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对数函数概念


对数函数的概念与图象

考古学家一般通过提取附着在出土文物、 考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗 址上死亡的残留物, 址上死亡的残留物,利用 t = log
5730

出土文物或古遗址的年代. 出土文物或古遗址的年代

1 2

P 估计

t 能不能看成是 P 的函数? 的函数? 根据问题的实际意义可知,对于每一个碳14 根据问题的实际意义可知,对于每一个碳 含量P, 含量 ,通过对应关系 t = log P ,都有唯一
5730

1 2

与它对应,所以, 的函数. 确定的年代 t 与它对应,所以,t 是P的函数 的函数

对数函数的定义: 对数函数的定义:
一般地,函数 y = loga x (a>0,且a≠ 1 )叫 做对数函数.其中 x是自变量, 函数的定义域是( +∞) 函数的定义域是( 0 , +∞).
注意:1)对数函数定义的严格形式; 注意:1)对数函数定义的严格形式; :1)对数函数定义的严格形式 2)对数函数对底数的限制条件: 对数函数对底数的限制条件: 对数函数对底数的限制条件 a > 0 ,且 a ≠ 1.

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与 (a>0,且 探究:对数函数:
性质

在同一坐标系中用描点法画出对数函数

y = log 2 x 和 y = log

作图步骤: 作图步骤:

1 2

x

的图象。 的图象。

①列表, 列表, ②描点, 描点, ③用平滑曲线连接。 用平滑曲线连接。

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与 (a>0,且 探究:对数函数:
性质

列 表 描 点

作y=log2x图象 图象

X y=log2x y 2 1
0
11 42

1/4 1/2 -2 -1

1 0

2 1

4 2

… …

1 2 3

4

x

-1 -2

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与 (a>0,且 探究:对数函数:
性质

列 表 描 点

x y = log 2 x
y = log
1 2

… … …

1/4 1/2
-2 2 -1 1

1
0 0

2 4
1 -1



2 … -2 …

x

y 2 1
0
11 42

1 2 3

4

x

-1 -2

这两个函 数的图象 有什么关 系呢? 系呢?

关于x轴对称 关于 轴对称

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质 (a>0,且 探究:对数函数: y 2 探索发现:认 探索发现 认 1 14 真观察函数 x 0 1 2 3 4 y=log2x -1 的图象填写 -2
1 2

下表

图象特征

代数表述

图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸

定义域 : ( 0,+∞) 值 域 :

R

(0,+∞)上是 上是: 自左向右看图象逐渐上升 在(0,+∞)上是: 增函数

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质 (a>0,且 探究:对数函数:

探索发现:认 探索发现 认 真观察函数 x y = log 1 的图象填写 下表
图象特征

y 2 1 11
42

2

0 -1 -2

1 2 3 4

x

函数性质

图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸

定义域 : ( 0,+∞) 值 域 :

R

自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是:减函数 (0,+∞)上是 上是:

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质 探究:对数函数:

猜猜: 猜猜 对数函数 y 2 1
0

y = log

3

x 和 y = log

1 3

的图象。 x 的图象。

y = log 2 x

y = log 3 x
11 42

1 2 3

4

x
y = log 1 x
y = log
3
1 2

-1 -2

x

对数函数y=logax (a>0,且a≠1) (a>0,且

的图象与性质
y
x a

图 象

a>1
y
x =1
y = log (a > 1)

0<a<1
x =1

O

(1,0)

X

(1,0)
O
y = log

X
a

x

(0 < a < 1)

性 质

( 0,+∞) 定义域 : 值 域 : R 过定点: 过定点: (1 ,0), 即当x =1时,y=0 即当x
在(0,+∞)上是: (0,+∞)上是: (0,+∞)上是 上是 增函数 在(0,+∞)上是 减函数

讲解范例 例1求下列函数的定义域: 2 (1) y = log a x 解 : 由 x2 > 0 得 x ≠ 0 ∴函数 y = log a x 的定义域是
2

{x | x ≠ 0}

(2) y = log a (4 ? x) 解 : 由4 ? x > 0 得 ∴函数 y = log a (4 ? x)

x<4
的定义域是 {x | x < 4}

练习 1.求下列函数的定义域: (1) y

= log 5 (1 ? x )

? (?∞,1)

1 (2) y = log 2 x

? (0,1) U (1,+∞)

比较下列各组中,两个值的大小: 比较下列各组中,两个值的大小: 与 (1) log23.4与 log28.5 ) 解: 考察函数y=log 2 x , 考察函数 ∵a=2 > 1, ∴函数在区间(0,+∞) 函数在区间( , ) 上是增函数; 上是增函数; ∵3.4<8.5 ∴ log23.4< log28.5

比较下列各组中,两个值的大小: 比较下列各组中,两个值的大小: (2) log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7 ) 与 解:考察函数y=log 0.3 x , 考察函数 ∵a=0.3< 1, ∴函数在区间(0,+∞)上是减函数; 函数在区间(0,+∞)上是减函数; ∵1.8<2.7 ∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7

小结

比较下列各组中,两个值的大小: 比较下列各组中,两个值的大小: (1) log23.4与 log28.5 (2) log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7 ) 与 ) 与 比较两个同底对数值的大小时: 比较两个同底对数值的大小时 同底对数值的大小时
观察底数是大于1还是小于 还是小于1; 1.观察底数是大于 还是小于 ;

小 结

( a>1时为增函数 时为增 时为减 时为 函数0<a<1时为减函数) 时为 函数) 比较真数值的大小; 2.比较真数值的大小; 根据单调性得出结果。 3.根据单调性得出结果。

比较下列各组中,两个值的大小: 比较下列各组中,两个值的大小: ?(3) loga5.1与 loga5.9 ( ) 与 则函数在区间( , )上是增函数; 解: ①若a>1则函数在区间(0,+∞)上是增函数; 则函数在区间 ∵5.1<5.9 ∴ loga5.1 < loga5.9 则函数在区间( , ) 则函数在区间 ②若0<a<1则函数在区间(0,+∞)上是减 函数; 函数; ∵5.1<5.9 ∴ loga5.1 > loga5.9 注意:若底数不确定, 注意:若底数不确定,那就要对底数进行分类讨论 即0<a<1 和 a > 1

你能口答吗? 你能口答吗?

变一变还能口答吗? 变一变还能口答吗?
3、 若 log 3 m < log 3 n,则m___n; <

< 1、 log 0.5 6 ______ log 0.54
2、 log 1.5
1.6 . > log 1.514 ______

4、 若 log0.7 < log0.7 , 则m___n. >
m n

的取值变化图象如何变化?有规律吗? 的取值变化图象如何变化?有规律吗?
y 规律: 轴 规律:在x轴 2 x 上方图象自左 1 11 向右底数越来 4 2 0 越大! 越大! 1 2 3 4 -1 -2

思考:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象随着a 图象随着a 思考:对数函数:

y = log 2 x

y = log 3 x

x
y = log 1 x
y = log
3
1 2

x

知识与技能目标: 知识与技能目标:
1.记住对数函数的定义 记住对数函数的定义; 记住对数函数的定义 2.会画对数函数的图象。 会画对数函数的图象。 会画对数函数的图象

过程与方法目标: 过程与方法目标:
经历函数 y = log 2 x 和 y = log 其图象特征并用代数语言进行描述得出函数性质,进一 其图象特征并用代数语言进行描述得出函数性质 进一 步探究出函数 y = log a x   > 0, 且 a ≠ 1) 的图象与性 (a 质.
1 2

x 的画法 观察 的画法,观察

情感态度价值观目标: 情感态度价值观目标:
通过本节课的学习增强学生的数形结合思想. 通过本节课的学习增强学生的数形结合思想

作业: P74.习题 作业: P74.习题2.2 习题2.2

7, 7,8


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