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吉林省东北师范大学附属中学2015-2016学年高中数学 2.5第17课时 椭圆与双曲线的对偶性质复习小结教案 理



课题:椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论) 双曲线
课时:17 课型:复习课

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线 a 2 b2 x2 y 2 交双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2

x y 2.过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交 a b b2 x 双曲线于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 kBC ? ? 2 0 (常数). a y0
1.双曲线

x2 y 2 3.若 P 为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦 a b
点, ?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则 4.设双曲线

c?a ? ? c?a ? ? ? tan co t (或 ? tan co t ). c?a 2 2 c?a 2 2

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上 a 2 b2

任 意 一 点 , 在 △ PF1F2 中 , 记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F 1F 2P ? ? , 则 有

sin ? c ? ? e .(可由正弦定理推导) ?(sin ? ? sin ? ) a
5.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 1<e a 2 b2

≤ 2 ? 1 时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.

x2 y 2 6.P 为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线内一定点, a b
则 | AF2 | ?2a ?| PA | ? | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时,等号 成立. 7. 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 a 2 b2 A2 a 2 ? B 2b2 ? C 2 .

1

x2 y 2 ? ?1 (b>a >0) , O 为坐标原点, P、 Q 为双曲线上两动点, 且 OP ? OQ . a 2 b2 1 1 1 1 (1) ? ? 2? 2; 2 2 | OP | | OQ | a b
8.已知双曲线 (2)|OP| +|OQ| 的最小值为
2 2

4a 2b 2 ; b2 ? a2

a 2b 2 (3) S?OPQ 的最小值是 2 . b ? a2 x2 y 2 9.过双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点,弦 a b | PF | e ? . MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 | MN | 2 x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直平分线 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则 x0 ? 或 x0 ? ? . a a x2 y 2 11.设 P 点是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 a b ?F1PF2 ? ? 则有以下结论。
10.已知双曲线

2b2 (1) | PF1 || PF2 |? . 1 ? cos ? ? 2 (2) S?PF1F2 ? b cot . 2 x2 y 2 12. 设 A 、B 是双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a> 0,b> 0)的长轴两端点, P 是双曲线上的一点, a b ?PAB ? ? , ?PBA ? ? , ?BPA ? ? , c 、 e 分 别 是 双 曲 线 的 半 焦 距 离 心 率 , 则 有

2ab2 | cos ? | . | a 2 ? c 2co s2 ? | (2) tan ? tan ? ? 1 ? e2 .
(1) | PA |? (3) S?PAB ?

2a 2 b 2 cot ? . b2 ? a 2 x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0) 的右准线 l 与 x 轴相交于点 E , 过双曲线右焦点 F a 2 b2

13.已知双曲线

的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应 焦点的连线必与切线垂直. 15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦
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半径互相垂直. 16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心 率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

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