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36.数列和不等式的微积分证明



第 30 讲:数列和不等式的微积分证明

251

第 30 讲:数列和不等式的微积分证明
《选修 2-2》(人教版).第 32 页习题 1.3B 组第 1(3)题:证明不等式 e >1+x,x≠0.近年来,流行以该不等式及其变形为 背景的数列不等式,记忆该不等式及其变形和如何赋值?是解决该类问题的关键; 定积分源于求函数

y=f(x)(f(x)>0)的图像与直线 x=a,x=b(a<b)及 x 轴围成的曲边梯形的面积;其基本思想是:首先在 区间[a,b]内取 x1=a,x2,x3,…,xn=b(x1<x2<…<xn);则直线 x=x2,x=x3,…,x=xn-1 把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形,用(xi+1-xi) f(xi),或(xi+1-xi)f(xi+1)分别近似代替第 i 个小曲边梯形的面积,则 ? ( xi ?1 ? xi ) f ( xi ) ,或 ? ( xi ?1 ? xi ) f ( xi ?1 ) 就近似于曲边梯形的面积
i ?1 i ?1 n ?1 n ?1
x

b b ?a f ( x) ,且 lim [ ? ( xi ?1 ? xi ) f ( xi ) ]= lim [ ? ( xi ?1 ? xi ) f ( xi ?1 ) ]= ?a f ( x) .
n ???
i ?1

n ?1

n ?1 i ?1

n ? ??
n?1 i ?1

b 易知,①当 f(x)单调递增时, ? ( xi?1 ? xi ) f ( xi ) < ?a f ( x)dx < ? ( xi?1 ? xi ) f ( xi?1 ) ;②当 f(x)单调递减时, ? ( xi?1 ? xi ) f ( xi?1 ) < ?a f ( x) < ? ( xi?1 ? xi ) f ( xi ) ;
i ?1 i ?1 i ?1

b

n ?1

n ?1

n?1

数列是特殊的函数,若对数列求和不等式与上述积分不等式进行联想,许多数列求和不等式的证明便得心应手,明了顺 畅.

例 1:指数不等式 ex≥1+x.
[始源问题]:(2013 年黄冈中学高三上学期期末考试题)在数列{an}中,a1=1,前 n 项和 Sn 满足:nSn+1-(n+3)Sn=0.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求证:
1 ? an 1 ? a1 1 ? a2 ? ?…? <9. a1 a2 an an ?1 = (n ? 1)(n ? 2)

[解析]:(Ⅰ)由 nSn+1-(n+3)Sn=0 ? n(Sn+1-Sn)=3Sn ? nan+1=3Sn ? nan+1-(n-1)an=3(Sn-Sn-1) ? nan+1=(n+2)an ?
n ( n ? 1) an an a1 = ; ? ? an= 2 n(n ? 1) n(n ? 1) 1(1 ? 1)

(Ⅱ)由 (

? ? ??? ? 1 1 1 1 1 1 ? an 1 ? an 1 ? a1 1 ? a2 an ? ?…? =1+ ≤ e an ? ≤ e a1 ? e a 2 ? … ? e a n = e a1 a 2 ;而 + +…+ =2[(1- )+ an a1 a 2 an 2 an a1 a2 an

1

1

1

1

1

1

1

1 1 1 1 1 1 ? an 1 ? a1 1 ? a2 2 ? ?…? - )+…+( )]=2(1)<2 ? <e <9. n ?1 2 3 n n ?1 a1 a2 an

利用 e ≥1+x 可证明:(1+a1)(1+a2)…(1+an)< e S n ,由此可构造:
x

[原创问题]:设数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:an+Sn=n+3-( )n-1.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{an}的前 n 项积为 Tn,求证:Tn<9.

1 2

[解析]:(Ⅰ)当 n=1 时,a1+S1=3 ? a1=S1= ;当 n≥2 时,由 an+Sn=n+3-( )n-1 ? an-1+Sn-1=n+2-( )n-2 ? (an-an-1)+(Sn-Sn-1)=1
+(
1 n-1 1 1 1 n 1 1 n 1 n n n-1 n ) ? an= an-1+ +( ) ? (an-1)= (an-1-1)+( ) ? 2 (an-1)=2 (an-1-1)+1 ? 2 (an-1)=n ? an=1+n( ) ; 2 2 2 2 2 2 2 1 n 1 n ) ,则 an=1+bn,且{bn}的前 n 项和 Mn=2-(n+2)( ) <2 ? Tn=a1a2…an=(1+b1)(1+b2)…(1+bn)≤ eb1 ? eb2 ? … ? ebn 2 2

3 2

1 2

1 2

(Ⅱ)令 bn=n( = e M n <e2<9.

[原创问题]:设数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:an+Sn=n+2.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

252
(Ⅱ)设数列{an}的前 n 项积为 Tn,求证:Tn<3.

第 30 讲:数列和不等式的微积分证明

[解析]:(Ⅰ)当 n=1 时,由 an+Sn=n+2 ? a1+S1=3 ? a1=S1=1+ 1 ;当 n≥2 时,由 an+Sn=n+2 ? an+1+Sn+1=n+3 ? (an+1-an)+(Sn+1-Sn)=
2

1 ? an+1=

1 1 1 1 n-1 1 n 1 n an+ ? an+1-1= (an-1) ? an-1=(a1-1)( ) =( ) ? an=1+( ) ; 2 2 2 2 2 2 1 x 1 1 2 = ? fmin(x)=f(0)=0 ? f(x)≥0 ? ln(1+x)<x ? ln(1+ )+ln[1+( ) ]+… x ?1 x ?1 2 2

(Ⅱ)令 f(x)=x-ln(1+x) ? f ? (x)=1+ln[1+(

1 n 1 1 2 1 n 1 n 1 1 2 1 n ) ]< +( ) +…+( ) =1-( ) <1 ? Tn=(1+ )[1+( ) ]…[1+( ) ]<e<3. 2 2 2 2 2 2 2 2

例 2:对数不等式 ln(1+x)<x.
[始源问题]:(2006 年江西高考试题)己知数列{an}满足 a1= ,且 an=
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)证明:对一切正整数 n,不等式 a1a2…an<2×n!恒成立.
3 2

3nan ?1 (n≥2,n∈N+). 2an ?1 ? n ? 1

[解析]:(Ⅰ)由 an=

1 n ?1 2 1 n ?1 1 n n n n n ? 3n 3nan ?1 = ? + ? -1= ( -1) ? -1=-( ) ? an= n ; ? a n 3 an ?1 an an 3 3 an ?1 3 2an ?1 ? n ? 1 3 ?1

(Ⅱ)因 a1a2…an<2×n! ?
f ? (x)=11 3 ?1
2

31 3 ?1
1

?

32 3 ?1
2

?…?

3n 3 ?1
n

<2 ? (1+

1 31 ? 1

)(1+

1 32 ? 1

)…(1+

1 3n ? 1

)<2;令 f(x)=x-ln(1+x) ?

1 1 1 1 1 x = )+ln(1+ 2 )+…+ln(1+ n )< 1 + ? fmin(x)=f(0)=0 ? f(x)≥0 ? ln(1+x)<x ? ln(1+ 1 x ?1 x ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 1 3 ?1
n

+…+

(
1

1 3 ?1
n

<( ) )<
1

1 3

n-1

1 1 1 1 n-3 1 1 1 2 1 1 31 32 3n ? ?…? + + + [1-( ) ]< + + + < ? 1 < e 3 <2. 2 n 2 8 26 36 3 2 8 26 36 3 3 ?1 3 ?1 3 ?1

2

当 a>1 时,

an ? 1

<

(a ? 1)a n ?1

.利用该不等式,可以解决与此有关的求和不等式的上限问题.关于数列{an}:an=
1 3n ? 1

1 pn ? q

(p

>q>1)的求和不等式还可用递推法:如本题 an=

=
3(3

1
n ?1

1 ? ) 3

<

1 3(3n ?1 ? 1)

=

1 1 1 1 n-1 1 1 n-1 an-1 ? an<a1( ) = ( ) ? 1 + 3 3 2 3 3 ? 1 32 ? 1

1 1 1 ( ) 3 [1 ? ( ) n?3 ] ( )3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 3 +…+ n < + + + ? < + + + ? 3 = + + + < .一般地,由 an= n = < 1 1 36 2 8 26 2 2 8 26 2 2 8 26 3 3 ?1 p ? q p ( p n?1 ? q ) 1? 1? p 3 3
1

1 p( p n?1 ? q)

=

1 1 n-1 an-1 ? an<a1( ) ? a1+a2+…+an< p p

a1 1? 1 p

.

[原创问题]:已知函数 f(x)=
(Ⅰ)求数列{xn}的通项公式;

2x 1 2 1 ,f(1)=1,f( )= ,令 x1= ,xn+1=f(xn). ax ? b 2 3 2

(Ⅱ)证明:x1x2…xn>

1 . 2e

[解析]:(Ⅰ)由 f(1)=1,f( )=
xn=
2n ?1 2
n ?1

1 2

2 1 1 1 n-1 1 1 1 2 xn 1 1 = ( +1) ? -1= ( -1) ? -1=( ) ? ? a=b=1 ? xn+1= ? xn 3 2 xn 2 xn ? 1 xn ?1 2 x n xn ?1

?1

;
1 1 1 1 1 1 1 +ln +…+ln <ln2+1;而 ln +ln +…+ln =ln[1+ ? lnx1+lnx2+…+lnxn>-(ln2+1) ? ln x1 x2 xn x1 x2 xn 2e

(Ⅱ)因 x1x2…xn>

第 30 讲:数列和不等式的微积分证明
(
1 0 1 1 1 n-1 1 1 1 2 1 n-1 ) ]+ln[1+( ) ]+…+ln[1+( ) ](ln(1+x)<x)<ln2+( ) +( ) +…+( ) <ln2+1. 2 2 2 2 2 2

253

[原创问题]:已知数列{an}的前 n 项和满足:Sn= 4 an-2n+ 4 .
3 3

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)证明:(1+
1 1 1 )(1+ )…(1+ )<2. a1 a2 an

[解析]:(Ⅰ)由 Sn= 4 an-2n+ 4
3 3

? a1=S1=2;当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(

4 4 4 4 n an-2n+ )-( an-1-2n+2+ ) ? an=4an-1+6 ? an=4 -2; 3 3 3 3

(Ⅱ)由 ln[(1+

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )(1+ )…(1+ )]=ln(1+ )+ln(1+ )+…+ln(1+ )< + +…+ ;而 = = a1 a2 an a1 a2 an a1 a 2 an an 4n ? 2 n ?1 1 4( 4 ? ) 2

<

1 4(4n ?1 ? 2)

=

1 1 n-1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? < ( ) ? + + …+ < ? ln[(1+ )(1+ )…(1+ )]< ? (1+ )(1+ ) ? 4 an ?1 3 3 a n a1 4 a1 a 2 an a1 a2 an a1 a2
2

…(1+

1 )< e 3 <2. an

例 3:对数不等式

x 1? x

<ln(1+x)<

x( 2 ? x ) 2(1 ? x)

(x>0).
x(1 ? ?x) . 1? x

[始源问题]:(2013 年大纲卷高考试题)已知函数 f(x)=ln(1+x)(Ⅰ)若 x≥0 时,f(x)≤0,求λ 的最小值; (Ⅱ)设数列{an}的通项 an=1+
1 1 1 1 + +…+ ,证明:a2n-an+ >ln2. 2 3 n 4n

[解析]:(Ⅰ)因 f(0)=0,

f ? (x)=-

x[?x ? (1 ? 2? )] (1 ? x) 2

;①当 1-2λ ≤0,即λ ≥

1 1 时, f ? (x)≤0 ? f(x)≤f(0)=0;②当λ < 时, 2 2

则当 x∈(0,2(1-2λ ))时, f ? (x)>0 ? f(x)>f(0)=0.综上,λ 的最小值= (Ⅱ)令λ = =

1 ; 2

1 1 k ?1 1 x( 2 ? x ) 2k ? 1 ,由(Ⅰ)知,当 x>0 时,f(x)<0 ? >ln(1+x)(令 x= ) ? >ln =ln(k+1)-lnk ? a2n-an+ 2 k k 4n 2(1 ? x) 2k (k ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? 1 2(n ? 1) ? 1 2(2n ? 1) ? 1 + +…+ + =[ + ]+[ + ]+…+[ + ]= + + …+ n ?1 n ? 2 2n 4n 2 n 2(n ? 1) 2(n ? 1) 2(n ? 2) 2(2n ? 1) 4 n 2n(n ? 1) 2(n ? 1)(n ? 2) 2(2n ? 1) ? 2n

>[ln(n+1)-lnn]+[ln(n+2)-ln(n+1)]+…+[ln(2n)-ln(2n-1)]=ln(2n)-lnn=ln2.

[原创问题]:设数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:S1=3,Sn=an+n2-1.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{
3 1 }的前 n 项和为 Tn,xn=Tn-ln an ,证明:0<xn-x4n< . an 8n

[解析]:(Ⅰ)当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(an+n2-1)-[an-1-(n-1)2-1] ? an-1=2n-1 ? an=2n+1;
(Ⅱ)由 xn-xn+1=(Tn-ln an )-(Tn+1-ln an ?1 )=(ln an ?1 -ln an )-(Tn+1-Tn)=
1 1 2n ? 3 1 1 a 1 ln n ?1 = ln = ln(1+ 2 2n ? 1 2n ? 3 2 an an ?1 2

2 x 1 1 )(ln(1+x)> )> ? 2n ? 1 x ?1 2n ? 3 2

2 2n ? 1 - 1 =0 ? xn-xn+1>0 ? xn>xn+1 ? xn>x4n ? xn-x4n>0; 2 2n ? 3 ?1 2n ? 1

又由 xn-xn+1=

2 2 1 1 1 1 1 1 ln(1+ )(ln(1+x)<x)< ? = ? xn-x4n=(xn-xn+1)+(xn+1-xn+2)+…+ 2n ? 1 2 2n ? 3 2 2n ? 1 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 3

254
(x4n-1-x4n)<(

第 30 讲:数列和不等式的微积分证明
1 1 1 1 1 1 3 1 1 6n )+( )+…+( )= = < . 2n ? 1 2n ? 3 2 n ? 1 8 n ? 1 (2n ? 1)(8n ? 1) 8 n 2n ? 3 2n ? 5 2(4n ? 1) ? 1 2(4n ? 1) ? 3

[原创问题]:已知数列{an}和{bn}满足:a1=b1,且对任意 n∈N+,都有 an+bn=1, an?1 =
an

bn
2 1 ? an

.

(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)证明:
a a 2 a3 a a a + +…+ n ?1 <ln(1+n)< 1 + 2 +…+ n . b2 b3 b1 b2 bn bn ?1

[解析]:(Ⅰ)由 a1=b1,an+bn=1 ? a1=b1= ;又由 an?1 =
an
n ; n ?1

1 2

bn
2 1 ? an

?

1 1 1 an ?1 1 ? an 1 = = +1 ? =n+1 ? an= ? ? bn= 2 n ?1 an an an ?1 a n 1 ? an

( Ⅱ) 由( Ⅰ) 知:

an a a 1 1 1 1 1 1 a a a a = ,故 2 + 3 +…+ n ?1 <ln(1+n)< 1 + 2 +…+ n ? + +…+ <ln(1+n)<1+ +…+ ; 在不 bn b2 b3 b1 b2 bn n 2 3 n ?1 2 n bn ?1

等式

x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 <ln(1+x)<x 中,令 x= 得: <ln(1+ )< ? <ln(1+n)-lnn< ? + +…+ <ln(1+n)-ln1<1+ 1? x n n ?1 n n n ?1 n 2 3 n ?1

1 1 1 1 1 1 1 +…+ ? + +…+ <ln(1+n)<1+ +…+ . 2 n 2 3 n ?1 2 n

例 4:对数不等式 lnx< 1 (x- 1 )(x>1).
2 x

[始源问题]:(2010 年湖北高考试题)已知函数 f(x)=ax+ +c(a>0)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为 y=x-1.
(Ⅰ)用 a 表示出 b,c; (Ⅱ)若 f(x)≥lnx 在[1,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围; (Ⅲ)证明:1+
1 1 1 n + +…+ >ln(n+1)+ (n≥1). 2 3 n 2(n ? 1)

b x

[解析]:(Ⅰ)由 f(1)=0,

f ? (1)=1 ? a+b+c=0,a-b=1 ? b=a-1,c=1-2a;
a a ?1 1? a 1? a 1 +1-2a-lnx,x∈[1,∞),则 g(1)=0, g ? (x)= 2 (x-1)(x);①当 >1,即 a< 时, x a a 2 x

(Ⅱ)令 g(x)=f(x)-lnx=ax+

g(x)在(1,

1? a 1? a 1? a 1? a 1? a 1 )上单调递减 ? g( )<g(1)=0 ? f( )<ln ,不合题意;②当 ≤1,即 a≥ 时,g(x)在[1,+∞) a a a a a 2
1 ,+∞); 2

上单调递增 ? g(x)≥g(1)=0 ? f(x)≥lnx 在[1,∞)上恒成立.故 a 的取值范围是[ (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a= lnk<

1 1 1 k ?1 k ?1 1 k ?1 k 时,f(x)≥lnx(x≥1) ? lnx< (x- )(x>1);令 x= ,则 ln < ( ) ? ln(k+1)2 2 x k k 2 k k ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( + )? + >2[ln(k+1)-lnk] ? 1+ >2(ln2-ln1), + >2(ln3-ln2),…, + >2[ln(n+1)-lnn], 2 k k ?1 k k ?1 2 2 3 n n ?1
1 1 1 1 1 1 1 n + +…+ )+ >2ln(n+1) ? 1+ + +…+ >ln(n+1)+ (n≥1). 2 3 n 2 3 n n ?1 2(n ? 1)
n( an ? 1) ,a2=2. 2

以上不等式相加得 1+2(

[原创问题]:设正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{

1 }的前 n 项和为 Tn,证明:Tn+1-1<lnan+1<Tn. an

第 30 讲:数列和不等式的微积分证明 [解析]:(Ⅰ)当 n=1 时,S1=

255

n( an ? 1) ( n ? 1)(an ?1 ? 1) a1 ? 1 ? a1=S1=1;当 n≥3 时,an=Sn-Sn-1= ? (n-2)an=(n-1)an-1-1 ? 2 2 2

an a a a a a a a 1 1 a a 1 1 = n ?1 ) ? n = 2 +( 3 - 2 )+…+( n - n ?1 )=2-[(1- ) ? n - n ?1 =-( n ? 2 n ?1 3 ?1 3 ? 2 n ? 1 n ? 2 (n ? 2)(n ? 1) n ?1 n ? 2 n ?1 3 ? 2 n ?1 n ? 2 2

+(

1 1 1 1 1 n - )+…+( )]=2-(1)= ? an=n; n ? 2 n ?1 2 3 n ?1 n ?1 1 1 k ?1 k ?1 1 k ?1 k 1 1 1 1 1 (x- )(x>1);令 x= ,则 ln < ( ) ? ln(k+1)-lnk< ( + )? + >2[ln(k 2 x k k 2 k k ?1 2 k k ?1 k k ?1

(Ⅱ)由 lnx<

+1)-lnk] ? 1+

1 1 1 1 1 1 1 1 >2(ln2-ln1), + >2(ln3-ln2),…, + >2[ln(n+1)-lnn],以上不等式相加得 1+2( + +…+ )+ 2 2 3 n n ?1 2 3 n

1 x 1 1 1 1 1 1 n >2ln(n+1) ? 1+ + +…+ >ln(n+1)+ (n≥1) ? 1+ + +…+ >ln(n+1) ? lnan+1<Tn;又由 ln(1+x)> ? x ?1 2 3 n 2 3 n n ?1 2(n ? 1)

ln(1+

1 1 1 1 1 1 1 )> <ln(k+1)-lnk ? Tn+1-1= + +…+ + <ln(n+1)=lnan+1 ? Tn+1-1<lnan+1<Tn. ? k k ?1 k ?1 2 3 n n ?1 1 2

[原创问题]:已知函数 f(x)=alnx+ x2-(1+a)x.
(Ⅰ)若 f(x)≥0 对定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)证明:对任意正整数 m,n,不等式
1 2

1 1 1 n + +…+ > 恒成立. ln(m ? 1) ln(m ? 2) ln(m ? n) m(m ? n)
1 2

[解析]:(Ⅰ)由 f(1)= -(1+a)≥0 ? a≤- ;又因
1 1 -(1+a)≥0.故 a 的取值范围是(-∞,- ]; 2 2

f ? (x)=

a 1 1 2 +x-(1+a)= [x -(1+a)x+a= (x-1)(x-a) ? fmin(x)=f(1)= x x x

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a=-

1 1 2 时,f(x)≥0 ? lnx≤x -x ? 2 ln x

>

1 x ?1

- (x>1) ?

1 x

1 1 1 > (i=1,2,…,m) ? ln(m ? i) m ? i ? 1 m ? i

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n + +…+ >( )+( )+…+( )= = . m m ?1 m ?1 m ? 2 m ? n ?1 m ? n m m ? n m(m ? n) ln(m ? 1) ln(m ? 2) ln(m ? n)

例 5:含 n 的求和不等式.
[始源问题]:(2010 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)设对任意正整数 n,都有: [
<a<
1 n ?1 2 1 2 [1+ 1 ? ( )2 + 1 ? ( )2 +…+ 1 ? ( ) ],则实数 a= n n n n i n
1 n

n ?1 2 1 2 ) ] 1 ? ( )2 + 1 ? ( )2 +…+ 1 ? ( n n n

.

[解析]:令 xi= ,f(x)=

1 ? x 2 (0≤x≤1),则 xi+1-xi=

1 1 n ?1 2 1 2 ) ]=(x2-x1)f(x1)+ ? [ 1 ? ( )2 + 1 ? ( )2 +…+ 1 ? ( n n n n n

(x3-x2)f(x2)+ … +(xn-xn-1)f(xn-1); +(xn-xn-1)f(xn-1),所以,

1 n ?1 2 1 2 [1+ 1 ? ( )2 + 1 ? ( )2 + … + 1 ? ( ) ]=(x1-0)f(0)+(x2-x1)f(x1)+(x3-x2)f(x2)+ … n n n n

1 1 n ?1 2 n ?1 2 1 2 1 2 [ 1 ? ( )2 + 1 ? ( )2 +…+ 1 ? ( ) ]<a< [1+ 1 ? ( )2 + 1 ? ( )2 +…+ 1 ? ( ) ]? n n n n n n n n

b ? 1 1 n ?1 2 n ?1 2 1 2 1 2 [ 1 ? ( ) 2 + 1 ? ( ) 2 + …+ 1 ? ( ) ]< ? f ( x)dx < [1+ 1 ? ( )2 + 1 ? ( )2 +…+ 1 ? ( ) ] ? a= . a 4 n n n n n n n n

本题利用圆形函数构造出一个绝佳试题,具有明显的定积分背景.作简单变换可构造:

[原创问题]:对给定的正整数 n(n≥2),非负数列{ak}满足:an=0,ak+12=ak2-

2k ? 1 n2

(k=0,1,2,…,n-1).

256
(Ⅰ)求数列{ak}的通项公式;

第 30 讲:数列和不等式的微积分证明

(Ⅱ)设数列{ak}的所有项的和为 Sn,若对任意正整数 n,都有:Sn-1<an<Sn,求常数 a 的值.

[解析]:(Ⅰ)由 ak+12=ak21 n
2
2 2

2k ? 1 n2 1 n
2

? ak+1 -ak =-

2

2

2k ? 1 n2

? ak =a1 +(a2 -a1 )+(a3 -a2 )+…+(ak -ak-1 )=a1 1 n
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1 n2

[3+5+…+(2k-1)]=a1

2

(k -1);由 an=0 ? a1 -

(n -1)=0 ? a1= 1 ?
2 n

2

1 n
2

? ak =(1-

2

)-

1 n
2

(k -1)=1-

2

k2 n
2

? a k= 1 ?

k2 n2

;

(Ⅱ)由 Sn-1<an<Sn ? 1 ? ( )2 + 1 ? ( )2 +…+ 1 ? (

1 n

1 n ?1 2 1 n ?1 2 1 2 ) <an<1+ 1 ? ( )2 + 1 ? ( )2 +…+ 1 ? ( ) ? [ 1 ? ( )2 + n n n n n n

? 1 n ?1 2 2 n ?1 2 1 2 ) ]<a< [1+ 1 ? ( )2 + 1 ? ( )2 +…+ 1 ? ( 1 ? ( )2 +…+ 1 ? ( ) ] ? a= . 4 n n n n n n

例 6:含 n 的求和不等式.
[始源问题]:(2012 年天津高考试题)已知函数 f(x)=x-ln(x+a)的最小值为 0,其中 a>0.
(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若对任意的 x∈[0,+∞),有 f(x)≤kx 成立,求实数 k 的最小值; (Ⅲ)证明: ?
n i ?1 2i
2

2 -ln(2n+1)<2(n∈N+). ?1

[解析]:(Ⅰ)因

f ? (x)=1-

1 1 = (x+a-1) ? fmin(x)=f(x)的极小值=f(1-a)=1-a=0 ? a=1; x?a x?a
2 2 2 2

(Ⅱ)由 f(x)≥0 ? 0≤f(x)≤kx ? k>0;又因 f(x)≤kx ? x-kx ≤ln(x+1)(函数 y=x-kx 与 y=ln(x+1)均过点 O(0,0),只需 函数 y=x-kx 在(0, ∈(0,
2

1 1 1 )内单调递增的速度不大于 y=ln(x+1)的单调递增速度) ? 当 x∈(0, )时,1-2kx≤ ?当 x 2k 2k x ?1

1 1 )时,2k(x+1)≥1 ? 2k≥1 ? k 的最小值= (本解法为作者给出); 2k 2 2 单调递增,作分点 xi=i(i=1,2,3,…,n),则(x2-x1)f(x2)+(x3-x2)f(x3)+… 2x ? 1

(Ⅲ)考虑到 F(x)=ln(2x-1)的导函数 f(x)= +(xn-xn-1)f(xn)< ?1n f ( x)dx ? ? +1)<2.
n

i?2

n n 2 n 2 2 2 <F(n)-F(1)=ln(2n-1) ? ? =2+ ? <2+ln(2n-1)<2+ln(2n+1) ? ? -ln(2n 2i ? 1 i ?1 2i ? 1 i ? 2 2i ? 1 i ?1 2i ? 1

本题充分体现了 m(n)< ? f (i ) <M(n)型不等式的定积分背景,由此可以推测其由来及其命题方法,使用此法可命制:
i ?1

n

[原创问题]:正项数列{an}满足:2Sn=an2+n,其中,Sn 是数列{an}的前 n 项和.
(Ⅰ)求数列{ak}的通项公式; (Ⅱ)令数列{
1 n }的前 n 项和为 Tn.求证:Tn>ln(n-1)+ (n≥2). an 2(n ? 1)

[解析]:(Ⅰ)由 2Sn=an2+n ? 2S1=a12+1 ? a1=1;当 n≥2 时,2an=2Sn-2Sn-1=(an2+n)-(an-12+n-1) ? (an-1)2=an-12 ? an-1= ? an-1;
①当 an-1=-an-1 时,a2n-1=1,a2n=0,不符合题意;②当 an-1=an-1 时,an=n; (Ⅱ)考虑到 F(x)=lnx 的导函数 f(x)= +…+(xn+1-xn) ln(n+1)+
f ( x ) ? f ( x3 ) 1 f ( x ) ? f ( x2 ) 单调递增,作分点 xi=i(i=1,2,3,…,n+1),则(x2-x1) 1 +(x3-x2) 2 2 2 x

f ( xn ) ? f ( xn ?1 ) f ( x1 ) ? f ( xn ?1 ) > ?1n ?1 f ( x)dx ? [f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]>ln(n+1) ? Tn=f(x1)+f(x2)+…+f(xn)> 2 2

1 1 2 1 1 2 n?2 n?2 n ;而 ln(n+1)+ >ln(n-1)+ )> (令 x=1+ ∈(1,3] ? = - )? ? ln(1+ n ?1 n ?1 n ?1 2 2x n ?1 2(n ? 1) 2(n ? 1) 2(n ? 1)

第 30 讲:数列和不等式的微积分证明
lnx>

257

1 1 1 2x ?1 1 1 1 n - >0;令 g(x)=lnx+ - ? g ? (x)= >0 ? g(x)>g(1)=0;故 Tn>ln(n-1)+ . ? lnx+ 2 2x 2x 2 2x 2 2(n ? 1) 2x2

例 7:递推求和不等式.
[始源问题]:(2010 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)数列{an}中,已知 a1∈(1,2),an+1=an3-3an2+3an,n∈N*,求证:
(a1-a2)(a3-1)+(a2-a3)(a4-1)+…+(an-an+1)(an+2-1)<
1 . 4

[解析]:由 an+1=an3-3an2+3an ? an+1-1=(an-1)2,令 bn=an-1 ? b1=a1-1∈(0,1),bn+1=bn3∈(0,1),且 bn+1-bn=bn3-bn=bn(bn+1)(bn-1)
<0 ? bn+1<bn,(an-an+1)(an+2-1)=(bn-bn+1)bn+2=(bn-bn+1)f(bn+1),其中 f(x)=x ,所以,(a1-a2)(a3-1)+(a2-a3)(a4-1)+…+(an-an+1) (an+2-1)< ? f ( x)dx =F(1)-F(0)=
0
n
3

1

1 1 4 .其中 F(x)= x . 4 4
n

本题给出了关于 ? (ai ? ai ?1 ) ai ? 2 、 ? (ai ?1 ? ai ) ai ? 2 型上、下界问题的定积分解决,该解法具有通性.
i ?1 i ?1

[原创问题]:已知函数 f(x)=x-ln(x+1),x∈(0,1),数列{an}满足:a1=a∈(0,1),an+1=f(an).
(Ⅰ)求证:0<an+1<an<1; (Ⅱ)求证:(a1-a2)a3+(a2-a3)a4+…+(an-an+1)an+2<
1 . 2 1 x = >0 ? f(x)在区间(0,1)内单调递增 ? f(x)值域为(f(0),f(1)) 1? x 1? x

[解析]:(Ⅰ)由 f(x)=x-ln(x+1) ?

f ? (x)=1-

=(0,1-ln2) ? (0,1);又因 f(x)-x=-ln(x+1)<0 ? 0<f(x)<x<1 ? 0<f(a1)<a1<1 ? 0<a2<a1<1 ? … ? 0<an+1<an<1; (Ⅱ)考虑到 F(x)=
1 2 x +x-(x+1)ln(x+1)的导函数 f(x)=x-ln(x+1)单调递增,作分点 xi=ai(i=1,2,3,…,n+1),则(a1-a2)a3+ 2
1

(a2-a3)a4+…+(an-an+1)an+2=(a1-a2)f(a2)+(a2-a3)f(a3)+…+(an-an+1)f(an+1)< ? f ( x)dx =F(1)-F(0)=
0

3 1 -ln4< . 2 2

例 8:递推求和不等式.
[始源问题]:(2003 年江苏高考试题)设 a>0,如图,己知直线
l:y=ax 及曲线 C:y=x ,C 上的点 Q1 的横坐标为 a1(0<a1<a).从 C 上的点 Qn(n≥1)作直线平行于 x 轴,交直线 l 于点 Pn+1,再从点 Pn+1 作直线平行于 y 轴,交曲线 C 于点 Qn+1,Qn(n=1,2,3,…)的横 坐标构成数列{an}. (Ⅰ)试求 an+1 与 an 的关系,并求{an}的通项公式; (Ⅱ)当 a=1,a1≤
n 1 1 时,证明: ? ( ak ? ak ?1 ) ak+2< ; 32 2 k ?1 n
2

y

P2

Q1

P3 Q3 O a3

Q2 a2 a1 x

(Ⅲ)当 a=1 时,证明: ? ( ak ? ak ?1 ) ak+2< .
k ?1

1 3

[解析]:(Ⅰ)由 Qn 的横坐标=an ? Qn(an,an2) ? Pn+1( 1 an2,an2) ? Qn+1( 1 an2,( 1 an2)2) ? an+1= 1 an2 ? lgan+1=2lgan-lga ?
a a a a

lgan+1-lga=2(lgan-lga) ? lgan-lga=(lga1-lga)×2 ? an=a(
1 3

n-1

a1 2 n ?1 ) ; a
n

3 2 (Ⅱ)当 a=1 时,考虑到 F(x)= x 的导函数 f(x)=x 单调递增,作分点 xi=ai(i=1,2,3,…,n+1),则 ? ( ak ? ak ?1 ) ak+2=(a1-a2)a3+

k ?1

k ?2

a2 f ( x)dx =(a1-a2)a3+F(a2)-F(0)=(a1-a2)a3+ ? ( a k ? a k ?1 ) f(ak+1)<(a1-a2)a3+ ?0

n

1 3 2 6 5 2 1 6 1 5 1 a2 = a1 +a1 ≤ ( ) +( ) = ; 3 3 3 2 32 2

258
3 3 a1 (Ⅲ) ? ( ak ? ak ?1 ) ak+2= ? ( ak ? ak ?1 ) f(ak+1)< ?0 f ( x)dx = a1 < a = .

第 30 讲:数列和不等式的微积分证明
n k ?1

n

k ?1

1 3

1 3

1 3

不着意于求数列的通项公式,而着力于研究数列性质及和式不等式是安徽高考命题的特色.

[原创问题]:己知直线 l:y=ax 及曲线 C:y=f(x),C 上的点 Q1 的横坐标为 a1.从 C 上的点 Qn(n≥1)作直线平行于 x 轴,交
直线 l 于点 Pn+1,再从点 Pn+1 作直线平行于 y 轴,交曲线 C 于点 Qn+1,Qn(n=1,2,3,…)的横坐标构成数列{an}. (Ⅰ)试求 an+1 与 an 的关系式; (Ⅱ)当 a=1,f(x)=2 -1,a1∈(0,1)时,求证: (i)0<an+1<an<1; (ii) ? ( ak ? ak ?1 ) ak+2<log2
k ?1 n
x

e . 2

[解析]:(Ⅰ)由 Qn 的横坐标=an ? Qn(an,f(an)) ? Pn+1( 1 f(an),f(an)) ? Qn+1( 1 f(an),f( 1 f(an)) ? an+1= 1 f(an);
a a a a

(Ⅱ)(i)函数 y=x、y=f(x)的图像知当 x∈(0,1)时,f(x)<x,且 f(x)∈(0,1) ? 0<f(x)<x<1 ? 0<f(a1)<a1<1 ? 0<a2<a1<1 ? … ? 0<an+1<an<1; (ii)考虑到 F(x)=2 log2e-x 的导函数 f(x)=2 -1 单调递增,作分点 xi=ai(i=1,2,3,…,n+1),则 ? (ak ? ak ?1)ak ? 2 = ? (ak ? ak ?1 ) f(ak+1)
x x

n

n

k ?1

k ?1

a1 < ?0 f ( x)dx =F(a1)-F(0)<F(1)-F(0)=2log2e-1-log2e=log2e-1=log2

e . 2

[原创问题]:己知函数 f(x)=ex-2,设曲线 y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与 x 轴交点为(xn+1,0)(n∈N*),其中 x1 为正实
数. (Ⅰ)用 xn 表示 xn+1; (Ⅱ)求证:对一切正整数 n,xn+1≤xn 的充要条件是 x1≥ln2; (Ⅲ)若 x1=2ln2,求证: ? ( x k ? x k ?1 ) x k ? 2 <
k ?1 n

3 . 2

[解析]:(Ⅰ)由
令 y=0 得 x=xn+

f ? (x)=e 知曲线 y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线方程为 y-f(xn)= f ? (xn)(x-xn),即 y-( e xn -2)= e xn (x-xn),
x

2 e xn

-1,即 xn+1=xn+
2 e xn

2 e xn

-1;
2 e xn

(Ⅱ)(必要性)xn+1≤xn ? xn+ 1 ? g ? (x)=1ln2 ? xn+1≤xn; (Ⅲ)考虑到 G(x)=
n

-1≤xn ?

≤1 ? e xn ≥2 ? xn≥ln2 ? x1≥ln2;(充分性)如果 x1≥ln2,由 g(x)=x+

2 ex

-

2 ex

≥0 ? g(x)在[ln2,+∞)上单调递增 ? x2=g(x1)≥g(ln2)=ln2 ? x3≥g(ln2)=ln2 ? … ? xn≥g(ln2)=

n 2 1 2 2 x - x -x 的导函数 f(x)=x+ x -1 单调递增,作分点 xi=ai(i=1,2,3,…,n+1),则 ? ( x k ? x k ?1 ) x k ? 2 = 2 k ?1 e e

k ?1

2 ln 2 ? ( x k ? x k ?1 ) g ( k ?1 ) < ?ln 2 g ( x)dx =G(2ln2)-G(ln2)=

3 1 3 3 2 2 ln 2+ -ln2< ln 2< . 2 2 2 2



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