x2 ? a ln (x2 ? 1) = 2 =2x2ln(x2+1)- 2 1+x 2 x1 -1-x2

x2 令 g(x)=2xln(x+1)1+x
2 2x 2x ? x ? 1? ? x x2 ∴g`(x)=2ln(x+1)+ =2ln ( x+1 ) + 2 2 1+x ?1+x ? ?1+x?
2 2 2x(x+1) ?( 2 x ? 1)x2 2x2 ? 6x ? 2 g``(x)= + = 4 3 x?1 ? x ? 1? ? x ? 1?

经计算,存在 x0 使 g``(x)= 0,则 g``(x)在( ?

1 ,x0)递减,在(x0,0)递增 2

∴x0∈( ?

1 ,0) ∴最小值 g(x0)<2ln(x0+1)+ 2 1 )=1-ln4<0 ∴g`(x)<0 2
f ? x2 ? x1

?x

x2 0
0

? 1?

2

∵g`(0)=0 g(-

∴g(x)单调递减 即

随 x2 的增大而减小 ∵g(0)=0 g(-

1 1 )=- +ln2 2 2

∴0<

f ? x2 ? x1

<-

1 +ln2 原式得证 2

22. (1)在△ABC 中,∵∠B=60° ,∴∠BAC+∠BCA=120° . ∵AD,CE 是角平分线,∴∠HAC+∠HCA=60° ,∴∠AHC=120° .于是∠EHD =∠AHC=120° ∵∠EBD+∠EHD=180° ,∴B,D,H,E 四点共圆. (2)连接 BH,则 BH 为∠ABC 的平分线,所以∠HBD=30° .由(1)知 B,D,H,E 四点共圆, ∴∠CED=∠HBD=30° .又∠AHE=∠EBD=60° , 由已知可得 EF⊥AD,可得∠CEF=30° ,∴CE 平分∠DEF. 23. 【答案】 (1) ? 5 ? 1 ? 2 x ? y ? 5 ? 1 (2) a ? 【解析】 (1)设圆的参数方程为 ?

2 ?1

? x ? cos ? , y ? 1 ? sin ? ?

2x ? y ? 2cos? ? sin ? ? 1 ? 5 sin(? ? ? ) ?1,∴ ? 5 ? 1 ? 2x ? y ? 5 ? 1.
(2) x ? y ? a ? cos ? ? sin ? ? 1 ? a ? 0 ,

- 13 -

∴ a ? ?(cos ? ? sin ? ) ? 1 ? ? 2 sin(? ? 24. 【答案】 (1)[-2,10](2)m≤-3 【解析】 (1)∵ 2 x ? 1 ? x ? 2 ≤6

?
4

) ? 1恒成立,即 a ? 2 ? 1 .

?2? x?1 x>1 x< -2 ∴ {2 ( 1- x )? x ?2?6 或 2( x ?1)? x ?2?6 ( 1- x )?( x ? 2)?6 或 2

{

{

∴解得

< -2 {x x ? ?2

或 {x??2

?2? x?1

x>1 或 { x ?10

∴不等式的解集为[-2,10]

?4 ? x(x<-2) ? = ??3x(-2≤x≤1) (2)由(1)知 f(x) 容易求得函数最小值为-3 ?x ? ( 4 x>1) ?
∵f(x)≥m 对任意 x∈R 恒成立 ∴m≤-3

- 14 -



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