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江苏省宿迁市2014-2015学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析



江苏省宿迁市 2014-2015 学年高一下学期期中数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. (5 分)不等式 >0 的解集是.
n

2. (5 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2 +1,则 a3=. 3. (5 分)在等比数列{an}中,a2=2,a5=16,则 a6=. 4. (5 分)在△ ABC 中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,则 cosC 的值为. 5. (5 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,a= b=. ,A=45°,B=60°,则

6. (5 分)在等差数列{an}中,a4=7,a8=15,则数列{an}的前 n 项和 Sn=. 7. (5 分)在△ ABC 中,A=60°,AC=3,AB=2,那么 BC 的长度为. 8. (5 分)若关于 x 的不等式 x ﹣ax+2<0 的解集是(1,2) ,则 a=. 9.(5 分)在△ ABC 中,a=2bcosC,则△ ABC 的形状为. 10. (5 分)已知数列{an}是等差数列,且 a2+a5+a8=π,则 sina5=.
2

11. (5 分) 已知等比数列{an}中, 各项都是正数, 且 a1,

成等差数列, 则

=.

12. (5 分)等差数列{an}中,a1=﹣3,11a5=5a8,则其前 n 项和 Sn 的最小值为.

13. (5 分)已知向量 , , 满足 + + = ,且 与 的夹角等于 120°, 与 的夹角等于 15°,| |=3,则| |=.

14. (5 分)数列{an}满足 a1=1,an+1
*

=1,记 Sn=a1 +a2 +…+an ,若 S2n+1﹣Sn≤

2

2

2



任意 n∈N 恒成立,则正整数 m 的最小值是.

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15. (14 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n +2n (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)证明{an}是等差数列. 16. (14 分)在半径为 R 的圆的内接四边形 ABCD 中,AB=2,BC=4,∠ABC=120°, AD+CD=10.求: (Ⅰ)AC 的长及圆的半径 R; (Ⅱ)四边形 ABCD 的面积.
2

17. (14 分)已知等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,其前 n 项和为 Sn,数列{bn}为等比 数列,且 b1=1,b2S2=16,b3S3=60.求: (Ⅰ)数列{an}与{bn}的通项公式; (Ⅱ) + +…+ .

18. (16 分)如图,一船由西向东航行,在 A 处测得某岛 M 的方位角为 α,前进 5km 后到 达 B 处,测得岛 M 的方位角为 β.已知该岛周围 3km 内有暗礁,现该船继续东行. (Ⅰ)若 α=2β=60°,问该船有无触礁危险? (Ⅱ)当 α 与 β 满足什么条件时,该船没有触礁的危险?

19. (16 分)已知二次函数 f(x)=ax +bx+c(a∈N ) ,若不等式 f(x)<2x 的解集为(1, 4) ,且方程 f(x)=x 有两个相等的实数根. (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)若不等式 f(x)>mx 在 x∈(1,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)解不等式 f(x)>mx(m∈R) . 20. (16 分)如图,将一个边长为 1 的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向形外作 正三角形,并擦去中间一段,得图(2) .如此继续下去,得图(3)…,记第 n 个图形的边 长 an、周长为 bn.

2

*

(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ) 若第 n 个图形的面积为 Sn, 试探求 Sn, Sn﹣1, (n≥2) 满足的关系式, 并证明 Sn< .

江苏省宿迁市 2014-2015 学年高一下学期期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. (5 分)不等式 >0 的解集是{x|x>1 或 x<﹣2}.

考点: 其他不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 不等式 集. 解答: 解:不等式 >0 即为 >0 即为 或 ,由一次不等式的解法,即可得到解





解得 x>1 或 x<﹣2. 则解集为{x|x>1 或 x<﹣2}. 故答案为:{x|x>1 或 x<﹣2}. 点评: 本题考查分式不等式的解法, 可以运用符号法则或化为整式不等式, 注意等价变形, 属于基础题. 2. (5 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2 +1,则 a3=4. 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: Sn=2 +1,当 n≥2 时, an=Sn﹣Sn﹣1,化简整理即可得出. n 解答: 解:∵Sn=2 +1,
n n

当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(2 +1)﹣(2 +1) =2 . 3﹣1 则 a3=2 =4. 故答案为:4. 点评: 本题考查了递推式的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 3. (5 分)在等比数列{an}中,a2=2,a5=16,则 a6=32. 考点: 专题: 分析: 解答: 等比数列的通项公式. 等差数列与等比数列. 根据题意和等比数列的通项公式求出公比 q,再由等比数列的通项公式求出 a6. 解:∵在等比数列{an}中,a2=2,a5=16,
3

n

n﹣1

n﹣1

∴公比 q =

=8,则 q=2,

∴a6=a5?q=16×2=32, 故答案为:32. 点评: 本题考查了等比数列的通项公式的应用,属于基础题. 4. (5 分)在△ ABC 中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,则 cosC 的值为﹣ .

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 由正弦定理化简已知的比例式,得到 a,b 及 c 的比值,根据比例设出 a,b 及 c, 再利用余弦定理表示出 cosC,将表示出的三边长代入,即可求出 cosC 的值. 解答: 解:∵在△ ABC 中,sinA:sinB:sinC=3:2:4, ∴根据正弦定理得:a:b:c=3:2:4, 设 a=3k,b=2k,c=4k, 则由余弦定理得 cosC= = =﹣ .

故答案为:﹣ 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及比例的性质,熟练掌握正弦、余弦定理是解本题 的关键. 5. (5 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,a= b= . 考点: 正弦定理. 分析: 由题意和正弦定理直接求出变 b 的值即可. 解答: 解:由题意知,a= ,A=45°,B=60°, ,A=45°,B=60°,则

∴根据正弦定理得:

,则 b=

=

=



故答案为: . 点评: 本题考查正弦定理的应用,属于基础题. 6. ( 5 分)在等差数列{an}中,a4=7,a8=15,则数列{an}的前 n 项和 Sn=n . 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得关于首项和公差的方程组,解之代入求和公式可得. 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d, 则可得 ,解之可得
2 2



故 Sn=
2

=n

故答案为:n 点评: 本题考查等差数列的前 n 项和, 得出数列的首项和公差是解决问题的关键, 属基础 题. 7. (5 分)在△ ABC 中,A=60°,AC=3,AB=2,那么 BC 的长度为 .

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由已知及 余弦定理即可求值. 解答: 解:∵在△ ABC 中,A=60°,AC=3,AB=2, 2 2 2 ∴由余弦定理可得:BC =AC +AB ﹣2AC?AB?cosA=9+4﹣2×3×2×cos60°=7. ∴BC= . 故答案为: . 点评: 本题主要考查了余弦定理的应用,属于基本知识的考查. 8. (5 分)若关于 x 的不等式 x ﹣ax+2<0 的解集是(1,2) ,则 a=3. 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由一元二次方程与不等式关系可知,不 等式解集边界值就是对应的一元二次方程 两根,进而有根与系数关系可以求得 a. 2 解答: 解:不等式 x ﹣ax+2<0 的解集是(1,2) , 2 ∴x ﹣ax+2=0 有两个根 1,2, ∴1+2=a ∴a=3, 故答案为:3.
2

点评: 本题考查了一元二次不等式的解法、 一元二次方程的根与系数的关系, 属于基础题. 9. (5 分)在△ ABC 中,a=2bcosC,则△ ABC 的形状为等腰三角形. 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 先根据题设条件求得 cosC 的表达式,进而利用余弦定理求得 cosC 的另一表达式, 二者相等化简整理求得 b=c,进而判断出三角形为等腰三角形. 解答: 解:∵a=2bcosC, ∴cosC=

∵cosC=



=

,化简整理得 b=c

∴△ABC 为等腰三角形. 故答案为:等腰三角形. 点评: 本题主要考查了解三角形的应用和三角形形状的判断.解题的关键是利用了 cosC 这一桥梁完成了问题的转化,属于中档题.

10. (5 分)已知数列{an}是等差数列,且 a2+a5+a8=π,则 sina5=



考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质化简 a2+a5+a8=π,求出 a5 的值,代入 sina5 求值即可. 解答: 解:由等差数列的性质可得,a2+a5+a8=3a5=π, ∴a5= ,∴sina5= . ,

故答案为:

点评: 本题考查了等差数列的性质的应用,属于基础题.

11. (5 分)已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1,

成等差数列,则

=3+2



考点: 等比数列的性质;等差数列的性质. 专题: 计算题.

分析: 先根据等差中项的性质可知得 2×(
2

)=a1+2a2,进而利用通项公式表示出

q =1+2q,求得 q,然后把所求的式子利用等比数列的通项公式化简后,将 q 的值代入即可 求得答案. 解答: 解:依题意可得 2×( 即,a3=a1+2a2,整理得 q =1+2q, 求得 q=1± , ∵各项都是正数, ∴q>0,q=1+ , ∴ = =q =3+2
2 2

)=a1+2a2,



故答案为:3+2 点评: 本题主要考查了等差数列和等比数列的性质. 考查了学生综合分析的能力和对基础 知识的理解.学生在求出 q 值后应根据等比数列的各项都为正数,舍去不合题意的公比 q 的值. 12. (5 分)等差数列{an}中,a1=﹣3,11a5=5a8,则其前 n 项和 Sn 的最小值为﹣4. 考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 先求出其公差, 代入求出其通项公式; 根据其单调性即可分析出何时有最小值并求 出其最小值. 解答: 解:由 11a5=5a8,得 6a1 +9d=0,又 a1=﹣3,故 d=2. 故 an =﹣3+(n﹣1)2=2n﹣5,故此数列为递增数列. 故等差数列{an}的前 2 项为负数,从第三项开始为正数, 故前 2 项的和最小为﹣3+(﹣1)=﹣4, 故答案为﹣4. 点评: 在等差数列中,当首项为正,公差为负时,其前 n 项和 Sn 有最大值,是所有的正 项相加最大; 当首项为负, 公差为正时, 其前 n 项和 Sn 有最小值, 是所有的负项相加最小.

13. (5 分)已知向量 , , 满足 + + = ,且 与 的夹角等于 120°, 与 的夹角等于 15°,| |=3,则| |= .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 把向量放在三角形中, 根据向量的夹角与三角形的角的关系, 转化为解三角形问题 求解. 解答: 解:∵向量 , , 满足 + + = , ∴令 = , = , = ,

∵ 与 的夹角等于 120°, 与 的夹角等于 15° ∴∠A=180°﹣120°=60°,∠C=180°﹣150°=30°, ∴三角形为直角三角形, =tan30°= ∵|BC|=| |=3, ∴|AB|= , 故答案为: . ,

点评: 本题考查向量在几何中的应用、向量的模,数量积表示两个向量的夹角,解直角三 角形,学生运用画图确定解决问题的方法,属于中档题.

14. (5 分)数列{an}满足 a1=1,an+1
*

=1,记 Sn=a1 +a2 +…+an ,若 S2n+1﹣Sn≤

2

2

2



任意 n∈N 恒成立,则正整数 m 的最小值是 10. 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 数列{an}满足 a1=1,an+1 =1,可得 =4,利用等差数列的通项公

式可得

=

. ﹣ ﹣

作差(S2n+1﹣Sn)﹣(S2n+3﹣Sn+1)=(Sn+1﹣Sn)﹣(S2n+3﹣S2n+1)= = ﹣ ﹣

,即可得出数列{S2n+1﹣Sn}单调性,进而得出. =1,

解答: 解:∵数列{an}满足 a1=1,an+1



=4,

∴数列

是等差数列,首项为 1,公差为 4.







=
2 2


2

∵Sn=a1 +a2 +…+an , ∴(S2n+1﹣Sn)﹣(S2n+3﹣Sn+1)=(Sn+1﹣Sn)﹣(S2n+3﹣S2n+1) = >0, ∴数列{S2n+1﹣Sn}是单调递减数列, ∴数列{S2n+1﹣Sn}的最大项是 S3﹣S1= ∵ ≤ ,∴ . = = . ﹣ ﹣ = ﹣ ﹣ = +

又 m 为正整数, ∴m 的最小值为 10. 故答案为:10. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性,恒成立问题的等价转化方法,考 查了变形能力、推理能力与计算能力,属于中档题. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 2 15. (14 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n +2n (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)证明{an}是等差数列. 考点: 等差关系的确定;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)根据数列项和前 n 项和之间的关系即可求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)根据等差数列的定义进行证明即可. 2 解答: 解: (Ⅰ)∵Sn=n +2n, ∴a1=S1=3, 2 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n +2n﹣=2n+1, 则当 n=1 时,满足 an=2n+1,综上都有 an=2n+1. (Ⅱ)∵an﹣an﹣=2(n+1)+1﹣2n﹣1=2,为常数, ∴{an}是首项为 3,公差为 2 的等差数列. 点评: 本题主要考查等差数列的通项公式的求解和证明,比较基础.

16. (14 分)在半径为 R 的圆的内接四边形 ABCD 中,AB=2,BC=4,∠ABC=120°, AD+CD=10.求: (Ⅰ)AC 的长及圆的半径 R; (Ⅱ)四边形 ABCD 的面积.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)在△ ABC 中,由余弦定理可求 AC 的值,由正弦定理即可得解. (Ⅱ)设 AD=m,CD=n,m+n=10,在△ ACD 中,由余弦定理得 mn=24,则由三角形面积 公式可求 S△ ACD,S△ ABC,从而得解. 解答: 解: (Ⅰ)在△ ABC 中,由余弦定理得: AC= 由正弦定理得:2R= = ,R= …7 分 ,…4 分

(Ⅱ)设 AD=m,CD=n,m+n=10, 在△ ACD 中,由余弦定理得,AC =m +n ﹣mn=(m+n) ﹣3mn 即 28=100﹣3mn,∴mn=24.…11 分 则 S△ ACD= mnsin60°=6 S△ ABC= , ,…13 分
2 2 2 2

…9 分

所以四边形 ABCD 的面积为 8 . …14 分. 点评: 本题主要考查了正弦定理,余弦定理的综合应用,属于基本知识的考查. 17. (14 分)已知等差数列{an }的各项均为正数,a1=3,其前 n 项和为 Sn,数列{bn}为等比 数列,且 b1=1,b2S2=16,b3S3=60.求: (Ⅰ)数列{an}与{bn}的通项公式; (Ⅱ) + +…+ .

考点: 数列的求和;等差数列的 通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出; (Ⅱ)由 Sn=n(n+2) ,可得 = = .利用“裂项求和”即可得出.

解答: 解: (Ⅰ)设等差数 列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q,则 d>0, n﹣1 an=3+(n﹣1)d,bn=q . ∵b2S2=16,b3S3=60. ∴ ,

解得



(舍去) .

故 an=3+2(n﹣1)=2n+1, (Ⅱ)∵Sn= ∴ ∴ = + +…+ = =

. =n(n+2) , . + +…+

=

=



点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“裂项求和”方法, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 18. (16 分)如图,一船由西向东航行,在 A 处测得某岛 M 的方位角为 α,前进 5km 后到 达 B 处,测得岛 M 的方位角为 β.已知该岛周围 3km 内有暗礁,现该船继续东行. (Ⅰ)若 α=2β=60°,问该船有无触礁危险? (Ⅱ)当 α 与 β 满足什么条件时,该船没有触礁的危险?

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题;解三角形. 分析: (Ⅰ)在△ ABM 中可知,AB=BM=5 ,求出 MC 与 3 比较,即可得到结论; (Ⅱ)在△ ABM 中由正弦定理得可得 MC,当且仅当 MC>3 时没有触礁危险. 解答: 解: (Ⅰ)在△ ABM 中可知,AB=BM=5,…4 分 从而 MC=5sin60°= >3,没有触礁危险.…8 分

(Ⅱ)设 CM=x,在△ ABM 中由正弦定理得, 解得 x= 所以当 ,…14 分 >3 时没有触礁危险.…16 分.



点评: 本题考查利用数学知识解决实际问题, 考查学生分析解决问题轭能力, 属于中档题. 19. (16 分)已知二次函数 f(x)=ax +bx+c(a∈N ) ,若不等式 f(x)<2x 的解集为(1, 4) ,且方程 f(x)=x 有两个相等的实数根. (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)若不等式 f(x)>mx 在 x∈(1,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)解不等式 f(x)>mx(m∈R) . 考点: 函数恒成立问题;二次函数的性质;一元二次不等式的解法. 专题: 分类讨论;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)由题意,1,4 是方程 ax +(b﹣2)x+c=0 的两根,且 a>0,运用韦达定理 可得 b,c,再由判别式为 0,可得 b,c,进而得到 f(x)的解析式; 2 (Ⅱ)由题意,不等式 x ﹣(m+3)x+4>0 在 x∈(1,+∞)上恒成立,讨论对称轴和区间 的关系,即可 m 的范围; (Ⅲ)方程 x ﹣(m+3)x+4=0 的判别式△ =(m+3) ﹣16,讨论判别式为 0,大于 0 和小 于 0,即可得到不等式的解集. 解答: 解: (Ⅰ)由题意,1,4 是方程 ax +(b﹣2)x+c=0 的两根,且 a>0, 由韦达定理得,1+4= ,1×4= ,即有 b=2﹣5a,c=4a,
2 2 2 2 2 2 *

因为方程 f(x)=x 有两个相等的实数根,所以(b﹣1) ﹣4ac=0, 消去 b,c 得 a=1 或 (舍去) ,b=﹣3,c=4, 所以 f(x)=x ﹣3x+4; 2 (Ⅱ)由题意,不等式 x ﹣(m+3)x+4>0 在 x∈(1,+∞)上恒成立, 设 g(x)=x ﹣(m+3)x+4 其图象的对称轴方程为 x=
2 2



当 当

>1 即 m>﹣1 时,有 g(

)=

>0,得﹣1<m<1,

≤1 即 m≤﹣1 时,有 g(1)=2﹣m≥0,得 m≤﹣1,

综上,m<1; 2 2 (Ⅲ)方程 x ﹣(m+3)x+4=0 的判别式△ =(m+3) ﹣16, 当△ <0 即﹣7<m<1 时,不等式的解集为 R; 当△ =0 时:m=﹣7 时,不等式的解集为{x|x≠﹣2}; m=1 时,不等式的解集为{x|x≠﹣2}; 当△ >0 即 m<﹣7 或 m>1 时,

不等式的解集为{x|x<

或 x>

}.

点评: 本题考查二次函数、 二次方程和二次不等式的关系, 主要考查二次不等式的解法和 不等式恒成立思想的运用,运用分类讨论的思想方法是解题的关键. 20. (16 分)如图,将一个边长为 1 的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向形外作 正三角形,并擦去中间一段,得图(2) .如此继续下去,得图(3)…,记第 n 个图形的边 长 an、周长为 bn.

(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ) 若第 n 个图形的面积为 Sn, 试探求 Sn, Sn﹣1, (n≥2) 满足的关系式, 并证明 Sn< .

考点: 数列的应用. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)根据图形关系,建立图形边长和周长之间的关系即可求出数列的通项公式. (2)根据归纳推理,求出两个图形的面积之间的关系,结合等比数列的通项公式进行求和 即可得到结论. 解答: 解: (Ⅰ)由题意知,从第 2 个图形起,每一个图形的边长均为上一个图形边长的 所以数列{an}是首项为 1,公比为 的等比数列,则 an=( )
n﹣1



设第 n 个图形的边数为 cn,因为第 1 个图形的边数为 3,从第 2 个图形起,每一个图形的边 n﹣1 数均为上一个图形边数的 4 倍,则 cn=3×4 , 因此,第 n 个图形的周长 bn=an×cn=( ) (Ⅱ)S1=
﹣1

n﹣1

×3×4
2

n﹣1

=3×( )

n﹣1

, × =Sn﹣1+
2

,当 n≥2 时,Sn=Sn﹣1+cn×(

×an )=Sn﹣1+3×4

n﹣2

×

×( )

n

, 则 Sn=S1+(S2﹣S1)+(S3﹣S2)+…+(Sn﹣Sn﹣1) , = + ,

=

+

×



=



×( ) .

n﹣1



∴Sn<

点评: 本题主要考查数列通项公式和前 n 项和公式的应用, 根据归纳推理建立数列的递推 关系是解决本题的关键.综合性较强,属于中档题.



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