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2017届高三数学一轮总复习:专题10-立体几何(含解析) (10)



专题九、不等式 抓住 4 个高考重点
重点 1 不等式性质的应用 1.不等式性质的应用策略 (1)应用不等式性质时必须弄清楚前提条件; (2)“不等式取倒数”的性质: a ? b, ab ? 0 ??

1 1 ? a b

2.利用性质求数(式)的取值范围的方法 应用不等式的性质求多个变量线性组合的范围问题时,由于变量间相互制约

,在“取等号”的条件上会有所不同, 故解此类问题要特别小心.一般来说, 可采用整体换元或待定系数法解决. 3.比较实数大小的方法 (1)作差比较法 (2)作商比较法

[高考常考角度] 角度 1 下面四个条件中,使 a ? b 成立的充分而不必要条件是( A



A. a ? b ? 1

B. a ? b ? 1

C. a 2 ? b 2

D. a 3 ? b3

解析:选择项为条件,即寻找命题 p 使 p ?? a ? b 且 a ? b 推不出 p ,逐项验证可选 A 角度 2 设实数 x , y 满足 3 ? xy 2 ? 8, 4 ?

x3 x2 ? 9, 则 4 的最大值是 y y

解析:考查不等式的基本性质, 等价转化思想。

x2 2 x3 x2 2 1 x3 1 1 1 由已知得 ( ) ?[16,81] , 2 ? [ , ] ,? 4 ? ( ) ? 2 ? [2, 27] , 4 的最大值是 27 . xy 8 3 y y y y xy
重点 2 一元二次不等式及其解法
2 2

1 .一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 或 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解法 2.分式不等式的解法 3.高次不等式的解法 4.含参数不等 式的解法 [高 考常考角度] 角度 1 不等式 2 x ? x ? 1 ? 0 的解集是( D
2



A. ( ? ,1)
2

1 2

B. (1, ??)

C. (??,1) ? (2, ??)

D. (??, ? ) ? (1, ??)

1 2

解析: 2 x ? x ? 1 ? 0 ? ( x ? 1)(2 x ? 1) ? 0 ? x ? ?

1 1 或 x ? 1 ,则不等式的解集为 (??, ? ) ? (1, ??) ,故选 D 2 2

? x 2 ? 1, x ? 0 2 角度 2 已知函数 f ( x) ? ? ,则满足不等式 f (1 ? x ) ? f (2 x) 的 x 的范围是_____________. x?0 ?1,
解析:本题以分段函数为载体,考查分段函数的单调性,以及一元二次不等式的解法由题意有

?1 ? x 2 ? 0 ?1 ? x 2 ? 2 x 或? 解得 ?1 ? x ? 0 或 0 ? x ? 2 ? 1 ,综合得 x ? (?1, 2 ?1) ? 2 x ? 0 2 x ? 0 ? ?
角度 3 已知函数 f ( x) ? ex ?1, g ( x) ? ? x2 ? 4 x ? 3, 若有 f (a) ? g (b), 则 b 的取值范围为( B )

A. [2 ? 2, 2 ? 2]

B. (2 ? 2, 2 ? 2)

C. [1,3]

D. (1,3)

解析:由题可知 f ( x) ? e x ? 1 ? ?1 , g ( x) ? ? x2 ? 4 x ? 3 ? ?( x ? 2)2 ? 1 ? 1 , 若有 f (a) ? g (b), 则 g (b) ? (?1,1] ,即 ?b ? 4b ? 3 ? ?1 ,解得 2 ? 2 ? b ? 2 ? 2 。
2

角度 4 若关于 x 的不等式 (2 x ? 1)2 ? ax 2 的解集中的 整数恰有 3 个,则实数 a 的取值范围是_____ ( 解析:原不等式可化为 (4 ? a) x2 ? 4 x ? 1 ? 0 原不等式解集中的整数恰有 3 个,须有 ? 又 ①

25 49 , ] _____ 9 16

?4 ? a ? 0 1 1 ?x? ?? 0 ? a ? 4 ,又由①得 2? a 2? a ?16 ? 4(4 ? a) ? 0

25 49 1 1 1 1 ? ? ,所以解集中的 3 个整数必为 1, 2,3 ,所以 3 ? ? 4 ,解得 ? a ? 9 16 4 2? a 2 2? a

角度 5 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间;

? ) 内是减函数,求 a 的取值范围. (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ( ? ,
解: (Ⅰ)由 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 得 f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1

2 3

1 3

? ? 4a2 ? 4 ? 3 ? 4(a2 ? 3)

当 ? 3 ? a ? 3 时, ? ? 0 ,有 f ?( x) ? 0 , ? f ( x) 在 R 上递增 当 a ? ? 3 或 a ? 3 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ?

?a ? a 2 ? 3 3

由 f ?( x) ? 0 ?? x ?

?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 或x? 3 3

?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 由 f ?( x) ? 0 ?? ?x? 3 3 ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? f ( x) 在 (??, ) 和( , ? ?) 递增,在 ( , ) 递减, 3 3 3 3
? ) 内是减函数,则有 f ?( x) ? 0 在区间 (? , ? ) 恒成立 (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 ( ? , 2 3 1 3 2 3 1 3

2 2 2 ? ? f (? ) ? 0 3 ? ( ? ) 2 ? 2a ? (? ) ? 1 ? 0 ? ? ? ? 3 3 3 ?? ? 只需 ? 1 1 1 ? f (? ) ? 0 ?3 ? (? ) 2 ? 2a ? (? ) ? 1 ? 0 ? ? 3 3 3 ? ?

7 ? ?a ? ?? ? 4 ?? a ? 2 ? ?a ? 2

? a 的取值范围是 [2, ??)
重点 3 简单的线性规划问题 1.正确作出二元一次不等式(组)表示的区域 2.简单的线性规划问题的求解策略 [高考常考角度]

? y ? 2x ? 0 ? 角度 1 已知 x, y , z 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则符合条件的整点可行解有___4___个. ?5 x ? 3 y ? 5 ? 0 ?
解:画出可行域,满足条件的可行域中的整数点为 (1, ?1),(2, ?2),(0,0),(0, ?1)

?x ? y ? 2 ??? ? ???? ? ? 角度 2 已知 O 是坐标原点,点 A(?1,1) ,若点 M ( x, y ) 为平面区域 ? x ? 1 ,上的一个动点,则 OA? OM 的取值 ?y ? 2 ?
范围是

A. [?1, 0]

B. [0,1] C. [0, 2] D. [?1, 2] ??? ? ???? ? 解析:画出可行域, OA? OM ? z ? ? x ? y ,可知 z 在点 A(1,1) 、 B(0, 2) 取分别取到 最小值 0 、最大值 2 。故选择 C。

y C
2

(1,2)

A
(1,1)

B x

?x ? 1 ? 角度 3 已知 a ? 0 , x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 , ? y ? a ( x ? 3) ?
若 z ? 2 x ? y 的最小值为 1,则 a ? ( )

O

1

A.

1 4

B.

1 2

C. 1

D. 2
y=2x

y y=a(x-3)

解析:作出可行域,目标函数 z ? 2 x ? y 在 A(1, ?2a) 处取得最小值, 于是 2 ? 2a ? 1 ,解得 a ?

C

1 。故选 B 2

B O A x=1 3 x x+y=3

?x ? y ? 2 ? 0 y ? 角度 4 . 已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 1 ,则 的取值范围是( A x ?x ? y ? 7 ? 0 ?
6] A. [ , 9 5 ? ?) B. ( ??, ] ? [6, 9 5
C. (??, 3] ? [6, ? ?) D. [3, 6]



解:画出可行域,

y 可视为原点与区域内任一点连线的斜率, x 5 9 9 y 得 A( , ), B(1, 6),? ? ? 6 2 2 5 x

?7 x ? 5 y ? 23 ? 0 ? 角度 5. 已知实数 x , y 满足线性约束条件 ? x ? 7 y ? 11 ? 0 , 则 x 2 ? y 2 的取值范围是 [0,37] ?4 x ? y ? 10 ? 0 ?
解:画出可行域,其中 A(4,1), B(?1, ?6), C (?3, 2) ,

M ? x2 ? y 2 可以视为可行域中的动点 P( x, y ) 到坐标系原点的距离的平方,
则 M min ? 0, M max ? (?1)2 ? (?6)2 ? 37 重点 4 基本不等式 1.基本不等式,均值不等式 2.利用不等式求最值 [高考常考角度] 角度 1 已知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则 y ?

A.

7 2

B. 4

1 4 ? 的最小值是( a b 9 C. D. 2



5

解析:

2a b 2 4 1 4 1 4 a b 5 2a b 5 2a b 9 ? ,即 a ? , b ? 时, ? ? ( ? )( ? ) ? ? ? ? ?2 ? ? ,当且仅当 b 2a 3 3 a b a b 2 2 2 b 2a 2 b 2a 2

等号成立,故选择 C。

角度 2 若对任意 x ? 0 ,

x ? a 恒成立,则实数 a 的取值范围是 x ? 3x ? 1
2

1 [ , ??) 5

.

解析:因为 x ? 0 ,所以 x ?

1 ? 2 (当且仅当 x ? 1 时等号成立) , x 1 1 x x 1 1 1 则 2 的最大值为 ,故 a ? . = ? ? ,即 2 5 5 x ? 3x ? 1 x ? 3x ? 1 x ? 3 ? 1 2 ? 3 5 x

突破 3 个高考难点

难点 1 不等式恒成立问题的求解 1.恒成立问题 若不等式 f ( x) ? A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ( x)min ? A 。 若不等式 f ( x) ? B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ( x)max ? B 。 典例 1 当 x ? [0,1] 时,不等式 9x ? (4 ? a) ? 3x ? 4 ? 0 恒 成立,则 a 的取值范围是___ (??, ?9] ______ 解析:设 3 ? t ,则 2 t ?[1,3] ,设 f (t ) ? t 2 ? (4 ? a)t ? 4 ,则原不等式恒成立,即函数 f (t ) ? 0 在 [1,3] 上恒成立
x

?a ? ?9 ? f (1) ? 0 ?1 ? 4 ? a ? 4 ? 0 ? ?? ?? ? ?? ? 25 ,? a ? ?9 a?? ? f (3) ? 0 ?9 ? 12 ? 3a ? 4 ? 0 ? 3 ?
典例 2 若不等式 2 x ?1 ? m 则 x 的取值范围是 _ ( (x ?1) 对满足 ?2 ? m ? 2 的所有 m 都成立,
2

?1 ? 7 1 ? 3 , ) __ 2 2

解析:将原不等式化为 m( x2 ?1) ? (2 x ?1) ? 0 ,令 f (m) ? ( x2 ?1)m ? (2 x ?1) , 则 ?2 ? m ? 2 时, f (m) ? 0 恒成立,只须 ?

?( x 2 ? 1) ? (?2) ? (2 x ? 1) ? 0 ? f (?2) ? 0 ?1 ? 7 1? 3 ? ?? ? 2 解得 ?x? 2 2 ?( x ? 1) ? 2 ? (2 x ? 1) ? 0 ? f (2) ? 0 ?

典例 3 若不等式 ( x ? y )( ?

1 x

m ) ? 16 对任意的 x 、 y 恒成立,则正实数 m 的最小值为( y
C.



A. 1
解析: ( x ? y )( ?

B.

4

9

D.

14

1 x

m y xm ) ? 1? m ? ? ? 1 ? m ? 2 m ? 16 ∴ ( m ?1)2 ? 16 ? m ?1 ? 4 ? m ? 9 ,故选择 C y x y

难点 2 线性规划中参变量问题的求解 典例

?y ? x ? 设 m ? 1, 在约束条件 ? y ? mx 下, 目标函数 z ? x ? my 的最大值小于 2 , 则m的 ?x ? y ? 1 ?
取值范围为( A )

A. (1,1 ? 2)

B. (1 ? 2, ??)

C. (1,3)

D. (3, ??)

解析:画出可行域,可知 z ? x ? my 在点 A( 由

1 m , ) 取最大值, 1? m 1? m

1 m2 ? ?2 1? m 1? m

解得 1 ? m ?

2 ? 1。故选择 A

难点 3

不等式的综合运用

典例 1 已知正数 x , y 满足 x ? y ? 1 ,则 ( x ? )( y ? 解析: ( x ? )( y ?

1 x

1 ) 的最小值为__________ y

1 y x 1 x2 ? y 2 1 ( x ? y)2 ? 2 xy 1 2 ) ? ? ? xy ? ? ? ( xy ? ) ? ? ( xy ? ) ? ? xy ? 2 y x y xy xy xy xy xy xy 1 1 1 ? 令 t ? xy ,由 x, y ? R , x ? y ? 2 xy ?? 0 ? xy ? ,当且仅当 x ? y ? 取等号,? t ? (0, ] 4 2 4 1 2 1 2 设 f (t ) ? t ? ? 2, t ? (0, ] ,则 f ?(t ) ? 1 ? 2 ,由 f ?(t ) ? 0 ?? t ? 2 ,而 ? 2 4 t 4 t 1 1 25 所以函数 f (t ) 在 (0, ] 上递减,故 f (t ) min ? f ( ) ? 4 4 4 2 1 点评: f (t ) ? t ? ? 2, t ? (0, ] 的单调性也可以由“对钩函数”图象获得 t 4 1 x

规避 3 个易失分点 易失分点 1 忽视基本不等式应用条件

1 ( x ? 1) 的值域是____________ x ?1 1 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ,当且仅当 x ? 1 ? 解析:误解: y ? x ? 1 ? 即 x ? 2 时取等号,故值域为 [3, ??) x ?1 x ?1 原因: x ? 1 ,应当有 x ? 1 ? 0 和 x ? 1 ? 0 两种情况. 1 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ,当且仅当 x ? 1 ? 正解:当 x ? 1 时, y ? x ? 1 ? 即 x ? 2 时取等号 x ?1 x ?1 1 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1,? y ? ?1,当且仅当 1 ? x ? 当 x ? 1 时, ? y ? 1 ? x ? 即 x ? 0 时取等号 1? x 1? x
典例 函数 y ? x ? 综上,原函数的值域为 (??, ?1] ? [3, ??) 方法二:令 u ? x ? 1 ?

1 1 1 ??| u |?| x ? 1 ? |?| x ? 1| ? ? 2,? u ? ?2 或 u ? 2 ,而 y ? u ? 1 x ?1 x ?1 | x ? 1|

故 ? y ? ?1 或 y ? 3 ,原函数的值域为 (??, ?1] ? [3, ??)

易失分点 2 线性规划问题寻找最优整点解方法不当

y 2x=7 A 2x+3y=0 B x-y=2

? x ? y ? 10, ? ? 典例 已知 x, y ? Z ,且满足约束条件 ? x ? y ? 2, 则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值 ? 2 x ? 7. ?

C O

x+y=10 x

是( C )

A.

23 2

B. 13

C. 14

D.

24

解析: 画 出可行域, 如图所示, 易得 B(6, 4) , 且当直线 z ? 2 x ? 3 y 过点 B 时 z 取最大值, 此时 z ? 24 , 点 C( , ) , 过点 C 时取得最小值, z ? 2 ?

7 3 2 2

7 3 23 ? 3 ? ? 为最小值 2 2 2

但 x , y 都是整数,最接近的整数解为 (4, 2) ,故所求的最小值为 14,故选 B 点评:整数解是否为 (4, 2) ,代入约束条件验证可知.

易失分点 3 平面区域不明

典例

?y ? 0 ? 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 若 不 等 式 组 ? y ? 2 x 表示一个三角形区域,则实数 k 的取值范围是 ? y ? k ( x ? 1)? 1 ?

____________ 解析: y ? k ( x ? 1) ? 1 过定点 (1, ?1) ,如图(1)所示,当这条直线的斜率为负值时,该直线与 y 轴的交点必须在原 点上方, k ? (??, ?1) 时,可构成三角形区域;如图(2)所示,当这 条直线的斜率为正值时, y ? k ( x ? 1) ? 1 所表 示的是直线及其下方的半平面,此时不能构成三角形区域;当这条直线斜率为 0 时,构不成平面区域。因此 k 的取 值 范围是 (??, ?1)

点评:如果不加分析,会误认为直线 y ? k ( x ? 1) ? 1 的斜率为正值时 , 三条直线仍能够构成三角形区域.这样的结果是 (??, ?1) ? (0, 2) ? (2, ??)



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