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广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高考模拟考试文科数学试卷(8)



广东省汕头市澄海凤翔中学 2015 届高考模拟考试(8)

文科数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. ) 1、已知集合 ? ? ? x 2 x ? 3 ? 1? ,集合 ? ? ? x ?1 ? x ? 3? ,则 ? ? ? ? ( A.? B.? C.

? x ?1 ? x ? 2? )

D. ? x x ? 3?

2、某校为了解学生的学习情况,采用分层抽样的方法从高一 600 人、高二 680 人、 高三 720 人中抽取 50 人进行问卷调查, 则高一、 高二、 高三抽取的人数分别是 ( A.15 ,17 ,18 )

B.15 ,16 ,19 C.14 ,17 ,19 D.15 ,16 , 20 ? ? ? ? ? ? 3、已知向量 a ? ? ?1, 2? , b ? ? ?1,1? , c ? ? ?3,1? ,则 c ? a ? b ? ( )

?

?

A . ? 6,3? D. 9

B . ? ?6,3?

C . ?3

4、已知 z 是复数, i 是虚数单位,若 z ? i ? 1 ? i ,则 z ? ( A . 1? i D. ?1 ? i B . 1? i

) C . ?1 ? i

5、 “ ?1 ? c ? 1 ”是“直线 x ? y ? c ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 1相交”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件



D.既不充分也不必要条件 ) D. 39

6、等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 9 , S5 ? 30 ,则 a1 ? a4 ? ( A. 7
3? ? 7、函数 y ? sin ? 2 x ? 4 ?

B. 9
? ? 的一条对称轴是( ?

C. 13 )

A. x ? C. x ?

?
4

B. x ? ? D. x ? ?

?
4

?
8

?
8

8、 一个几何体的三视图如图, 正视图和侧视图都是由一个半圆 和一个边长为 2 的正方形组成,俯视图是一个圆,则这个几何 体的表面积是( )

A.5?

B.6?

C.7? )

D.9?

9、 运行如图的程序框图, 若输入的 a ? 4 , 则输出的 n ? (
2 A.

3 B.

4 C.

5 D.

10、对于任意正整数 n ,定义“ n !! ”如下: 当 n 是偶数时, n!! ? n ? ? n ? 2? ? ? n ? 4? ??????6 ? 4 ? 2 ; 当 n 是奇数时, n!! ? n ? ? n ? 2? ? ? n ? 4? ??????5 ? 3?1 ; 且有 n! ? n ? ? n ?1? ? ? n ? 2? ??????3? 2 ?1. 则如下四个命题: ① ? 2015!!? ? ? 2016!!? ? 2016!;② 2016!! ? 21008 ?1008! ; ③ 2015!! 的个位数是 5 ;④ 2014!!的个位数是 0 . 其中正确的命题有( A. 1 个 ) B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) (一)必做题(11~13 题) 11、若函数 f ? x ? ? x2 ? ax ?1 是偶函数,则 a ? 12、双曲线 C :
x2 y 2 ? ? 1 的离心率是 9 16

. .

?2 x ? y ? 5 ? 13、 某所学校计划招聘男教师 x 名, 女教师 y 名, x 和 y 须满足约束条件 ? x ? y ? 2 , ?x ? 5 ?

则该校招聘的教师最多是

名.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)
? ? x ? 3t 14、 (坐标系与参数方程选做题)直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,则直 ? ? y ? t ?1

线 l 的倾斜角是



?D//?C , 15、 (几何证明选讲选做题) 如图, 在梯形 ?? CD 中,
?D ? 2 , ? C ? 5 ,点 ? 、 F 分别在 ?? 、 CD 上,且 ?F//?D ,



?? 3 ? ,则 ? F 的长是 ?? 4



三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. )

?? ? 16、 (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? 2cos ? ? x ? ? (? ? 0 ) 的最小正周期为 2? . 3? ? ?1? 求 ? 的值;
? 若 f ??? ? 2 ? 记 ???C 内角 ? ,? ,C 的对边分别为 a ,b ,c , ?

??

3 且a ? b, ? ? 1, 2 3?

求 sin ? 的值.

17、 (本小题满分 12 分)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目 的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调查,其中女性有 55 名.如图是根据调查 结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图.将日均收看该体育 节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷” ,已知“体育迷”中有 10 名女性. ?1? 根据已知条件完成下面的 2 ? 2 列联表,并据此 资料判断你是否有 95 %以上的把握认为“体育迷” 与性别有关? 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 “超级体育迷” , 已知 “超 ? 2 ? 将日均收看该体育节目时间不低于 50 分钟的观众称为 级体育迷”中有 2 名女性,若从“超级体育迷”中任意选取 2 人,求至少有 1 名女 性观众的概率.
n ? ad ? bc ? 附: ? ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d . ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

? ?? 2 ? k ?
k

0.05
3.841

0.01
6.635

18、 (本小题满分 14 分) 如图 4 , 在边长为 4 的菱形 ?? CD 中,?D?? ? 60? , 点?, ? F ??? F F 分别是边 CD ,C ? 的中点,?C ? ?F ? ? . ? C ? F 沿 将 翻折到 , 连接 ?? , ?? , ? D ,得到如图 5 的五棱锥 ? ? ??CD?F ,且 ?? ? 10 . ?1? 求证: ?D ? 平面 ??? ;

? 2 ? 求四棱锥 ? ? ?F?D 的体积.
19、 (本小题满分 14 分)已知数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 点

? ? n, Sn ? ( n ? ?? )在函数 f ? x ? ? ?x2 ? 7x 的图象上.

?1? 求数列 ?an ? 的通项公式; ,求数列 ?nbn ? 的前 n 项和 ?n ; ? 2 ? 令 bn ? 2a ( n ? ?? )
n

? 3? 设 cn ?
?

? 7 ? an ?? 9 ? an ?

1

,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 R n ,求使不等式 R n ?

k 对一切 57

n ? ? 都成立的最大正整数 k 的值.

20、 (本小题满分 14 分)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆 ? :
? 1 3? ( a ? b ? 0 )过点 ? ? ? 3, 2 ? ? ,离心率为 2 . ? ? ?1? 求椭圆 ? 的方程;

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

? 2 ? 设直线 l 过椭圆 ? 的右焦点 F ,且交椭圆 ? 于 ? 、 ? 两点,是否存在实数 ? ,使
得 ?F ? ?F ? ? ?F ? ?F 恒成立?若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

21、 (本小题满分14分)已知函数 f ? x ? ? ln x , g ? x ? ? ? 2 ? a ?? x ?1? ? 2 f ? x ? .

?1? 当 a ? 1 时,求函数 g ? x ? 的单调区间;
? 2 ? 若对任意 x ? ? ? 0,
? 1? ? , g ? x ? ? 0 恒成立,求实数 a 的最小值; 2?

? 3? 设 ?? x1, y1 ? , ? ? x2 , y2 ? 是函数 y ? f ? x? 图象上任意不同的两点,线段 ?? 的中 点为 C ? x0 , y0 ? ,直线 ?? 的斜率为 k ,证明: k ? f ? ? x0 ? .

参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. ) 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 B 5 A 6 B 7 D 8 C 9 B 10 D

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) (一)必做题(11~13 题) 5 11、 0 12、 13、 10 3 (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 23 14、 30? 15、 7 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. ) 2? 16、解: ?1? ? ? ? ? 2? ?????????2 分 ?

? ? ? 1 ???????????????4 分

? 2 ? 由 ?1? 知: f ? ???
?
1 2

??

? ? 2 cos ? ? 1 3?

? cos ? ? ???????????????7 分
?0? ???

? sin ? ?

3 ???????????????9 分 2 a b 由正弦定理得: ???????????????10 分 ? sin ? sin ?

? sin ? ?

b sin ? ? a

b?

3 2 ? 1 ????????12 分 3 b 2

17、解: ?1? 男 女 合计 非体育迷 30 45 75 体育迷 15 10 25 合计 45 55 100 ????3 分 假设“体育迷”与性别无关????4 分

100 ? ? 30 ?10 ? 45 ?15 ? 100 ? ? ? ? 3.030 ? 3.841 ????6 分 75 ? 25 ? 45 ? 55 33
2 2

?没有 95 %的把握认为“体育迷”与性别有关????7 分

? 2 ? “超级体育迷”有 0.005 ?10 ?100 ? 5 人,其中有 2 名女性,记为 e , f ,有 3 名
男性,记为 g , h ,????8 分 从“超级体育迷”中任意选取 2 人,有 10 种,分别是 ? e, f ? ,? e, g ? ,? e, h ? ,? e, i ? ,

? f , g ? , ? f , h ? , ? f , i ? , ? g , h ? , ? g , i ? , ? h, i ? ????9 分
至少有名女性观众,有 7 种,分别是 ? e, f ? ,? e, g ? ,? e, h ? ,? e, i ? ,? f , g ? ,? f , h ? ,

? f , i ? ????10 分
设事件 ? ? “至少有名女性观众” ,则 ? ? ? ? ? 答:至少有名女性观众的概率是
7 ????11 分 10

7 ????12 分 10

18、 ?1? 证明:∵点 E , F 分别是边 CD , CB 的中点 ∴ BD ∥ EF ??????????1 分 ∵菱形 ABCD 的对角线互相垂直 ∴ BD ? AC ??????????2 分 ∴ EF ? AC ??????????3 分 ∴ EF ? AO , EF ? PO ??????????4 分 ∵ AO ? 平面 POA , PO ? 平面 POA , AO ? PO ? O ∴ EF ? 平面 POA ??????????5 分 ∴ BD ? 平面 POA ??????????6 分
D A B E H F O

P

? 2 ? 解:设 AO ? BD ? H ,连接 BO
∵ ?DAB ? 60? ∴△ ABD 为等边三角形??????????7 分 ∴ BD ? 4 , BH ? 2 , HA ? 2 3 , HO ? PO ? 3 ????????8 分 在 R t△ BHO 中, BO ? BH 2 ? HO 2 ? 7 ??????????9 分 在△ PBO 中, BO 2 ? PO 2 ? 10 ? PB 2 ??????????10 分 ∴ PO ? BO ??????????11 分 ∵ PO ? EF , EF ? BO ? O , EF ? 平面 BFED , BO ? 平面 BFED ∴ PO ? 平面 BFED ??????????12 分 1 梯形 BFED 的面积为 S ? ? EF ? BD ? ? HO ? 3 3 ?????????13 分 2 1 1 ∴四棱锥 P ? BFED 的体积 V ? S ? PO ? ? 3 3 ? 3 ? 3 ??????14 分 3 3 19、解: ?1? ? 点 P?n, S n ? ? n ? ? ? ? 在函数 f ? x ? ? ? x 2 ? 7 x 的图象上

? S n ? ?n 2 ? 7n
当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? ?2n ? 8 ????2 分 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 6 满足上式

? a n ? ?2n ? 8 ????4 分

? 2 ? 由题意知 bn

? 2 ?2 n ?8 ? 2 4? n ????5 分

?数列 ?nbn ?的前 n 项的和为 Tn ? 1 ? 2 3 ? 2 ? 2 2 ? ? ? ?n ? 1? ? 2 ? n ?5 ? n ? 2 ? n ? 4

1 Tn ? 1 ? 2 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ?n ? 1? ? 2 ? n ? 4 ? n ? 2 ? n ?3 ????7 分 2 1 相减得 Tn ? 2 3 ? 2 2 ? ? ? 2 ? n ? 4 ? n ? 2 ? n ?3 ????8 分 2

? ? 1 ?n ? 16 ?1 ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? n ? 2 4? n ? 32 ? ?n ? 2 ? ? 2 4? n n ? N * ????9 分 ? Tn ? ? 1 1? 2

?

?

? 3? 由 ?1? 得 cn
1?

?

?7 ? a n ??9 ? a n ?
1 1

1

?

1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ????10 分 ?2n ? 1??2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Rn ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ????12 分 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 2 ? 2n ? 1 ? 1 1 1
1 1

?

易知 Rn 在 n ? ? ? 上单调递增

? Rn 的最小值为 R1 ?
不等式 Rn ? 即 k ? 19

1 3

k 1 k 对一切 n ? N * 都成立,则 ? 57 3 57 k 对一切 n ? ? ? 都成立的最大正整数 k 的值是 18 ????14 分 57

?使不等式 R n ?

( 3) 2 3 20、解: ?1? 由椭圆 E 过点 P( 3, ) ,可得 2 ? a 2

c 1 ? ,b 2 ? c 2 ? a 2 a 2

(

3 2 ) 2 ? 1 ???????1 分 b2

???????????????????????2 分

解得: a ? 2, b ? 3 ????????????????????????3 分 所以椭圆 E 方程为 分

x2 y2 ? ?1 4 3

???????????????????? 4

? 2 ? 若直线斜率不存在,则可得 A(1,
于是

3 3 ), B(1,? ) 2 2

??

AF ? BF AF ? BF

?

1 1 2 2 4 ? ? ? ? AF BF 3 3 3 ???????????6 分

若直线的斜率存在,设其方程为: y ? k ( x ? 1)

? x2 y2 ? 由 ? 4 ? 3 ? 1 ,可得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? (4k 2 ? 12) ? 0 ? ? y ? k ( x ? 1)

8k 2 4k 2 ? 12 设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,则有 x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? ?????8 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
由于
AF ? BF AF ? BF

=

AB AF ? BF
12(1 ? k 2 ) ??10 分 3 ? 4k 2

而 AB ? 1 ? k 2 x 2 ? x1 ? 1 ? k 2 ( x 2 ? x1 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?
2 AF ? BF = ( x1 ? 1) 2 ? y12 ? ( x 2 ? 1) 2 ? y 2

= ( x1 ? 1) 2 ? k 2 ( x1 ? 1) 2 ? ( x2 ? 1) 2 ? k 2 ( x2 ? 1) 2 = (1 ? k 2 ) x1 ? 1 x 2 ? 1 = (1 ? k 2 ) x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1

9(1 ? k 2 ) = ???????????????????????12 分 3 ? 4k 2
12(1 ? k 2 ) 2 AF ? BF 4 = 3 ? 4k 2 = AF ? BF 9(1 ? k ) 3 3 ? 4k 2

综上所述, AF ? BF ? 即存在实数 ? ?

4 AF ? BF 3

4 ,使得 AF ? BF ? ? AF ? BF 恒成立???????14 分 3

21、 ?1? 解: g ? x ? 的定义域为 (0, ??) 当 a ? 1 时, g ? x ? ? x ? 1 ? 2 ln x , g ? ? x ? ? 1 ? 当 x ? ? 0, 2 ? 时, g ? ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递减 当 x ? ? 2, ?? ? 时, g ? ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递增 综上, g ? x ? 的单调递增区间为 ? 2, ?? ? ,单调递减区间为 ? 0, 2 ? ??????3 分
2 x?2 ?????????1 分 ? x x

? 2 ? 由题意知: ? 2 ? a ?? x ? 1? ? 2 ln x ? 0 ,在 x ? ? ? 0,
?

1? ? 上恒成立 2?

? 1? 即 ? a ? 2 ??1 ? x ? ? 2 ln x 在区间 ? 0, ? 上恒成立 ? 2?

又 1 ? x ? 0 ,? a ? 2 ?

2 ln x ? 1? 在区间 ? 0, ? 上恒成立 1? x ? 2?

??????????4 分

2 2 1 ? x ? ? 2 ln x ? 2 ? 2 ln x ? 2 ln x ? 1? x x ? 设h ? x ? ? 2 ? , x ? ? 0, ? ,则h ? x ? ? ?5 分 ? 2 2 1? x ? 2? ?1 ? x ? ?1 ? x ?
又令 m ? x ? ?
2 2 ?2 ? 2 x 2 ? 1? ? 2 ? 2 ln x, x ? ? 0, ? ,则 m? ? x ? ? ? 2 ? ? x x x2 x ? 2?

??6 分

? 1? ?1? 当 x ? ? 0, ? 时,m? ? x ? ? 0 ,m ? x ? 单调递减,? m ? x ? ? m ? ? ? 4 ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ? 2? ?2? ? 1? 即 h? ? x ? ? 0 在 ? 0, ? 恒成立 ?????????????????????7 分 ? 2?

?1? ? 1? 所以 h ? x ? 在 ? 0, ? 单调递增,? h ? x ? ? h ? ? ? 2 ? ?2? ? 2?

2 ln 1 2

1 2 ? 2 ? 4 ln 2

故 a ? 2 ? 4 ln 2 ,所以实数 a 的最小值 2 ? 4 ln 2 ?????????????8 分

? 3? 证明: k ?
又 x0 ?

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 ???????????????????9 分 ? x2 ? x1 x2 ? x1

x1 ? x2 1 2 ,所以 f ? ? x0 ? ? ? ln x ?? ????????10 分 ? ? 2 x0 x1 ? x2 x ? x0

要证 k ? f ? ? x0 ? 即证

2 ? x2 ? x1 ? ln x2 ? ln x1 2 ,不妨设 0 ? x1 ? x2 ,即证 ln x2 ? ln x1 ? ? x1 ? x2 x2 ? x1 x1 ? x2

?x ? 2 ? 2 ? 1? x x 即证 ln 2 ? ? 1 ? ????????????????????????11 分 x2 x1 ?1 x1
设t ?

2 ? t ? 1? 4 x2 ? 2? ? 1 ,即证: ln t ? t ?1 t ?1 x1

4 ? 2 ? 0 ,其中 t ? ?1, ?? ? ???????????12 分 t ?1 4 事实上:设 k ? t ? ? ln t ? ? 2 ? t ? ?1, ?? ? ? t ?1

也就是要证: ln t ?

? t ? 1? ? 4t ? ? t ? 1? ? 0 ???????????13 分 1 4 则 k ? ?t ? ? ? ? 2 2 2 t ? t ? 1? t ? t ? 1? t ? t ? 1?
2 2

所以 k ? t ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,因此 k ? t ? ? k ?1? ? 0 所以 ln t ?
4 ? 2 ? 0 ???????????14 分 t ?1



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