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福建省龙岩市2010年2010届高三第一次质量检查(数学文)(2010.3)



2010 年福建省龙岩市高中毕业班第一次质量检查 数学(文科)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) 4 页. 全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. ,共 参考公式: 样本数据 x1,x2,?,xn 的标准差:

s=

1 ?( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? … ? ( xn ?

x )2 ? ,其中 x 为样本平均数; ? n?

柱体体积公式:V=Sh ,其中 S 为底面面积,h 为高;

1 Sh,其中 S 为底面面积,h 为高; 3 4 3 2 球的表面积、体积公式: S ? 4?R , V ? ?R ,其中 R 为球的半径. 3
锥体体积公式:V=

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本题共12 小题,每小题5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1. 复数 (1 ? i)(?i) 等于 A. 1 ? i A. 充要条件 C. 必要不充分条件 A. 15 B. 17 B. ?1 ? i C. ?1 ? i D. 1 ? i 2.“x = 2 且 y = – 2”是“xy = – 4”的 B. 充分不必要条件 D. 既不必要也不充分条件 C. 36 D. 64

3. 已知等差数列 {an } , a2 ? a8 ? 16, a4 ? 1, 则a6 的值为 中 4. 已知直线 l1 : y ? x ,若直线 l2 ? l1 ,则直线 l 2 的倾斜角为 A.

3? 3? D. k? ? (k ? Z ) 4 4 4 1 x 5. 已知集合 A ? { y | y ? log 2 x, x ? 1}, B ? { y | y ? ( ) , x ? 1}, 则A ? B 等于 2 1 A. { y | 0 ? y ? } B. { y | y ? 0} C. ? D. R 2

? 4

B. k? ?

?

(k ? Z )

C.

6. 取一根长度为 6 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段绳子的长都不小于 2 m 的概率是 A.
1 2 1 3 1 4

B.

C.

D. 甲

2 3

7. 一位同学种了甲、乙两种树苗各 1 株,分别观察了 9 次、10 次后,得到树苗高度的数据的茎叶图如图 (单位:厘米) ,则甲乙两种树苗的高度的数据的中 位数之和是

乙 0 4 0 6 4 0 4 6 6 7

9 1 4 3 1 0 2 1 2 3 7 3 4

-1-

A. 44 B. 54 C. 50 D. 52 8. 设 b 、 c 表示两条直线, ? 、 ? 表示两个平面,下列命题中的真命题是 c // ? ? b ? ?? A. B. ??c ?? ? ? c // ? ? ? ?? b // c ? C.

c // ? ? ??? ?? c ? ??

D.

b ? ?? ? ? b // c c // ? ?

9. 右图所示的程序框图的输出结果为 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11

( 2) 10. 已知向量 a ? (1,?1) ,b ? 1, ,向量 c 满足(c ? b) ? a, c ? a)//b,则 c ? (
A. (2,1) B. (1,0) C. ( , )

3 1 2 2

D. (0,?1)

11. 已知函数 f ( x) ? ? A. ?1,??? C. ?1,2?

?ax ? 1, x ? 2 是定义域上的单调函数,则 a 的取值范围是 ?loga ( x ? 1) ? 3, x ? 2
B. ?2,??? D. ?1,2?

12. 已知 f (x) 是定义域为 R 的奇函数, f (?4) ? ?1 , f (x) 的导函数 f ' ( x) 的图象如图所示。 若两正数 a, b 满足 f (a ? 2b) ? 1 ,则 A. B. C. D.

a?2 的取值范围是 b?2

y

1 ( ,2) 3 1 ( , 3) 2 (?1,0) (??,?1)

y= f ' ( x)

x O

第Ⅱ卷(非选择题

共 90分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题4分,共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置。 13. 若函数 f ( x) ? sin ?x(? ? 0) 的周期为 ? ,则 ? = . 14. 一个正三棱柱的三视图如下图所示,则这个几何体的表面积是 ... .

-2-

15. 为了调查某校学生的期末考试数学成绩情况,随机抽查了 100 名学生的成绩.成绩的分 组 区间为 [50,60) , [60,70) , [70,80) , [80,90) , [90,100] ,由此得到如图所示的频率分 布直方图,则这 100 名学生中,成绩在 [80,100] 的人数是 16. 下面有 4 个命题: ① 当 x ? 0 时, 2 ?
x



1 的最小值为 2; 2x

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? 3x ,且其一个焦点与 a 2 b2 2 抛物线 y ? 8x 的焦点重合,则双曲线的离心率为 2; ? ? ③ 将函数 y ? cos 2 x 的图象向右平移 个单位,可以得到函数 y ? sin( 2 x ? ) 的图象; 6 6 2 2 a ?b ④ 在 Rt?ABC 中, AC ? BC, AC ? a, BC ? b ,则 ?ABC 的外接圆半径 r ? ; 2
② 若双曲线 类比到空间,若三棱锥 S-ABC 的三条侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直,且长度分别

a 2 ? b2 ? c2 为 a、b、c,则三棱锥 S-ABC 的外接球的半径 R ? . 2
其中错误命题的序号为______________(把你认为错误命题的序号都填上) . .. 三、解答题:本大题共6小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 已知锐角 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , a ? (Ⅰ)求角 A 的大小;

2 , b ? 3, B ?

?
3



? (Ⅱ)设函数 f ( x) cos B ? sin 2 x ? cos x, 当x ? [?
2

?
4

,0] 时,求 f (x) 的值域。

18. (本小题满分 12 分) 小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏,规则:小王先掷一枚骰子,向上 的点数记为 x ;小李后掷一枚骰子,向上的点数记为 y , (Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,以 ( x, y ) 为坐标的点共有几个?试求点 ( x, y ) 落在直线 x ? y ? 7 上的概率; (Ⅱ)规定:若 x ? y ? 10 则小王赢,若 x ? y ? 4 则小李赢,其它情况不分输赢. 试问 这个游戏规则公平吗?请说明理由

-3-

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {a n } 和 {bn } 中,数列 {a n } 的前 n 项和记为 S n . 若点 (n, Sn ) 在函数 y ? ? x 2 ? 4 x 的图象上,点 (n, bn ) 在函数 y ? 2 的图象上。
x

(Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {anbn } 的前 n 项和 Tn 。

20. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 E-ABCD 中, ΔADE 是等边三角形,侧面 ADE ⊥ 底面 ABCD ,其中 AB//DC , BD ? 2 DC ? 4 , AD ? 3 , AB ? 5 (Ⅰ)若 F 是 EC 上任一点,求证:平面 BDF ⊥平面 ADE ; (Ⅱ)求三棱锥 C-BDE 的体积。

21. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 3 3 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,点 (1,? ) 为椭圆上的一点,O 为坐标原 a b 2 2
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)已知直线 l : y ? kx ? m 为圆 x ? y ?
2 2

4 的切线,直线 l 交椭圆于 A、B 两点, 5

求证: ?AOB 为直角。

22. (本小题满分 14 分) 3 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 1, a ? R . (Ⅰ)若函数 y ? f (x) 的图象在 x ? 1 处的切线与直线 y ? 6 x ? 6 平行,求实数 a 的值; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? f ?( x) ? 6 ,对满足 ? 1 ? a ? 1 的一切 a 的值,都有 g ( x) ? 0 成立, 求实数 x 的取值范围; (Ⅲ)当 a ? 0 时,请问:是否存在整数 a 的值,使方程 f ( x) ? 15有且只有一个实根?若 存在,求出整数 a 的值;否则,请说明理由.

-4-

??

?
4

? x ? 0,?

?
4

? 2x ?

?
4

?

?
4

2 ? 2 ? sin(2 x ? ) ? 2 4 2 2 ? 1 ?0 ? sin(2 x ? ) ? ? 1 。 2 4 2 f (x) 的值域为 [0,1] 所以 ??
识分析和解决实际问题的能力。 解: (Ⅰ)因 x 、 y 都可取 1、2、3、4、5、6, 故以 ( x, y ) 为坐标的点共有 36 个

????????? (12 分)

18. (本小题满分 12 分)本小题主要考查概率等基础知识,考查运算求解能力、应用数学知

????????? 分) (2

-5-

? (?2n ? 7)2n?1 ? 14

?????????(12 分)

20. (本小题满分 12 分)命题立意:本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面 的位置关系等基础知识,考查了空间想象能力、推理论证能力和运算能力以及化归与转 化 能力. 解: (Ⅰ)? 在 ?ABD中, BD ? 4,AD ? 3,AB ? 5

? AB 2 ? AD 2 ? BD 2

? BD ? AD ?????????(2 分) 又 平面ADE ? 平面ABCD,平面ADE ? 平面ABCD ? AD
?BD ? 平面ADE
-6-

? BD ? 平面BDF

? 三棱锥C - BDE的体积为

6 3 5

?????????(12 分)

21.(本小题满分 12 分)本小题主要考察直线、圆、椭圆、直线与圆锥曲线的位置关系等基 本 知识. 考察推理论证能力、运算求解能力,考察数形结合思想、化归与转化思想. y B P O A ????????? 分) (4 x

? c 3 ?e ? ? a 2 ? 3 ?1 解: (Ⅰ)依题可得: ? 2 ? 2 ? 1 ? a ? 2, b ? 1, c ? 3 4b ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?
所以椭圆的方程为:

x2 ? y2 ? 1 4

-7-

? y ? kx ? m ? (Ⅱ)由 ? x 2 得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx? 4m2 ? 4 ? 0 ? y2 ? 1 ?4 ?

解得: ? 1 ? x ? 1 ?????????(7 分) (Ⅲ)存在 ????????? 分) (8 理由如下: 方程 f ( x) ? 15有且只有一个实根即为函数 y ? f (x) 的图象与直线 y ? 15 只有一 个公共点.

? f ' ( x) ? 3x 2 ? 3a ? (1)若 a ? 0 ,则 f ' ( x) ? 0 ,? f (x) 在实数集 R 上单调递增 此时,函数 y ? f (x) 的图象与直线 y ? 15 只有一个公共点. ??????(9
-8-

分) (2)若 a ? 0 ,则 f ' ( x) ? 3( x ? ? a )(x ? ? a ) 列表如下: ????????? (10 分)

-9-



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