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高二数学周练(14)试卷及答案



新世界中英文学校高二数学周练(14)
椭圆
一、选择题 (本题每小题 5 分,共 35 分)

x2 y 2 1 . (2013 年高考四川卷(文) )从椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1 , A a b
是椭圆与 x 轴正半轴的交点, B 是椭圆与 y 轴正半轴的交

点,且 AB / / OP ( O 是坐标原点),则该椭圆的 离心率是 A. ( B. )

2 4

1 2

C.

2 2

D.

3 2
1 ,则 C 的方程是 2

2 . (2 013 年高考广东卷(文) )已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1, 0) ,离心率等于

A.

x2 y2 ? ?1 3 4

B.

x2 y2 ? ?1 4 3

C.

x2 y2 ? ?1 4 2

D.

x2 y2 ? ?1 4 3

3 . (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) )设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , P 是 C 上的点 a 2 b2
( )

PF2 ? F1F2 , ?PF1F2 ? 30? ,则 C 的离心率为
A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 到引用源。 D.错误!未找到引用源。
4. (2013 年高考大纲卷(文) )

C.错误!未找

已知 F 且 AB ? 3, 的两个焦点, 过F2且垂直于x轴的直线交于 A、B两点, 1 ? ?1,0? , F 2 ?1,0? 是椭圆C 则 C 的方程为 A. ( B. )

x2 ? y2 ? 1 2

x2 y 2 ? ?1 3 2

C.

x2 y 2 ? ?1 4 3

D.

x2 y 2 ? ?1 5 4

x2 y 2 5 . ( 2013 年 高 考 辽 宁 卷 ( 文 )) 已 知 椭 圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 左 焦 点 为 a b

F , C与过原点的直线相交于 A, B 两点 , 连接了 AF , BF , 若 AB ? 10, B F ? 8, cos ? ABF ?
C 的离心率为 3 A. 5
( B. )

4 ,则 5

5 7

C.

4 5

D.

6 7
( )

6. (2013 年高考安徽(文) )直线 x ? 2 y ? 5 ?

5 ? 0 被圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦长为
1 / 11

A.1

B.2

C .4 x 4
2 2

D. 4 6 ( )

7. (2013 年高考浙江卷(文) )如图 F1.F2 是椭圆 C1: +y =1 与双曲线 C2 的公共焦点

A.B 分别是 C1.C2 在第二.四象限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是

(第 7 题图)

( 3 C. 2 6 2



A. 2

B. 3

D.

二、填空题(本题每小题 5 分,共 25 分)

8. (2013 年高考陕西卷(文) )双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为________. 16 9

9. (2013 年高考湖南(文) )设 F1,F2 是双曲线 C,

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点.若在 C 上存在一点 P.使 a 2 b2

PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为___________.

x2 y 2 ? ? 1的左焦点, P, Q 为 C 上的点,若 PQ 的长等于 10. (2013 年高考辽宁卷(文) )已知 F 为双曲线 C : 9 16
虚轴长的 2 倍,点 A ? 5,0 ? 在线段 PQ 上,则 ?PQF 的周长为____________.

11 . ( 2013 年 上 海 高 考 数 学 试 题 ( 文 科 ) )设

AB 是 椭 圆 ? 的 长 轴 , 点 C 在 ? 上 , 且 y ? 3( x ? c) . 若

AB ? 4 , BC ? 2 ,则 ? 的两个焦点之间的距离为_______.

12. (2013 年高考福建卷(文) )椭圆 ? :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,焦距为 2c .若直 a2 b2

线 y ? 3( x ? c) 与椭圆 ? 的一个交点 M 满足 ?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 ,则该椭圆的离心率等于_______

三、解答题(本题每小题 15 分,共 90 分)
2 / 11

13. (2013 年高考山东卷(文) )在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,短轴长

为 2,离心率为

2 2

(I)求椭圆 C 的方程

(II)A,B 为椭圆 C 上满足 ?AOB 的面积为 设 OP ? tOE ,求实数 t 的值.

6 的任意两点,E 为线段 AB 的中点,射线 OE 交椭圆 C 与点 P, 4

x2 14. (2013 年高考北京卷(文) )直线 y ? kx ? m ( m ? 0 ) W : ? y 2 ? 1 相交于 A , C 两点, O 是坐标原点 4
(1)当点 B 的坐标为 (0,1) ,且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的长. (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明四边形 OABC 不可能为菱形.

15. (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) )已知圆 M

: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ,圆 N : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9 ,动圆 P 与圆 M 外切并

且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C . (Ⅰ)求 C 的方程;
[来源:学#科#网]

(Ⅱ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A , B 两点,当圆 P 的半径最长时,求 | AB | .

16. (2013 年高考陕西卷(文) )已知动点 M(x,y)到直线 l:x = 4 的距离是它 到点 N(1,0)的距离的 2 倍.

(Ⅰ) 求动点 M 的轨迹 C 的方程;
3 / 11

(Ⅱ) 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线 m 的斜率.

17. (2013 年高考天津卷(文) )设椭圆

x2 y 2 3 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 离心率为 , 过点 F 且与 x 轴垂 a 2 b2 3

直的直线被椭圆截得的线段长为

4 3 . 3

(Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点 , 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点 . 若
AC· DB ? AD· CB ? 8 , 求 k 的值.

18. (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) )在平面直角坐标系 xOy 中,己知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 错误!未找到

引用源。,在 Y 轴上截得线段长为 2 错误!未找到引用源。. (Ⅰ)求圆心 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若 P 点到直线 y=x 的距离为 ,求圆 P 的方程.

新世界中英文学校高二数学周练(14)答案
椭圆
一、选择题
4 / 11

1—7
二、填空题 8.

CDDCBCD
3 ? 1 10.44
4 6 3

5 4

9.

11.

12.

3 ?1

三、解答题 13. (2013 年高考山东卷(文) )在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,短轴长

为 2,离心率为

2 2

(I)求椭圆 C 的方程 (II)A,B 为椭圆 C 上满足 ?AOB 的面积为 设 OP ? tOE ,求实数 t 的值.
【答案】

6 的任意两点,E 为线段 AB 的中点,射线 OE 交椭圆 C 与点 P, 4

解:(1)设椭圆 C

x2 y 2 的方程为 2 ? 2 =1(a>b>0), a b

?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? c 2 由题意知 ? , ? ? a 2 ? ?2b ? 2, ?

解得 a=

2 ,b=1.
x2 的方程为 2

因此椭圆 C

+y =1.

2

(2)1°当 A,B 两点关于 x 轴对称时,设直线 AB 的方程为 x=m, 由题意 ? 2 <m<0 或 0<m< 2 . 将 x=m 代入椭圆方程 x +y =1,得|y|=
2
2

2

2 ? m2 2

.

2 ? m2 6 . ? 2 4 2 2 解得 m = 3 或 m = 1 .① 2 2 又 OP = tOE = 1 t OA ? OB = 1 t (2m,0)=(mt,0), 2 2 2 因为 P 为椭圆 C 上一点,所以 ? mt ? =1.② 2 2 2 由①②得 t =4 或 t = 4 .又因为 t>0,所以 t=2 3

所以 S△AOB=|m|

?

?

或 t= 2

3 3

.

2°当 A,B 两点关于 x 轴不对称时,
5 / 11

设直线 AB 的方程为 y=kx+h.
x2 将其代入椭圆的方程 2

+y =1,得(1+2k )x +4khx+2h -2=0,

2

2

2

2

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 2 由判别式 Δ >0 可得 1+2k >h , 此时 x1+x2= ?
4 kh 1 ? 2k 2

,x1x2= 2h
2h 1 ? 2k 2

?2 , 1 ? 2k 2
2

y1+y2=k(x1+x2)+2h=
所以|AB|= =2
2 1? k
2



1 ? k 2 ? x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2

1 ? 2k 2 ? h2 1? 2 ? k 2

.
|h| 1? k 2

因为点 O 到直线 AB 的距离 d= 所以 S△AOB= 1 |AB|d
2



1 1 ? 2k 2 ? h 2 2 = ? 2 2 1? k 2 1 ? 2k 2

|h| 1? k 2



1 ? 2k 2 ? h 2 2 | h|. 1 ? 2k 2

又 S△AOB= 所以

6 , 4

1 ? 2k 2 ? h 2 6 .③ 2 | h |? 2 1 ? 2k 4
2 2 2 4

令 n=1+2k ,代入③整理得 3n -16h n+16h =0, 2 解得 n=4h 或 n= 4 h 2 ,
3

即 1+2k =4h 或 1+2k = 4 h 2 .④
2 2 2

3 1 又 OP = tOE = t OA ? OB 2 2kht ht ? = 1 t (x1+x2,y1+y2)= ? , ? , ? 2 2 ? 2 ? 1 ? 2k 1 ? 2 k ?

?

?

因为 P 为椭圆 C 上一点, 所以 t 2 ? 1 ? ?? 即
? 2kh ? ? h ? ?? 2 ? 2 ? 2 1 ? 2 k ? ? ? 1 ? 2k ? ? ?
2 2

? ? ?1, ? ?

h2 t 2 ? 1 .⑤ 1 ? 2k 2
2 2

将④代入⑤得 t =4 或 t = 4 , 又知 t>0,故 t=2 或 经检验,适合题意.

3 t= 2 3 . 3

6 / 11

综上所得 t=2 或 t= 2

3 3

.
x2 ? y 2 ? 1 相交于 A , C 两点, O 是坐标原点 4

14. (2013 年高考北京卷(文) )直线 y ? kx ? m ( m ? 0 ) W :

(1)当点 B 的坐标为 (0,1) ,且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的长. (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明四边形 OABC 不可能为菱形.

【答案】 解:(I)因为四边形 OABC 为菱形,所以 AC 与 OB 相互垂直平分.
1 t2 1 所以可设 A(t , ) , 代入椭圆方程得 ? ? 1 ,即 t ? ? 3 . 2 4 4

所以|AC|= 2

3.

(II)假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点,且 AC⊥OB,所以 k ? 0 .
? x2 ? 4 y 2 ? 4 2 2 2 由? ,消去 y 并整理得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 . ? y ? kx ? m

设 A ( x1, y1 ) ,C ( x2, y2 ) ,则

x1 ? x2 4km ?? 2 1 ? 4k 2

,

y1 ? y2 x ?x m ?k? 1 2 ?m? . 2 2 1 ? 4k 2

所以 AC 的中点为 M( ?

m 4 km ). 2 , 1 ? 4k 1 ? 4k 2
1 4k

因为 M 为 AC 和 OB 的交点,且 m ? 0 , k ? 0 ,所以直线 OB 的斜率为 ? 因为 k ? (?
1 ) ? ?1 ,所以 4k

.

AC 与 OB 不垂直.

所以 OABC 不是菱形, 与假设矛盾. 所以当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是菱形.
15. (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) )已知圆 M

: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ,圆 N : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9 ,动圆 P 与圆 M 外切并

且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C . (Ⅰ)求 C 的方程;
[来源:学#科#网]

(Ⅱ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A , B 两点,当圆 P 的半径最长时,求 | AB | .

7 / 11

【答案】解:由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1 ? 1 ;圆 N 的圆心 为 N(1,0),半径 r2 ? 3 . 设知 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. (I) 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,所以

PM ? PN ? (R ? r1 ) ? (r2 ? R) ? r1 ? r2 ? 4 .
有椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左.右焦点,长半轴长为 2,短半
x2 y2 ? ? 1( x ? ?2) 轴长为 3 的椭圆(左定点除外),其方程为 4 3 .

(II) 对于曲线 C 上任意一点 P( x, y) ,由于 PM

? PN ? 2R ? 2 ? 2 ,所以 R ? 2,

当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2,所以当圆 P 的半径最长时,其方
2 2 程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ;

若 l 的倾斜角为 90°,则 l 与 y 轴重合,可得 AB ? 2 3 . 若 l 的倾斜角不为 90°,则 r1 ? R 知 l 不平行于 x 轴,设 l 与 x 轴的交 点为 Q, 则 得
QP R ? ,可求得 Q(-4,0),所以可设 l:y=k(x+4).由 l 于圆 M 相切 QM r1

3k 1? k
2 4
2

? 1 , 解得 k=± 2 .
4 2 4

当 k=

时,将 y=

x+

x2 y 2 ? ? 1 ,并整理得 7 x 2 ? 8 x ? 8 ? 0 , 2 代入 4 3

解得 x1,2 ? 当 k= ?

?4 ? 6 2 18 .所以 AB = 1+k 2 x2 ? x1 ? . 7 7

2 18 时,有图形的对称性可知 AB = . 4 7
18 . 7
8 / 11

综上, AB =2 3或 AB ?

16. (2013 年高考陕西卷(文) )已知动点 M(x,y)到直线 l:x = 4 的距离是它 到点 N(1,0)的距离的 2 倍.

(Ⅰ) 求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线 m 的斜率.

【答案】解: (Ⅰ) 点 M(x,y)到直线 x=4 的距离,是到点 N(1,0)的距 离的 2 倍,则
| x ? 4 |? 2 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? x2 y2 ? ? 1. 4 3

所以,动点 M 的轨迹为 椭圆,方程为 (Ⅱ)

x2 y2 ? ?1 4 3

2 x1 ? 0 ? x2, 2 y1 ? 3 ? y2 P(0, 3), 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),由题知:

(0, 3)和(0,- 3), 经检验直线 m 不经过这两点, 椭圆 的上下顶点坐标分别是

即直线 m 斜率 k 存在. 设直线m方程为 : y ? kx ? 3 .联立椭圆和直线方 程,整理得:
(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 24 kx ? 24 ? 0 ? x1 ? x 2 ? ? 24 k 24 , x1 ? x 2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

x1 x2 1 ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 ? x2 5 (?24k ) 2 9 3 ? ? ?2? ? ? ? ? k ? ? x2 x1 2 x1 ? x2 2 2 (3 ? 4k 2 ) ? 24 2

所以,直线 m 的斜率 k ? ?

3 2

17. (2013 年高考天津卷(文) )设椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 离心率为 , 过点 F 且与 x 轴垂 2 a b 3

直的直线被椭圆截得的线段长为

4 3 . 3

(Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点 , 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点 . 若
AC· DB ? AD· CB ? 8 , 求 k 的值.
【答案】解:

(1)设 F(-c,0),由 c ?
a

3 ,知 a ? 3c . 3
2

过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x=-c, 代入椭圆方程有 (?c2)
a
9 / 11

?

y2 ? 1, b2

解得 y ? ?

6b , 3 于是 2 6b ? 4 3 ,解得 3 3

b=
2

2,

又 a2-c2=b2,从而 a= 所以椭圆的方程为 x
2

3 ,c=1,

3

?

y =1 . 2

(2)设点 C(x1,y1),D(x2,y2),由 F(-1,0)得直线 CD 的方程为 y= k(x+1),
? y ? k ? x ? 1?, 由方程组 ? 消去 y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0. ? x2 y 2 ?1 ? ? 2 ?3 2 2 求解可得 x1+x2= ? 6k 2 ,x1x2= 3k ? 6 . 2 ? 3k 2 ? 3k 2

因为 A( ? 3 ,0),B( 3 ,0), 所以 AC · DB + AD · CB =(x1+ 3 ,y1)· ( 3 -x2,-y2)+(x2+ =6-2x1x2-2y1y2 =6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1) =6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2
2k 2 ? 12 =6? . 2 ? 3k 2

( 3 -x1,-y1) 3 ,y2)·

由已知得 6 ? 2k 解得 k= ?
2.

? 12 = 8, 2 ? 3k 2
2

18. (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) )在平面直角坐标系 xOy 中,己知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 错误!未找到

引用源。,在 Y 轴上截得线段长为 2 错误!未找到引用源。. (Ⅰ)求圆心 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若 P 点到直线 y=x 的距离为 ,求圆 P 的方程.

【答案】解:(1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r. 由题设 y2+2=r2,x2+3=r2. 从而 y2+2=x2+3. 故 P 点的轨迹方程为 y2-x2=1. (2)设 P(x0,y0).由已知得 | x0 ? y0 | ?
2 2 2

.

又 P 点在双曲线 y2-x2=1 上, 从而得 ?
?| x0 ? y0 |? 1, 2 2 ? y1 ? x0 ? 1.
10 / 11

由?

? x0 ? y0 ? 1, ? x0 ? 0, 得 ? 2 2 ? y0 ? x0 ? 1 ? y0 ? ?1.

此时,圆 P 的半径 r= 3. 由? ?
x0 ? y0 ? ?1,
2 2 ? y0 ? x0 ? 1

得?

? x0 ? 0, ? y0 ? 1.

此时,圆 P 的半径 r ? 3 . 故圆 P 的方程为 x2+(y-1)2=3 或 x2+(y+1)2=3.

11 / 11



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