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安徽省滁州市凤阳县临淮中学2014-2015学年高二上学期第一次月考数学(文)试卷 Word版含解析



2014-2015 学年安徽省滁州市凤阳县临淮中学高二(上)第一次 月考数学试卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.已知集合 A={1,a,3},B={2,3,|a﹣1|},若 A=B,则 a=( A. ﹣2 B. ﹣1 C. 1 D. 2



2.某校为了了解 1500 名学生对学校食堂的意见,从中抽取

1 个容量为 50 的样本,采用系 统抽样法,则分段间隔为( ) A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 3.不等式 2x +x﹣1>0 的解集为(
2



A. (﹣1, ) B. (﹣∞,﹣ )∪(1,+∞) C. (﹣∞,﹣1)∪( ,+∞) D. R

4.已知 x,y 的取值如下表所示 x y 0 2.2 1 4.3 3 a ) 4 6.7

从散点图分析,y 与 x 线性相关,且 =0.95x+2.6,则 a 等于( A. 4.8 B. 3.0 C. 2.8 D. 2.6

5.已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,且 f(1)=0,则不等式 f(x)<0 的解集为( ) A. (﹣1,1) B. (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) C. (﹣1,0) D. (0,1)

6.设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x﹣y 的最小值为(



A. 1 B. ﹣1 C. 3 D. ﹣3 7.一个几何体的三视图中的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图均是大小形状完全相同 的图形,那么这个几何体可能是( ) A. 球 B. 圆柱 C. 三棱柱 D. 圆锥

8.若 a=

,b=log3 ,c=log3 ,则 a,b,c 大小顺序正确的为(



A. a<b<c B. c<b<a C. c<a<b D. a<c<b

9.如图给出了计算 3+5+7+…+19 的值的一个程序框图,其中空白处应填入(



A. i>9 B. i>10 C. i>19 D. i>20
2 2

10.已知直线 ax+by﹣1=0(a>0,b>0)过圆 x +y ﹣4x﹣2y=0 的圆心,则 + 为( A. ) B. C. D.

的最小值

二、填空题(本大题有 5 小题,每小题 5 分,共 25) 11.已知向量 与 的夹角为 60°,且| |=1, ? =2,则| |= .

12.若函数 f(x)=cos(ωx+

) (ω>0)的最小正周期为

,则ω=



13. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组(每小组 4 人)在期末考试中的数学成绩, 乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 a 表示,已知甲、乙两小组的数学成绩的 平均分相同,则 a= .

14.某市高三数学抽样考试中,对 90 分以上(含 90 分)的成绩进行统计,其频率分布图如 如图所示,若 130~140 分数段的人数为 90 人,则 90~100 分数段的人数为 .

15.已知 a>0,b>0,a+b=1,则下列结论正确的有 ① + >2; ②ab 的最大值为 ; ③a +b 的最小值为 ; ④ + 的最大值为 9; ⑤a(2b﹣1)的最大值为 .
2 2



二、解答题(本大题有 6 小题,共 75 分) 16.在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C= (Ⅰ)若△ABC 的面积等于 ,求 a,b; (Ⅱ)若 sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求△ABC 的面积. 17. 某高校在 2013 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩, 按成绩分组: 第 1 组[160, 165) , 第 2 组[165, 170) , 第 3 组[170, 175) , 第 4 组[175, 180) , 第 5 组[180, 85],得到的频率分布直方图如图所示. (1)求第 3,4,5 组的频率; (2)为了能选拔出最优秀的学生,该校决定在笔试成绩高的第 3,4,5 组中用分层抽样的 方法抽取 6 名学生进入第二轮面试, 求第 3, 4, 5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? .

18.如图所示,正方形 AA1D1D 与矩形 ABCD 所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点 E 为 AB 的中 点. (1)求证:BD1∥平面 A1DE (2)求证:D1E⊥A1D; (3)求点 B 到平面 A1DE 的距离.

19.甲、乙两台机床在相同的技术条件下,同时生产一种零件,现在从中抽测 10 个,它们 的尺寸分别如下(单位:mm) . 甲机床:10.2 10.1 10 9.8 9.9 10.3 9.7 10 9.9 10.1 乙机床:10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10.9 8.9 9.7 10.2 10 分别计算上面两个样本的平均数和方差,如图纸规定零件的尺寸为 10mm,从计算的结果来 看哪台机床加工这种零件较合适? (样本数据 x1,x2,…,xn 的样本方差 s = [(x ﹣ ) +(x2﹣ ) +…+(xn﹣ ) ],其中 为样本均数. ) 20.已知,圆 C:x +y ﹣6y=0,直线 l:ax+2y﹣a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切? (2)当 a=﹣2 时,l 与圆 C 是否相交?若相交,求出相交所得的弦长. 21.设等差数列{an]的公差为 d,点(an,bn)在函数 f(x)=2 的图象上(n∈N ) . (1)若 a1=2,点(a8,4b7)在函数 f(x)的图象上,求数列{an}的前 n 项和 Sn; (2)若数列{an}的公差不为 0,且 a1=1,a2,a4,a8 成等比数列,求数列{ Tn. }的前 n 项和
x * 2 2 2 1 2 2 2

2014-2015 学年安徽省滁州市凤阳县临淮中学高二(上) 第一次月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.已知集合 A={1,a,3},B={2,3,|a﹣1|},若 A=B,则 a=( A. ﹣2 B. ﹣1 C. 1 D. 2 考点: 集合的相等. 专题: 集合. 分析: 利用集合相等的定义即可得到. 解答: 解:∵A=B, ∴a=2,|a﹣1|=1,解得 a=2. 故选:D. 点评: 本题考查了集合相等的定义,属于基础题.



2.某校为了了解 1500 名学生对学校食堂的意见,从中抽取 1 个容量为 50 的样本,采用系 统抽样法,则分段间隔为( ) A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 考点: 系统抽样方法. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 由系统抽样法,分段间隔为 解答: 解:∵N=1500,n=50; ∴ =30, =30.

故选 D. 点评: 本题考查了系统抽样的方法,属于基础题. 3.不等式 2x +x﹣1>0 的解集为(
2



A. (﹣1, ) B. (﹣∞,﹣ )∪(1,+∞) C. (﹣∞,﹣1)∪( ,+∞) D. R

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 不等式 2x +x﹣1>0 化为(2x﹣1) (x+1)>0,即可解出. 解答: 解:不等式 2x +x﹣1>0 化为(2x﹣1) (x+1)>0,解得 x> 或 x<﹣1. ∴不等式的解集为(﹣∞,﹣1)∪ .
2 2

故选:C. 点评: 本题考查了一元二次不等式的解法,属于基础题. 4.已知 x,y 的取值如下表所示 x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 a 6.7 从散点图分析,y 与 x 线性相关,且 =0.95x+2.6,则 a 等于( A. 4.8 B. 3.0 C. 2.8 D. 2.6 考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 求出样本中心点,代入 y=0.95x+2.6,可得 a 的值. 解答: 解:由题意, = (0+1+3+4)=2, = (2.2+4.3+a+6.7)= (13.2+a) , 代入 y=0.95x+2.6,可得 (13.2+a)=0.95×2+2.6, ∴a=4.8. 故选:A. 点评: 本题考查回归直线方程的求法,是统计中的一个重要知识点,由公式得到样本中心 点在回归直线上是关键. 5.已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,且 f(1)=0,则不等式 f(x)<0 的解集为( ) A. (﹣1,1) B. (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) C. (﹣1,0) D. (0,1) 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 定义在 R 上的偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且 f(1)=0,f(x)<0, 可得 f(|x|)<f(1) ,再利用单调性即可得出. 解答: 解:∵定义在 R 上的偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且 f(1)=0,f (1)<0 ∴f(|x|)<f(1) , ∴|x|<1,解得﹣1<x<1. ∴不等式 f(x)<0 的解集是(﹣1,1) . 故选:A. 点评: 本题考查了函数的奇偶性、单调性,属于中档题. )

6.设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x﹣y 的最小值为(



A. 1 B. ﹣1 C. 3 D. ﹣3

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求目标函数 z=2x﹣y 的 最小值. 解答: 解:由 z=2x﹣y,得 y=2x﹣z,作出不等式对应的可行域(阴影部分) , 平移直线 y=2x﹣z,由平移可知当直线 y=2x﹣z, 经过点 A 时,直线 y=2x﹣z 的截距最大,此时 z 取得最小值, 由 ,解得 ,即 A(﹣1, 1) .

将 A(﹣1,1)的坐标代入 z=2x﹣y,得 z=﹣2﹣1=﹣3, 即目标函数 z=2x﹣y 的最小值为﹣3. 故选:D

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法. 7.一个几何体的三视图中的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图均是大小形状完全相同 的图形,那么这个几何体可能是( ) A. 球 B. 圆柱 C. 三棱柱 D. 圆锥 考点: 由三视图还原实物图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用几何体的形状判断三视图的情况,找出满足题意的选项. 解答: 解:球的三视图,都是圆,满足几何体的三视图中的正(主)视图、侧(左)视图、 俯视图均是大小形状完全相同的图形,所以 A 正确; 圆柱的三视图中正(主)视图、侧(左)视图、相同,俯视图是圆,不满足题意,B 不正确. 三棱柱的三视图,可能三个视图都不相同,不满足题意,C 不正确; 圆锥的三视图中正(主)视图、侧(左)视图、相同,俯视图是圆,不满足题意,D 不正确. 故选:A. 点评: 本题考查三视图的应用,基本知识的考查.

8.若 a=

,b=log3 ,c=log3 ,则 a,b,c 大小顺序正确的为(



A. a<b<c B. c<b<a C. c<a<b D. a<c<b 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数函数与指数函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵log3 <log3 <0< ,a= ,b=log3 ,c=log3 ,

∴c<b<a. 故选:B. 点评: 本题考查了对数函数与指数函数的单调性,属于基础题. 9.如图给出了计算 3+5+7+…+19 的值的一个程序框图,其中空白处应填入( )

A. i>9 B. i>10 C. i>19 D. i>20 考点: 循环结构. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序框图, 写出每次循环得到的 S, n, i 的值, 当 i 的值为 10 时, 有 S=3+5+7+… +17+19,符合题意,对比四个选项即可. 解答: 解:执行程序框图,有 S=0,n=3,i=1 第 1 次执行循环体,有 S=3,n=5,i=2 第 2 次执行循环体,有 S=3+5,n=7,i=3 第 3 次执行循环体,有 S=3+5+7,n=9,i=4 … 第 9 次执行循环体,有 S=3+5+7+…+17,n=19,i=9 第 10 次执行循环体,有 S=3+5+7+…+17+19,n=21,i=10 此时结合题意,S=3+5+7+…+17+19,应退出循环,输出 S 的值, 故条件应设为 i>9 故选:A. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法,属于基础题.
2 2

10.已知直线 ax+by﹣1=0(a>0,b>0)过圆 x +y ﹣4x﹣2y=0 的圆心,则 + 为( )

的最小值

A.

B.

C.

D.

考点: 基本不等式在最值问题中的应用;直线与圆相交的性质. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 直线过圆心,先求圆心坐标,利用 1 的代换,以及基本不等式求最小值即可. 解答: 解:圆 x +y ﹣4x﹣2y=0 即 (x﹣2) +(y﹣1) =5,表示以 C(2,1)为圆心,半 径等于 的圆. 2 2 由于直线 ax+by﹣1=0(a>0,b>0)过圆 x +y ﹣4x﹣2y=0 的圆心,故有 2a+b=1. ∴ + =( + ) (2a+b)= + + ≥
2 2 2 2

当且仅当 a=b= 时,取等号, 故 + 的最小值为 ,

故选:A. 点评: 本题主要考查圆的标准方程,基本不等式的应用,属于中档题. 二、填空题(本大题有 5 小题,每小题 5 分,共 25) 11.已知向量 与 的夹角为 60°,且| |=1, ? =2,则| |= 6 .

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据平面向量的线性运算表示出 解答: 解:根据题意,得; ? = =| ? = ﹣ |×| ?( ? |cos60°﹣
2

,再根据数量积的运算即可求出|

|的值.





=1×| ∴|

|× ﹣1 =2, |=6.

故答案为:6. 点评: 本题考查了平面向量的线性运算的问题,也考查了平面向量的数量积的运算问题, 是基础题.

12.若函数 f(x)=cos(ωx+

) (ω>0)的最小正周期为

,则ω= 3 .

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据正弦函数的周期公式:T= 解答: 解:T= = . = ,解得|ω|=3,故可解.

解得|ω|=3, 已知ω>0 故答案为:3. 点评: 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法,考查了学生对三角函数基础公式的记 忆,属于基础题. 13. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组(每小组 4 人)在期末考试中的数学成绩, 乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 a 表示,已知甲、乙两小组的数学成绩的 平均分相同,则 a= 3 .

考点: 专题: 分析: 解答:

茎叶图;众数、中位数、平均数. 概率与统计. 根据茎叶图中的数据,结合平均数的概念,即可求出 a 的值. 解:根据茎叶图中的数据,得;

甲的平均数是 (87+89+96+96) , 乙的平均数是 (87+90+a+93+95) , ∴ (87+89+96+96)= (87+90+a+93+95) ; ∴a=3. 故答案为:3. 点评: 本题考查了茎叶图的应用问题,也考查了平均数的计算问题,是基础题. 14.某市高三数学抽样考试中,对 90 分以上(含 90 分)的成绩进行统计,其频率分布图如 如图所示,若 130~140 分数段的人数为 90 人,则 90~100 分数段的人数为 810 .

考点: 频率分布直方图. 专题: 计算题. 分析: 先分别求出 130~140 分数段的频率与 90~100 分数段的频率, 然后根据频率的比值 等于人数的比值,求出所求即可. 解答: 解:130~140 分数段的频率为 0.05, 90~100 分数段的频率为 0.45, 故 90~100 分数段的人数为 9×90=810. 故答案为:810 点评: 该题考查频率分布直方图的意义及应用图形解题的能力,频数=频率×样本容量,属 于基础题. 15.已知 a>0,b>0,a+b=1,则下列结论正确的有 ②③④ . ① + >2; ②ab 的最大值为 ; ③a +b 的最小值为 ; ④ + 的最大值为 9; ⑤a(2b﹣1)的最大值为 .
2 2

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用;简易逻辑. 分析: 由已知的条件分别利用基本不等式及二次函数最值的求法分别判断 5 个命题得答案. 解答: 解:∵a>0,b>0,a+b=1, 对于①, + ≥2 对于②,∵ ∴ab .①错误; ,

.即 ab 的最大值为 .②正确; .

对于③, ∴a +b 的最小值为 .命题③正确; 对于④, + = 当且仅当
2 2

=9. ,即 a= ,b= 时上式取等号.命题④正确;
2

对于⑤,a(2b﹣1)=(1﹣b) (2b﹣1)=﹣2b +3b﹣1, 当 时, a(2b﹣1)的最大值为 .命题⑤错误.

故正确的命题是②③④. 故答案为:②③④. 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了基本不等式的用法,考查了学生的逻辑 思维能力,是中档题. 二、解答题(本大题有 6 小题,共 75 分) 16.在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C= (Ⅰ)若△ABC 的面积等于 ,求 a,b; (Ⅱ)若 sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求△ABC 的面积. 考点: 余弦定理的应用. 分析: (Ⅰ)先通过余弦定理求出 a,b 的关系式;再通过正弦定理及三角形的面积求出 a, b 的另一关系式,最后联立方程求出 a,b 的值. (Ⅱ)通过 C=π﹣(A+B)及二倍角公式及 sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求出∴ sinBcosA=2sinAcosA.当 cosA=0 时求出 a,b 的值进而通过 absinC 求出三角形的面积;当 cosA≠0 时,由正弦定理得 b=2a,联立方程解得 a,b 的值进而通过 absinC 求出三角形的 面积. 解答: 解: (Ⅰ)∵c=2,C= ∴a +b ﹣ab=4, 又∵△ABC 的面积等于 ∴ ∴ab=4 联立方程组 ,解得 a=2,b=2 ,
2 2



,c =a +b ﹣2abcosC

2

2

2



(Ⅱ)∵sinC+sin(B﹣A)=sin(B+A)+sin(B﹣A)=2sin2A=4sinAcosA, ∴sinBcosA=2sinAcosA 当 cosA=0 时, , , , ,求得此时

当 cosA≠0 时,得 sinB=2sinA,由正弦定理得 b=2a, 联立方程组 解得 , .

所以△ABC 的面积 综上知△ABC 的面积 点评: 本小题主要考查三角形的边角关系,三角函数公式等基础知识,考查综合应用三角 函数有关知识的能力.

17. 某高校在 2013 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩, 按成绩分组: 第 1 组[160, 165) , 第 2 组[165, 170) , 第 3 组[170, 175) , 第 4 组[175, 180) , 第 5 组[180, 85],得到的频率分布直方图如图所示. (1)求第 3,4,5 组的频率; (2)为了能选拔出最优秀的学生,该校决定在笔试成绩高的第 3,4,5 组中用分层抽样的 方法抽取 6 名学生进入第二轮面试, 求第 3, 4, 5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?

考点: 频率分布直方图. 专题: 计算题. 分析: (1)在频率分步直方图中小长方形的面积为频率,用长乘以宽,得到频率, (2)可先由直方图第 3,4,5 各组学生数,再根据分层抽样的特点,代入其公式求解. 解答: 解: (1)由已知,第 3 组的频率为 0.06×5=0.3,4 组的频率为 0.04×5=0.2,第 5 组的频率为 0.02×5=0.1. (2)第 3 组的人数为 0.3×100=30,第 4 组的人数为 0.2×100=20,第 5 组的人数为 0.1× 100=10, 因为第 3,4,5 组共有 60 人,所以利用分层抽样的方法抽取 6 名学生,每组抽取的人数为: 第 3 组: =3,第 4 组: =2,第 5 组: =1,

所以第 3,4,5 组分别抽取 3 名,2 名,1 名学生进入第二轮面试. 点评: 本题考查频率分布直方图的相关知识.直方图中的各个矩形的面积代表了频率,所 以各个矩形面积之和为 1.同时也考查了分层抽样的特点,即每个层次中抽取的个体的概率 都是相等的,都等于 .

18.如图所示,正方形 AA1D1D 与矩形 ABCD 所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点 E 为 AB 的中 点. (1)求证:BD1∥平面 A1DE (2)求证:D1E⊥A1D; (3)求点 B 到平面 A1DE 的距离.

考点: 直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的判定;点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)由题意,设 O 为 AD1 的中点,则由三角形的中位线性质可得 OE∥BD1,再利用 直线和平面平行的判定定理证明 BD1∥平面 A1DE. (2)由于 D1A 是 D1E 在平面 AA1D1D 内的射影,由正方形的性质可得 D1A⊥A1D,再利用三垂 线定理可得 D1E⊥A1D. (3)由题意可得 A、B 两点到平面 A1DE 的距离相等,设为 h,根据 利用等体积法求得 h 的值. 解答: (1)证明:∵正方形 AA1D1D 与矩形 ABCD 所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点 E 为 AB 的中点,设 O 为 AD1 的中点, 则由三角形的中位线性质可得 OE∥BD1. 由于 OE? 平面 A1DE,BD1 不在平面 A1DE 内,故 BD1∥平面 A1DE. (2)证明:由题意可得 D1A 是 D1E 在平面 AA1D1D 内的射影,由正方形的性质可得 D1A⊥A1D, 由三垂线定理可得 D1E⊥A1D. (3)设点 B 到平面 A1DE 的距离为 h,由于线段 AB 和平面 A1DE 交于点 E,且 E 为 AB 的中 点, 故 A、B 两点到平面 A1DE 的距离相等,即求点 A 到平面 A1DE 的距离 h. 由于 ∵ ∴ = = = , ,即 = ,解得 h= . = , = = , = ,

点评: 本题主要考查直线和平面平行的判定定理、三垂线定理的应用,用等体积法求点到 平面的距离,体现了转化的数学思想,属于中档题. 19.甲、乙两台机床在相同的技术条件下,同时生产一种零件,现在从中抽测 10 个,它们 的尺寸分别如下(单位:mm) . 甲机床:10.2 10.1 10 9.8 9.9 10.3 9.7 10 9.9 10.1; 乙机床:10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10.9 8.9 9.7 10.2 10. 分别计算上面两个样本的平均数和方差,如图纸规定零件的尺寸为 10mm,从计算的结果来 看哪台机床加工这种零件较合适?

(样本数据 x1,x2,…,xn 的样本方差 s = [(x ﹣ ) +(x2﹣ ) +…+(xn﹣ ) ],其中 为样本均数. ) 考点: 极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计. 分析: 分别求出两个样本的平均数和方差,由此从计算的结果来看甲台机床加工这种零件 较合适. 解答: 解: = =
2

2

1

2

2

2

=

=10,

(10.3+10.4+9.6+9.9+10.1+10.9+8.9+9.7+10.2+10)=10, [(10.2﹣10) +(10.1﹣10) +(10﹣10) +(9.8﹣10) +(9.9﹣10) +(10.3
2 2 2 2 2 2 2 2 2

﹣10) +(9.7﹣10) +(10﹣10) +(9.9﹣10) +(10.1﹣10) ]=0.03, =
2

[(10.3﹣10) +(10.4﹣10) +(9.6﹣10) +(9.9﹣10) +(10.1﹣10) +(10.9
2 2 2 2

2

2

2

2

2

﹣10) +(8.9﹣10) +(9.7﹣10) +(10.2﹣10) +(10﹣10) ]=0.258, ∵ ,

∴计算的结果来看甲台机床加工这种零件较合适. 点评: 本题考查样本的平均数和方差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意方差公 式的合理运用. 20.已知,圆 C:x +y ﹣6y=0,直线 l:ax+2y﹣a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切? (2)当 a=﹣2 时,l 与圆 C 是否相交?若相交,求出相交所得的弦长. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (1)把圆的方程化为标准方程后,找出圆心坐标与圆的半径 r,当直线 l 与圆相切 时,圆心到直线的距离 d 等于圆的半径 r,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线 l 的 距离 d,让 d 等于圆的半径 r,列出关于 a 的方程,求出方程的解即可得到 a 的值; (2)C 到直线 l 的距离 d=2 <3,可得 l 与圆 C 相交,从而求出弦长. 2 2 2 2 解答: 解: (1)将圆 C 的方程 x +y ﹣6y=0 配方得标准方程为 x +(y﹣3) =9, 则此圆的圆心为(0,3) ,半径为 3. 若直线 l 与圆 C 相切,则有 =3.解得 a=0 或﹣ . <3,
2 2

(2)a=﹣2 时,直线 l:x﹣y﹣1=0,C 到直线 l 的距离 d=2 ∴l 与圆 C 相交,弦长为 2 =2.

点评: 此题考查学生掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径,考查学生的计 算能力,属于中档题.

21.设等差数列{an]的公差为 d,点(an,bn)在函数 f(x)=2 的图象上(n∈N ) . (1)若 a1=2,点(a8,4b7)在函数 f(x)的图象上,求数列{an}的前 n 项和 Sn; (2)若数列{an}的公差不为 0,且 a1=1,a2,a4,a8 成等比数列,求数列{ Tn. 考点: 数列与函数的综合. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)bn=2 an,an=﹣2+(n﹣1)d,4×2 的前 n 项和 Sn; (2)根据公式性质列出数列{ 的方法求解. 解答: 解: (1)函数 f(x)=2 由已知,bn=2 an,an=﹣2+(n﹣1)d, b1=2 = ,a6=5d﹣2,b7=2 a7 ∵点(2+a6,4b7)在函数 f(x)的图象上, 2+5d﹣2 ∴2 =4a7, 6d﹣2 5d﹣2 ∴4×2 =2 ,d=2, 所以 an=2n﹣4,Sn= (2)设{an}的公差为 d, (d≠0) , 由 a1=1,a2,a4,a6 成等比数列, 2 所以(1+3d) =(1+d) (1+7d) , d=1,∴an=n,从而 n=2 ,
n ﹣2 x 6d﹣2

x

*

}的前 n 项和

=2

5d﹣2

,求出 d 的值,即可求解数列{an}

}的前 n 项和 Tn= +

+

+…+

+

,运用错位相减

=n(n﹣3) ,

=



数列{

}的前 n 项和 Tn= +

+

+…+

+



tn=

+

+

+…+

,②

①﹣②得: Tn= Tn=1 +…+

+…+ =2﹣

, ,

数列{

}的前 n 项和 Tn=2﹣

=



点评: 本题考查了等比,等差数列的公式,性质,求和运用公式,错位相减的方法,融合 了指数函数的性质,难度较大



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