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圆锥曲线综合.板块一.轨迹方程(1).学生版



板块一.轨迹方程(1)

典例分析
【例1】 平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知两点 A ? 2 , ? 1? ,B ? ?1, 3? ,若点 C 满 uuu r uur uu u r 足 OC ? ? OA ? ? OB 其中 0 ≤ ? ,? ≤1 , 且? ? ? ? 1, 则点 C 的轨迹方程为 ( )

A. 2

x ? 3 y ? 4 ? 0 C. 4x ? 3 y ? 5 ? 0 ? ?1≤ x ≤ 2?

1? 2 ? B. ? x ? ? ? ? y ? 1? ? 25 2? ?

2

D. 3x ? y ? 8 ? 0 ? ?1≤ x ≤ 2?

【例2】 P 是以 F1 、 F2 为焦点的椭圆上一点,过焦点 F2 作 ?F1 PF2 外角平分线的垂线,

垂足为 M ,则点 M 的轨迹是( A.圆 B.椭圆

) C.双曲线 D.抛物线

【例3】 已知 P 为抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 上的动点, F 为抛物线的焦点,过 F 作抛物线

在 P 点处的切线的垂线,垂足为 G ,则点 G 的轨迹方程为( A. x2 ? y 2 ? p2 C. x 2 ? ? y ?
? ? p? p2 ? ? 2? 4
2



B. y ? ? D. y ? 0

p 2

0) ,点 A 在圆 x2 ? y 2 ? 1 上运动, M 是线段 AB 上的一点,且 【例4】 已知定点 B (3 , uuur 1 uuu r AM ? MB ,则点 M 的轨迹方程是___________. 3

【例5】 若 点 P( x1 , x1 ? y1 ) 的 轨 迹 方 程 是 y1 ) 在 圆 x2 ? y 2 ? 1 上 运 动 , 则 点 Q( x1 y1 ,

______________

【例6】 由动点 P 向圆 x2 ? y 2 ? 1 作两条切线 PA 、PB , 切点分别为 A 、B ,?APB ? 60° ,
高中数学.板块一.轨迹方程.题库 1

则动点 P 的轨迹方程为

??? ? ? 1) ,点 M 分 PA 所成的比为 【例7】 动点 P 是抛物线 y ? 2 x2 ? 1 上任一点,定点为 A(0 ,

2 ,则 M 的轨迹方程为_____________.

0) (m ? 0) ,端点 A 、 B 到 x 轴距离之积为 【例8】 线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M (m ,
2 m ,以 x 轴为对称轴,过 A 、 O 、 B 三点作抛物线,则此抛物线方程为

【例9】 到直线 2 x ? y ? 0 和 x ? 2 y ? 0 的距离相等的动点的轨迹方程是



1 ? 1 ? 0 ? , B 是圆 F : ( x ? )2 ? y 2 ? 4(F 为圆心)上一动点,线段 AB 的垂 【例10】 已知 A ? ? , 2 2 ? ?

直平分线交 BF 于 P ,则动点 P 的轨迹方程为



【例11】 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,点 M 在 A 上,且 AM ?

1 AB ,点 P 3

在平面 ABCD 上, 且动点 P 到直线 A1 D1 的距离的平方与 P 到点 M 的距离的平方 差为 1,在平面直角坐标系 xAy 中,动点 P 的轨迹方程是
D1 A1 y D A M P B C x B1 C1



0) 的距离比它到直线 l : x ? 5 ? 0 的距离小于 1 ,则点 M 的轨迹 【例12】 点 M 与点 F (4 ,

方程是__________

【例13】 过抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A 、 B 两点,则弦 AB 的中点 M

的轨迹方程是________

0) 和直线 x ? 3 的距离之和等于 4 ,求 P 的轨迹方程. 【例14】 已知动点 P 到定点 F (1 ,

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2

y) 在椭圆 C : 【例15】 已知点 ( x ,

x2 y 2 ?y ? xy ? ? ? 1(a ? b ? 0) 的第一象限上运动.求点 ? , x a 2 b2 ? ?

的轨迹 C1 的方程.

【例16】 圆 C : ( x ? 5)2 ? ( y ? 4)2 ? 6 内 的 一 定 点 A( 4, 3 ) , 在 圆 上 作 弦 MN , 使
?MAN ? 90? ,求弦 MN 的中点 P 的轨迹方程.

0) , B (2 , 0) , 【例17】 已 知 A 、 B 、 D 三 点 不 在 一 条 直 线 上 , 且 A(?2 , ???? ??? ? 1 ??? ? ???? AD ? 2 , AE ? ( AB ? AD) . 2

①求点 E 的轨迹方程; ②过 A 作直线交以 A , B 为焦点的椭圆于 M , N 两点,线段 MN 的中点到 y 轴 的距离为
4 ,且直线 MN 与 E 点的轨迹相切,求椭圆的方程. 5

【例18】 AB 是圆 O 的直径,且 | AB |? 2a , M 为圆上一动点,作 MN ? AB ,垂足为 N ,

在 OM 上取点 P ,使 | OP |?| MN | ,求点 P 的轨迹方程.

【例19】 求到两不同定点距离之比为一常数 ? (? ? 0) 的动点的轨迹方程.

0) 距离的比为 2 ,点 N 到直线 PM 的距 0) 、 N (1 , 【例20】 已知点 P 到两个定点 M (?1 ,

离为 1 .求直线 PN 的方程.
??? ? ???? 0) ,点 A 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,且 PA ? AQ ? 0 .点 M 【例21】 已知点 P(?3 , ???? ? ? 3 ???? 在直线 AQ 上, 满足 AM ? ? MQ . 当点 A 在 y 轴上移动时, 求动点 M 的轨迹 C 2

的方程.

?B , ?C 所对的边分别为 a , b, c ,且 a ? c ? b 成等差数列, 【例22】 已知 ?ABC 中, ?A ,

AB ? 2 ,求顶点 C 的轨迹方程.

3) 作两条相互垂直的直线 l1 , l2 , l1 交 x 轴于 A 点, l2 交 y 轴于 B 点, 【例23】 过点 P(1,
高中数学.板块一.轨迹方程.题库 3

求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.

【例24】 已知动点 P 与双曲线 x2 ? y 2 ? 1 的焦点 F1 , F2 的距离之和为定值,且 cos ?F1 PF2

1 的最小值为 ? .求动点 P 的轨迹方程. 3

【例25】 已知圆 M 1 : ( x ? 4)2 ? y 2 ? 25 ,圆 M 2 : ( x ? 4)2 ? y 2 ? 1 ,一动圆与这两个圆都

外切.求动圆圆心 P 的轨迹方程;

【例26】 设 F1 , F2 分别是椭圆 C :

???? ??? ? ⑴当 P ? C , 且P 求椭圆 C 的左, 右焦点 F1 、F2 . | PF1 | ? | PF2 |? 8 时, F 1P ?F 2 ? 0 ,

x2 y2 ? ? 1 (m ? 0) 的左,右焦点. 6m2 2m2

⑵ F1 、F2 是⑴中的椭圆的左, 右焦点, 已知圆 F2 的半径是 1 ,过动点 Q 作圆 F2 切线 QM ,使得 QF 1 ? 2 QM ( M 是切点) ,如下图.求动点 Q 的轨迹方程.
y Q(x , y)

M F1 O F2 x

【例27】 已知椭圆

???? 满足 | F1Q |? 2a .点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2 Q 上,并且满 ??? ? ???? ???? 足 PT ? TF2 ? 0 , | TF2 |? 0 .求点 T 的轨迹 C 的方程.

x2 y 2 右焦点分别是 F1 、F2 ,Q 是椭圆外的动点, ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 a 2 b2

0) , B(7 , 0) , C (2 , ? 12) ,椭圆过 A , B 两点且以 C 为其一个焦点,求 【例28】 已知 A(?7 ,

椭圆另一焦点的轨迹.

【例29】 已知点 A ,B 分别是射线 l1 : y ? x ? x ≥ 0 ? , l2 : y ? ? x ? x ≥ 0? 上的动点, O 为坐标

原点,且 ?OAB 的面积为定值 2 ,求线段 AB 中点 M 的轨迹 C 的方程.

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m, 0 , ) B(m , 0) , 【例30】 已 知 点 A( 4 ( m 是大于 0 的常数, )动点 P 满足 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? A B? A P ?( x ?4 ) m6 m | ,求点 PB | P 的轨迹 C 的方程.

【例31】 在 △ ABC 中, A 点的坐标为 ? 3,0 ? , BC 边长为 2 ,且 BC 在 y 轴上的区间 ? ?3,3?

上滑动. ⑴求 △ ABC 外心的轨迹方程; ⑵设直线 l : y ? 3x ? b 与⑴的轨迹交于 E 、 F 两点,原点到直线 l 的距离为 d , 求
EF d

的最大值.并求出此时 b 的值.

【例32】 点 P 是曲线 x2 ? y 2 ? 4x ? 12 y ? 39 ? 0 上的动点, 直线 x ? y ? 1 ? 0 是线段 PQ 的中

垂线,求点 Q 的轨迹方程.

【例33】 已知点 A( 2 , 2) , B(? 2 , ? 2) ,点 P 满足 PA ? PB ? 2 2 ,求点 P 满足的

轨迹方程.

B 是两个定点,且 | AB |? 2 ,动点 M 到 A 点的距离是 4 ,线段 MB 的垂直 【例34】 设 A ,

平分线 l 交 MA 于点 P ,求动点 P 的轨迹方程.

B, C 满足条件 【例35】 在 △ ABC 中, BC 固定,顶点 A 移动.设 | BC |? 2 ,当三个角 A ,

1 | sin C ? sin B |? sin A 时,求顶点 2

的轨迹方程.

【例36】 已知直线 l1 : 5x ? 2 y ? 3m(3m ? 1) ? 0 和 l2 : 2 x ? 6 y ? 3m(9m ? 20) ? 0 ,

⑴求此两直线的交点 P 的轨迹方程; ⑵当 m 为何值时,直线 l1 、 l2 的交点 P 到直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 的距离最短.

B ,当 k 取不同实 【例37】 直线 y ? kx 与圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 10 ? 0 相交于两个不同点 A ,

数值时,求 AB 中点的轨迹方程.

0) , B (2 , 0) ,动点 P 与 A , B 两点连线的斜率分别为 k1 和 k 2 ,且满 【例38】 已知 A(?2 ,

? 1) . 足 k1k2 ? t (t ? 0 ,

⑴求动点 P 的轨迹 C 的方程;
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? ⑵当 t ? 0 时,C 的两个焦点为 F1 , F2 ,若曲线 C 上存在点 Q 使得 ?FQF 1 2 ? 120 ,

求 t 的取值范围.

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