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高中数学必修1


高中数学必修 1“函数的应用”教学设计及应用课教学研究
( 第一讲 ) 王尚志:首都师范大学 教授 张思明:北京大学附属中学 特级教师 郭豫:北京第 80 中学 中学高级 赵春:北京大学附属中学 中学高级 张思明:各位老师大家好!欢迎大家继续参加高中数学新课程的远程培训,我们 这一讲的主题是在这个模块当中如何做好函数应用的教学, 首先请允许我介绍一 下到场的嘉宾: 那边那位是我们大家都熟悉的首都师范大学博士生导师王尚志教 授,这边这位是北京八十中的郭豫老师,我身边这位是北大附中的赵春老师,欢 迎三位老师参加我们的讨论。我们今天讨论这个题目,很多老师会说,第一模块 有这么多数学内容, 我们为什么专门要把函数的应用拿出来作为我们一个讨论的 专题,我们首先请王老师为我们解解题。 王尚志:为什么要强调数学应用呢,特别在函数这一部分强调数学的应用呢?我 想有这么几个原因: 一个就是数学应用本身是需要关注的一件事情,我们整个课 程标准对数学应用强调的程度应该是有史以来最大的一次,为什么要做这件事 情,是因为这么几个原因,一个是从上个世纪的中期,数学最大的变化反映在它 的应用, 特别是出现计算机以后,数学应用的领域不仅扩大到科学技术的每一个 方面,而且以非常快的速度深入到人文社会科学的方方面面,也就是说,数学已 经和我们原来所理解的数学发生了很大的变化。 那么我们的数学教育应该把数学 的这种变化反应给我们的学生, 使得我们学生能够了解数学是重要的, 是有用的, 是能用的,是有广泛应用领域的,这样的一种价值观的建立,是我们强调数学应 用的一个基础。 第二个方面就是实践能力, 数学应用帮助我们学生用学到的数学知识去解决一些 实际问题,去分析其他的数学问题来增强他们的实践能力。 第三点应该是创造性的培养。 数学应用应该是为我们的学生培养他们创造能力提 供一个非常好的载体,增强学生们的问题意识是非常重要的。 另外强调数学应用, 我们希望更综合的培养学生的数学能力, 比如说阅读的能力, 比如说分析问题的能力等等。 我最后举一个例子, 就是说应用题和数学题的主要差别在哪?我们传统的数学题 一般条件和结论都规定的非常严格,一般情况下,如果你觉得条件有的多,那你 思路不对,如果你觉得条件不够用,那你做错了,这就是我们传统数学问题。但 是实际中,或者真正做数学题中不可能有这种情况,需要你去做判断,因此我们

数学应用就更加强调背景, 简单的说数学应用问题它的条件要比所需要的条件要 多,需要学生做选择,做判断,我想将来不仅在我们的数学应用问题里会有更多 的背景, 今后在数学题里也会强调他们的背景,这样就需要我们提升学生的综合 能力。我想数学应用的意义和价值还是很多的,我仅说这么几个方面。数学应用 我们强调的是两个方面的应用, 一个是在实际当中的应用, 应用我们学过的数学, 去解决一些简单的实际问题。 另外一个应用,或者说我们在函数里更关注的一个 应用,就是用函数去认识其他的数学,去认识方程,去认识不等式,去认识随机 现象,去认识其他方方面面的数学,因为函数是贯穿我们数学的一条主线。所以 这是非常重要的一件事情,我们也希望这两个方面给大家做一个介绍。 张思明:王老师讲了一下我们学应用的使用价值和他的教学思想,从根儿上,或 者是从基本点告诉我们他的价值。下面我们想结合老师们提出的问题,我们第一 模块里函数是一条主线,也是我们主要内容,那么函数在数学内部的应用,我们 请 郭豫 老师就这个话题来介绍一个教学设计。 郭豫:各位老师好,我介绍的这个课题是用二分法求方程的近似解,我下面说一 下我这节课主要的教学设计和想法,用二分法就方程近似解,主要是在教学设计 的时候, 关注以下几点。 第一就是有关教学准备方面, 第二就是具体的教学设计, 第三是教学实践,第四教学反思。我先说第一条教学准备。 第一点,数学分析。二分法是普通高中数学课程新增的内容之一,增加这部分的 内容主要目的: 一是加强函数与方程的联系;二是是用二分法求方程近似解这部 分的内容,较好的体现了算法的思想,就整个中学数学课程而言,学生主要学习 一元一次方程,一元二次方程,以及二元一次方程组,三元一次方程组,及其解 法,或可化为上述方程组的其他方程,如分式方程,无理方程的解法。对于一元 一次方程,我们可以通过去分母,去括号,移项,合并同类项等程序化的步骤, 转化称 X=a 的形式, 对一些特殊形式的一元二次方程有一些特殊的解法,如提取 公因式法,十字相乘法等等,但是对于一般的一元二次方程,aX2+bX+c=0,其中 a 非 0 有通法,如公式法,他可以给出任意一元二次方程的一般解,这个一般解 便是我们所说的方程的精确解,然而在自然科学,工程技术,经济医学以及其他 领域当中产生许多实际问题中的方程,既不可能,也不现实。求一般解,实际上 考虑实际问题的需要, 也没有必要去就求,这时候寻求方程近似解的方法应运而 生。 作为算法体系当中求方程近似解的一种重要方法,二分法,它是解非线性方程 f(x)=0 的一种直观而又简单的算法,学生非常容易理解。二分法本质上说,是 一种区间迭代的数值算法,它的前提是如果函数 y=f(x),再在区间 a 到 b 上的 图象是连续不断的曲线, 并且端点值 f(a)×f(b)<0,那么函数 f(x)在(a,b)内至 少有一个零点,至少存在一点 c,c 就是方程 f(x)=0 的根,具体的计算步骤是不 断缩小区间的长短,使区间中点逐步逼近根的精确值,周而复始,不断二分以缩 小区间的长度, 理论上这一过程可以无限进行下去, 如同古代 《墨经》 所说的“一 尺之棰,日取其半,万世不竭。”但是实际上,只需要满足某种精确度的要求的 近似解,进行有限步,便可终止。

由于这种方法直观又简单, 学生对它的理解不会有任何问题,但是在教学当中需 要注意的问题依然不少。 本节课在方程根与函数的零点之后,用二分法求方程近 似解的起始课, 前面一节当中学生已经掌握了零点存在定理,并在此基础之上得 知函数在区间 (2, 3) 内有零点, 本节课就是要解决的问题是如何找出这个零点, 具体的对策能够将零点所在的范围尽量缩小,在一定精确度的要求下,便可以得 到零点的近似值,而这种逐步缩小零点范围的具体办法就是二分法。 一、 基本定位和重点分析。 基本定位就是通过具体的实例理解二分法的概念及其 使用条件, 了解二分法是求方程近似解的常用方法,从中体会函数思想在方程求 解问题当中的应用。 让学生能够初步了解无限定义的思想,理解二分法求方程近 似解的算法原理,为后面算法的学习做好铺垫。 鼓励学生大胆探索,激发学生学习数学的兴趣,体会数学中无限逼近的过程,感 受精确与近似的相对统一。 二、教学重点就是通过二分法求相应方程的近似解。难点有这么几点,(1)二分 法的算法原理,(2)精确度的问题,(3)无限逼近思想。 三、学情分析。学生的认知困难主要有两个方面:(1)对二分法的理论依据,二 分法定义的理解;(2)对无限逼近思想的理解。 下面我来介绍一下第四点、教学设计。 1、创设情景,导出课题。在这一环节当中,首先由教师给出某物品价格所在的 大致区间,如 50 到 100 元,并把这一区间画在数轴上,然后让学生猜出这一物 品的价格, 并且将学生每次猜出的价格画在数轴上,最后引导学生归纳出在猜价 格的过程当中, 每一次所猜的价格都将上一次的价格所在的区间分两个部分,并 且离随着猜价格次数的增多,价格所在的区间被逐渐缩小。如果无限猜下去,所 在价格就会无限的逼近真正价格。事实上,从数轴上可以清楚的看出,价格所在 的区间(50,100),那么他真包含了第一次猜出价格后得到的第二个区间,周 而复始进行下去。 在此基础上引入我们这节课就要用类似的办法,即二分法求方 程的近似解。 2、引导探究,获得新知。问题是如何求方程 lnX+2X-6=0 的近似解,精确度为 0.01,这个方程是非线性方程,我们无法用求根公式来求解,但是通过上节课的 学习, 同学们知道求方程解的问题可以找出函数零点的问题等同起来,如果构造 函数 f(x)= lnX+2X-6,我们已经知道函数 f(x)零点所在的大致区间为(2,3),那 么这节课的任务便是如何在开区间找出零点。问题提出后,学生自然把这一问题 和前面猜价格的问题联系起来, 提出取中点将区间分为两部分,然后求出中点函 数值,将端点的函数值进行比较,根据零点存在定理,零点便在函数值异号的区 间中,这样周而复始不断的分下去,零点便会被无限逼近,由几何直观学生可以 很好的理解通过二分零点被无限逼近取中点,然后算函数值,然后再取中点。 但是在这个环节当中还要引导学生思考几个问题:

1,分法有许多种,比如二等分,三等分,黄金分割等等,为什么一定要二分? 从图形上看,二分具有对称性,从数字上看二分也具有对称性,这样的分法非常 简单,而且在实际操作当中比较便利,算法执行起来非常有效,另外也符合人们 的习惯。 2、从理论上讲,二分可以无限的进行下去,但是实际操作中需要有限度,那么 分到为止的标准是什么,就需要看精确度的要求,从而引出精确度的概念,在这 个过程当中,引导学生不断归纳完善定义,初步体会二分法无限逼近的思想,以 及程序化的算法。 这一部分的教学实践可以请老师们参看教学实录片断。 五、教学反思。二分法求方程近似解需要注意的问题,刚才课程当中提到了,就 是第一个分法有许多种, 为什么要对区间二分, 分法多种多样, 二等分, 三等分, 黄金分割,二分是最简单的一种,从图形上看也是对称的,算法执行起来非常有 效,另外它非常符合人们的习惯。 1,怎样逼近,在二分法当中由于不断取中点,所以区间不断缩小,区间的两个 端点始终是变化的, 中点的变化促使区间的变化, 区间的变化又是区间中点变化, 上一个区间中点不断成为下一个区间的端点,所以这种逼近是通过不断缩小区 间,使区间的中点逐渐逼近根的精确值,从理论上来说,这是一个极限过程,但 是在实践过程当中,只能求得某种精确度的近似值。 2,精确度与精确到的问题,由于计算数是有限的,离散的,具有一定的分布规 律,而数学上常用的实数系具有无限性,连续性等特点,因此用二分法求方程的 近似解的过程当中必然出现误差,又由于计算机运算过程是有限的,所以对于近 似解必须给出一定的精确度,使得计算机在某种精确度下终止运算。 精确度与方程精确解和近似解差的绝对值有关,如果这个绝对值小于某个数值, 那么这个数值就是精确度。 那么精确到是在能够求得准确值的前提下,对准确值 的一种近似,它与有效数字形影不离。 3,为什么可以用端点的值表示方程的近似解,实际上对于 an 到 bn 这个区间方 程的解 x*,由绝对值的意义,无论是 X*与 an 的距离,还是与 bn 的距离,都小 于区间(an,bn)的长度,而区间(an,bn)的长度小于 ,这是精确度。所以把端

点 an 或 bn 作为方程的近似解,都符合精确度的要求。 以上就是我在做这节课的过程当中的几点想法,希望大家可以指正,谢谢大家。 张思明:王老师,您从数学上看一看,就是这样把函数的思想用在求方程的根, 是不是体现了一种数学应用的想法。 王尚志:我对郭老师前面做的分析做一点补充,我们用函数去讨论问题的时候, 一个很重要的想法, 是希望用函数所谓整体性,比如我们一般说 B 区间连续函数

反应的是一个整体性质,用这个整体性质去讨论它的局部性质,比如方程的根, 就是这个函数诱导出来方程的根,通常我们这么说,这个根是一个局部性质,我 们怎么样用整体性质, 就是闭区间的连续性去讨论它的局部性质,这在我们数学 里是一个非常重要的一种办法。 比如我们在分析里, 除了教给学生有二分法之外, 就是在这个前提下,就是说 在闭区间是连续的,比如在开区间是可导入的,两 个端点的函数值符号不同, 那么如果再加上可导, 我们就可以得到另外一种办法, 叫牛顿切线法,如果我们还再增加条件,具有二阶导数,我们还可以找一个割线 法。 随着函数越来越好, 我们得到的方法也越来越好,所谓越来越好就是说逼近的速 度越来越快,我们把这些讨论都看作是用函数的整体性质去讨论函数的局部性 质, 这是我们函数应用的一个非常重要的指导思想。在这郭老师有了一个非常好 的展示。 我想再请郭老师能够关注另外一个方面, 就是怎么样在我们的教学当中, 把学生的积极性激发起来, 可能这部分内容应该在教学设计当中有所体现。因为 这是非常重要的一个环节,因为我们毕竟教的是学生,一切好不好,不在于我们 的理解是不是到位,这是起码的,我们必须要让我们的理解到位。那么怎么样把 你班上的学生激发起来, 和你一起来理解和学习这样一个新的方法,我觉得这件 事情如果能够融在你的教学设计当中就会更丰富一些, 更何况你就需要对你的学 生进行比较深入的分析,怎么激励起你的学生,如果这样做,我想这个教学设计 会更完整一点。 张思明:郭老师的录像有一个全课的实录,老师们也可以看看。郭老师在课堂上 组织了不少学生活动,但是作为教学设计,王老师提了希望,就是在教学里也要 表现出一条主线,就是学生做了什么,我们在设计活动的时候,尽量把学生的活 动能够看出来,我们希望学生在哪些地方参与,特别是函数的应用。 下面我们再说另外一件事情, 课本里除了有用函数思想来解决像方程函数这样的 关系以外, 还有一些例题表现函数比如说在物理, 考古等很多方面应用, 这些 方 面 老师们也有很大的开拓空间,下面我们就请北大附中的赵春老师,把她函数 应用的一些设计思想,想法,怎么让学生参与的这些设计给大家做一个介绍。 赵春:各位老师你们好,我是北大附中的数学老师赵春,下面根据我对函数应用 这一部分编写的教案,把我对本次课的教学目的,过程方法,工具等方面的简单 认识做一个说明。 一,关于教学目的的确定,函数是代数体系当中很重要的一个概念,有了函数, 数学进入了变量教学, 函数应用是函数教学一个非常重要的部分,他对加强学生 对函数的整体理解,培养理论联系实际的意识有很大帮助。通过阅读审题,将文 字信息加以提炼,转换成数学问题,是函数应用这部分传统的难点,考虑到这不 是通过课上传授就能够使学生掌握,是需要一个过程的。所以试图通过这次课激 发学生对函数应用和建模的兴趣,让学生在课下能主动利用相关知识实践,因此 设定教学目标如下: 1,以一至两个具体的应用出发,初步了解函数模型的广泛应用。

2,体会不同函数类型增长的速度差异。 3,让学生体会到数和形在函数表示和研究上的应用。 二,关于教学过程的设计。为了达到以上教学目的,根据北大附中教学传统,把 这次课连排两节,在具体教学当中,我把教学过程分为四段。1,实例引入,2, 概念辨析,3,物理中的应用,4,实际建模。下面我将对每一阶段教学中设计目 的和教学步骤做出说明。 第一阶段实例引入阶段, 由于通常形式的应用是处理应用题,所以学生表现出来 的兴趣不足,为了激发学生的兴趣,也为了和通常形式应用的衔接,我选择从一 个函数在密码中的应用入手, 领着学生来猜谜。这个谜语的引入和答案都和一本 畅销书《达芬奇密码》有关,比较容易使学生产生亲切感和认同感。具体处理这 个应用问题时涉及到三个映射,一个是字母到数字的映射,一个是函数关系,还 有一个数字到字母的映射, 其中第二个映射关系作为函数是需要特别关注的,可 以从不同的角度来分析这个函数。 一它是一个分段函数, 二它也是一个一一映射, 其次他的定义域和值域都相等,均为 1,2,3,一直到 26 这些整数,这个完了 以后会有一个相应的课后作业, 改造密码,通过这项作业让学生对函数有一个更 为感性的认识。 第二阶段是概念辨析的阶段。这个阶段的主要任务是组织学生寻找生活中的函 数, 并说明确实是函数关系, 设置目的有两个, 一是加深学生对函数概念的理解, 二是为后期在课下实际操作函数建模做准备。事先布置作业,让学生寻找生活当 中的函数, 学生对生活当中的函数可能有两个误区, 一个是认为身边的函数太少, 翻来覆去举书上已经给过的实例,二是走入另外一个极端,认为身边但凡两个变 量性的关系,就能成为函数关系。鉴于此,首先让学生展示自己的成果,要求发 言的学生在他找到的实例当中,明确指出自变量和因变量,不加任何评论,把实 例写在黑板上,然后组织学生辨析这些例子中的变量性的关系是否是函数关系, 这部分因为是形式比较开放, 所以容易出现不可控的情况,也可以教师先从作业 当中挑选出一些例子,然后课上组织学生辨析。 第三个阶段是物理中的应用阶段,这是一个承上启下的部分,从牛顿名著的前言 入手, 引入经典物理的发展和数学应用的发展是密不可分的。从伽利略观察到的 单摆运动,到(开铺乐)通过大量数据计算总结出天体运动三定律,都是应用函 数处理数据的经典案例。 并让学生回忆实验验证自由落体运动公式时对数据的处 理手法, 由此过渡到下面实际处理数据建立模型的阶段教学,通过这段内容可以 让学生对数学在自然科学中的地位以及应用有一个更为深刻的了解。 第四段是实际建模的阶段, 这个部分打算通过一个例题的处理过程,初步展示数 学建模的大致面貌。PPT 打出例题,例题包含两个以支持函数关系的变量,以及 当自变量分别取 1,2,3,4 时,因变量的取值,需要通过这四组数据,估计当 自变量为 5 时因变量的取值。这个问题数据个数较少,便于计算处理。计算的简 便可以使关注集中在思路和处理方法上。首先明确方向,及需将这四组数据满足 的函数关系式,y=f(x)找出来,再通过关系式求出 f(5)。先画出散点图,可以 设想函数关系式可能是任何一种学过的函数类型,包括一次函数,二次函数,幂

函数型,指数函数型,以及对数函数型,基于使数据的平均误差最小的原则可以 比较这些函数类型,寻找相对优解,对程度一般的班级可以比较一次函数 f(x)=kx+b,二次函数即 f(x)=ax2+bx+c,其中 a 不等于零,幂函数 h(x)=xb,指 数函数 l(x)=bx 和对数函数 t(x)=㏒ aX,或者其中几个,利用待定系数法,算出 相应的函数解析式,然后通过误差比较得到比较优的解。 对于程度较好的班级, 可以考虑:一是能否通过观察散点图得到一些关于函数的 信息, 初步判断更有可能是哪种函数类型;二是若一个函数的图象与幂函数图象 形式能否写出相应的解析式, 可以利用平移这种图象变换来介绍解析式之间的联 系。同理考虑指数函数与对数函数,通过对解析式加参数,把某些函数的内涵进 一步扩大,可以有更多的函数参与讨论。建议对比如指数函数的解析式,先加一 个参数,变成 l(x)=bx+c,再变化到 l ' (x)=abx+c,对于程度再好的一些班级 可以在此基础上继续考虑: 一是扩大函数类似的外延,是否一定是与我们学过的 函数类似,二是判断函数模型好坏的标准,是否只能是平均误差最小。在这个过 程当中,学生自己会提出各种各样的问题,比如说,既然知道了变量间是函数关 系,为什么又会有误差,有误差还能算是函数关系吗?可以和学生说,我们只是 利用我们学过的有限的函数知识来大致的模拟变量满足的确切函数关系, 而并不 是说,我求出来的就是函数关系。 再有学生还有可能问, 我能找到一个满足这四组数据的函数,比如一个三次函数 来实现零误差,那可以和学生解释,这个想法很好,很有价值,对于我们所说的 误差最小的标准很适用,但是我们也可以这样考虑,四组数据是三次函数,那假 如再获得一个数据, 模型不变就产生了误差,并不见得这个误差会比别的模型产 生的误差小,建议在建立模型的时候,不要把所有的信息都用于估计,留出至少 一个数据点用于检验比较合适。 在上面的例题结束以后,跟进一个相应的思考题结束此次课。 三,关于教学用具的说明,使用 PPT 的出发点,一是让文字呈现的部分更快,二 是在物理中的应用通过文字形式呈现更正式, 总之, 恰当的使用现代化教学手段, 充分发挥其快捷生动形象的辅助作用, 最大限度的使学生获得并掌握所学知识是 我的目的。通过这部分的教学,初步实现了从实际到数学,建立数学模型,回到 实际检验的这样一个转换, 让学生体会到建模是一个不断完善的过程。 谢谢大家! 张思明: 赵春老师给我们展现了她和她们的备课组设计数学应用的思想,在这个 过程当中,她从学生已有的实际出发,最后带着学生实际做了一个估值预测,把 这些东西都做进去了,那么王老师对于这个设计有什么评论。 王尚志: 我觉得赵老师这个设计还是非常好的,因为我们数学的应用要设计一个 受学生欢迎的课很不容易, 就我了解无论是郭老师的课,还是赵老师的课都很受 学生欢迎,也就是说在他们设计的过程当中,充分考虑到了学生的感受。 那么 赵老师在考虑的过程当中搞的很细致, 把学生可能出现的问题都在你的设计当中 加以考虑了,当然可能学生也不一定这么考虑,也可能还有别的招,那么我们不 断的积累,将来我们就可以让我们的课更受学生的欢迎。

另外第二点印象非常深的,就是学生的参与,他在整个课的过程当中,始终关注 让学生来参与到这个过程里,我想特别是应用,一定要让学生参与,他才真正体 会到数学在物理当中的应用, 数学在实际生活中的应用,你要给他一个思考的空 间跟你一块来交流互动, 比如他在最后那个, 提供三个函数值, 用哪一个比较好, 什么才叫好, 我们都给出了一些解释,我觉得这样学生在他将来碰到类似的问题 增加一些经验,我总体感觉赵老师的设计是一个相当成功的设计。 有这么几件事建议我们老师在设计应用课程中要考虑的一个问题, 一个就是真正 的实际和我们的教学中间的一个差距,因为我们常常希望能够有一个真实的情 景, 但是我们真实的情景一般比较复杂,因此在我们所谓把一个实际情景变成一 个教学情景需要做适度的加工, 这个加工要做的比较自然,让学生能够感觉需要 有这么一个抽象的过程, 另外接受你这样一个抽象的过程,这个可能是我们在数 学教学当中,不仅是中学,大学也是一样,因为我们今后的大学生也不可能完全 解决一个实际问题, 因为我们毕竟是在做教育。所以我们需要有一定程度的从实 际情景到教育情景的一个加工过程,这个恐怕是需要关注到的。 再有一个,我想就是信息技术的使用,可能也是我们需要关注的一个。我看了很 多学生, 我感觉学生在这方面的潜能可能要超出我们老师的,他们玩儿这个比我 们玩儿的要好,所以可以放放手,没有必要弄的特别拘谨,甚至我们可以把问题 提的更开一点,让学生动手去做。比如有时候我看到很多做模拟,他模拟的依据 远比我们数学的依据要丰富, 他要查很多的背景材料,比如人口要查这些年代的 人口政策, 而不仅仅是看你这个冷冰冰的数据, 所以我想我们在应用的过程当中, 足够的尊重我们的孩子,尊重他们的创造力,要给他们提供一个空间,允许他们 表达他们的想法, 或许我们老师能够得到我们意想不到的教学结果。所以我觉得 他们二位的设计还是挺好的。 张思明:我也想谈谈这个想法,因为我觉得两位老师做数学应用,这本身我也特 别感兴趣,但是我想在做应用课的时候,防止一种情况,就是老师觉得这个课不 好讲,干脆就讲两道应用题,把这个课又变成了一个讲解训练课,然后再给学生 进行模拟,刚才我们看到郭老师、赵老师的设计里,她们非常重视学生在这个过 程当中要参与,同时要尊重学生参与的程度,都要有一个设计。我看过赵老师的 一些应用课的答辩环节, 学生自己提出的很多,就是他们所谓找出的真实函数有 很多是有问题的, 比如一个学生提到的就是身高和体重希望找到一个关系,他认 为找的是函数关系; 还有一个同学提出看电视的时间和考试成绩,他认为看电视 时间长,成绩就不好;还有一个同学的考虑,就是在老师的不同位置,就是他看 字的清晰,他都提了很多,不是没有道理,但是不是找到一个我们说的那种确定 性的函数,他可能两个变量之间的关系。但是我们看到赵老师在这种课上,包括 整个高一备课组都有一个很重要的思想,就是先承认学生在找一个数学关系,找 的好不好不要先否定学生,然后让学生提出这个关系以后变成进一步的思考题, 刚才赵老师设计就提到了,那你说谁是自变量,谁是因变量,他们之间关系的确 定性在哪,然后再往后,通过进一步的学习,慢慢学了统计,我们用特征值来把 函数关系说的更清楚一点, 或者将来我们用统计的思想来对这个数据之间的关系 是什么程度上的函数关系做一个进一步的描述,我想在这个过程当中,老师要给 学生思考的空间,但是不回避数学上的思考。还有一种,就是让学生做了很多, 但是我们通过这个学习让学生知道数学有用, 能用, 可用, 激发他们的学习兴趣,

把他们有的那些知识尽可能多的去用,比如有一些问题不能解决了,就进一步主 动去学习,这个过程也应该在设计当中去思考。 像我们高二年级做的一个应用,就是做了奥运会的排行榜,在这个过程当中,我 们希望他理解有函数统计量的关系,学生们搜集的很多排行榜,最后我们核心要 提的问题就是这些排行榜里用了哪些数学知识,用到了哪些统计量,这样学生就 会知道像中国的排行榜以金牌第一,像美国的排行榜是奖牌总数,还有的像牙买 加以人均,还有英国提出增幅,今年比去年增加了,原来是多少块,今年增加的 百分之百都不止。 这些排行榜告诉我们数据中有信息,信息可以有不同的方式挖 掘, 这个过程使学生最后要提炼到对数据的一种认识,用不同的统计量可以体量 出不同的结果, 我想这也是我们做应用教学注意的地方,通过学生做这件事情对 数学的认识有更好的理解,我想这也是我们应该努力的一个方向。

王尚志: 激发学生的兴趣我觉得是应用课非常重要的一个效果,好不好看学生有 没有兴趣,这是衡量一个课是不是很好的标准。当学生的学习状态,对数学的认 识,对数学的兴趣发生一点点的变化,他将直接会影响学生的学习效果,所以我 们也希望老师共同来探索如何在我们应用课,当然也包括我们的数学课里,让学 生喜欢一点,让学生喜欢我们的课,喜欢数学,那么这样才有可能使数学在他们 将来的发展中帮上忙。 张思明:我觉得从赵老师的课里还有一个值得思考的问题,包括郭老师的课里, 就是我们数学老师有的时候不要把眼光紧盯着在我们的数学上, 像赵老师开发了 数学和物理的应用,让学生通过测量重力加速度的过程来提炼二此函数的性质。 像郭老师在做的过程当中,逼学生去使用信息技术,用图形计算器也好,用软件 也好来解决这个问题,我想在这里也有一个努力的方向。王老师,您觉得对于未 来的老师, 作为一个数学老师, 怎么解决好这个数学和其他学科应用链接这样的 问题。 王尚志:我们这也给各个学校的领导提一点建议,就是不同的学科,比如说数学 与物理,数学与化学,数学与生物,甚至数学与语文之间我们能有一点交往。比 如我们知道数学一个非常重要的应用,在化学里是门捷列夫周期表,门捷列夫是 用了数学的思维, 根据他们所发现的知识概括出了一个门捷列夫周期表,所以在 这个过程当中, 它是一个实验科学和我们通常数学思维一个非常完美的结合。化 学老师有化学老师的教法, 数学老师有数学老师的理解,如果就这些问题我们组 织不同学科之间的交流,我想无论是对数学老师,还是对化学老师,都会有很好 的帮助。因为我们教学生是希望提高学生的综合能力,不仅仅是数学能力,所以 这是我的一个建议。 第二个建议, 我们数学老师本身应该把知识面扩展一点,我记得我在读中学的时 候,我们老师在数学课上给我们讲过很多数学,甚至数学以外的东西,这些东西 在我们的脑子里, 甚至都是受益终生的。郭老师所在的学校曾经有一个叫那学名 的老师,他就是我的数学老师,给我们讲过很多像维纳的成长过程,维纳所创造 出来的控制论,控制论和医学,和其他科学之间的联系,都是在他的课上有意无

意的讲给我们听, 使我们这批学生不仅受到数学的熏陶,也能够受到一种综合的 熏陶, 所以我建议我们的数学老师大气一点,数学老师应该多学一点其他学科的 知识。比如说数学老师应该明白交流电怎么讲,交流电和我们数学有什么联系, 物理怎么讲力的分析, 和我们讲向量的分析有什么差异,我们是否可以互相借鉴 等等,我觉得数学老师是需要提升自己的综合能力,眼界开拓一点。 另外一个充实自己的,就是应用。多读一点书,多了解一点学生做过的论文,这 样来充实自己,你才能给学生非常有效的指导,你太知道学生强在哪。比如刚才 说的学生信息技术能力很强,如果你了解,就让孩子去发展,我们虚心向他学, 你看学生是喜欢你还是看不起你,完全不一样的。那么对 于我们 老师能够广泛 的涉猎一些知识, 当然也包括社会科学的一些知识,比如现在我们学生做的论文 里有很多涉及到人文社会科学的知识,一旦我们知道一点,或者和学生一块学一 点,我觉得也是非常重要的事情。 第三个建议, 就是我们赵老师这个课实际上是一个集体的结晶,郭老师的课也是 八十中集体的结晶,所以我想形成一个团队,大家互相交流,互相贡献自己的想 法和智慧,那我们的课就会上的越来越丰富。我想过去我们用的是师傅带徒弟, 这是一种很重要的模式,现在增加了所谓校本教研活动,大家一起来研讨,怎么 样使我们的课让学生欢迎, 怎么样使我们的课具有更大的吸引力等等,多一些人 来思考, 我想它的效果就会更好一些。我觉得他们这些做法都是值得我们老师参 考的, 希望我们的老师在数学应用方面能够作出更多更好的课供我们大家一起来 分析, 如果大家有什么好的课可以给我们发过来, 我会把它加在我们的资源包里, 让更多的老师一起分享你们的经验。 张思明:我也想提一条建议,就是数学的应用或者是函数的应用,它跟以前的教 学可以做的很开放的地方, 就是发挥每一个同学自己特长的知识领域,我们说中 国教育里缺少的一点,就是个性,我们过去教学总是希望老师讲一个题,大家都 学一个题,老师要求做一个,大家都做一个题,而我们在函数应用这一块,像北 大附中实验了一下网上的学习, 在这个过程当中,把寻找一个真实的函数模型做 成一个开放的,让大家都去做这个过程,结果我看了看北大附中高一,490 几个 学生做了 120 几个题目,而且各个都是不一样的。在这个过程当中,我还看到了 很多学生的特长得到了发挥,比如乐团的学生,比如说交响乐,它的音乐变化是 什么样的,各种器乐它的频带是什么样的,这个是他的特长。另外,还有喜爱文 科的,喜爱电脑的,游戏中的数学,还有同学专门去考虑键盘手机这样的一些频 率的关系, 很多学生特长的东西就表现出来了。我们过去总希望每一个孩子用一 种方式,一种学习的模式,一种问题引导,比如我们考卷都是这样的,不管你喜 欢不喜欢都得作这个问题。 而在这个应用的过程当中给孩子们创设了展示他们个 性和特殊能力的一种平台, 虽然 A 的论文和 B 的论文写的不是一件事情,但是在 他们的交流过程当中, 我特别看到他们最后解题的过程,每个孩子都从别人的结 果当中学到了很多, 特别有一些志向是文科的学生,也提出了语言的经济学描述 等等,很多很多新的问题都提出来了,所以我们想把眼光看的更远一点,把培养 学生的特长, 甚至他的终生发展作为教学目标的时候渗透这种思想,我们平时写 的这种教学目标总要有一个情感态度价值观,而这个地方我觉得是特别好的落 实,让学生有一个目标,让学习发展个性和特长,所以如果有可能的话,在我们 今后的函数应用的设计当中,注意发挥学生的这种特长。

王尚志: 实际评价也在发生变化, 比如南开大学陈省身实验班曾经考过一个题目, 就是在一个直角坐标系当中,他画了一个函数图象,先是沿着直线单调上升,然 后平行 X 轴,然后再单调下降,让学生找五个背景不同的实际情景,学生做的就 不太好。如果我们采取这样的教学方式,我想五个十个也找的出来,所以我想我 们活一点,高抬贵手,放学生 一码 ,或许你的学生给你更大的惊喜。
张思明:好,在我们这节课里就函数应用的教学为老师提供了两个例子,做了一个初步的探 讨,我想我们期待有更多的老师来交流提供您的经验,在下一节课上我们将对数学建模,就 是函数应用的一种特殊形式做进一步的介绍, 希望老师们继续参与我们的讨论, 这节课就上 到这,谢谢大家!


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