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4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(理



限时作业 21 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象与性质
一、选择题
1.(2012 上海模拟)将函数 y=f'(x)sin x 的图象向左平移个单位,得到函数 y=1-2sin x 的图象,则 f(x)是( ).
2

A.2cos x

B.cos x

C.2sin x<

br />
D.sin x

2.将函数 f(x)=sin(ω x+φ )的图象向左平移个单位长度,若所得图象与原图象重合,则 ω 的值不可 能等于( A.4 B.6 ). C.8 D.12 ).

3.函数 y=2sin 3x(≤x≤)与函数 y=2 的图象围成一个封闭图形,这个封闭图形的面积是( A. B. C. D.1

4.已知函数 y=2sin(ω x+θ )为偶函数(0<θ <π ),其图象与直线 y=2 的某两个交点的横坐标为 x1,x2, 若|x2-x1|的最小值为 π ,则( A.ω =2,θ = C.ω =,θ = B.ω =,θ = D.ω =2,θ = ).

5.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图象与直线 y=b(0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分 别是 2,4,8,则 f(x)的单调递减区间是( A.[6kπ -3,6kπ ],k∈Z B.[6k-3,6k],k∈Z C.[6k,6k+3],k∈Z D.[6kπ ,6kπ +3],k∈Z ).

6.(2012 陕西西安模拟)设函数 f(x)=Asin(ω x+φ )的图象关于直线 x=π 对称,它的周期是 π ,则下 列结论一定正确的是( A.f(x)的最大值为 A B.f(x)的一个对称中心是点 C.f(x)的图象过点 D.f(x)在上是减函数 ).

二、填空题
7.已知 f(x)=sin(ω x+)(ω >0),f=f 且 f(x)在区间内有最小值,无最大值,则 ω = .

1

8.已知函数 y=sin ω x(ω >0)在一个周期内的图象如图所示,要得到函数 y=sin 的图象,则需将函 数 y=sin ω x 的图象向 平移 个单位长度.

9.水渠横断面为等腰梯形,如图所示,渠道深为 h,梯形面积为 S,为了使渠道的渗水量达到最小,应 使梯形两腰及底边 CD 之和达到最小.此时 α 应该是 .

三、解答题
10.已知函数 f(x)=,g(x)=sin 2x-. (1)函数 f(x)的图象可由函数 g(x)的图象经过怎样的变换得出? (2)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最小值,并求使 h(x)取得最小值的 x 的集合.

11.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0,|φ |<π )的图象如图所示:(1)求 ω 、φ 的值; (2)设 g(x)=f(x)f,求函数 g(x)的单调递增区间.

2

12.如图,某小区准备在一直角围墙 ABC 内的空地上植造一块“绿地△ABD”,其中 AB 长为定值 a,BD 长可根据需要进行调节(BC 足够长).现规划在△ABD 的内接正方形 BEFG 内种花,其余地方种草,且 把种草的面积 S1 与种花的面积 S2 的比值称为“草花比 y”. (1)设∠DAB=θ ,将 y 表示成 θ 的函数关系式. (2)当 BE 为多长时,y 有最小值?最小值是多少?

参考答案
一、选择题 1.C 2.B 3.C 4.A 5.B 6.B 解析:因为函数图象关于直线 x=π 对称,周期为 π ,由三角函数图象及性质可知,点一定 是函数的对称中心,即 f(x)的一个对称中心是点,故选 B. 二、填空题 7. 8.左 9.60° 解析:设 CD=a,由题意知 CB=,AB=a+, ∴S=·h, ∴a=-. 设两腰与底边 CD 之和为 l, 则 l=a+2CB=-+ =+·h =+·h=+·h =+·h

3

≥+·h =+·h, 当且仅当 tan=, 即 tan=时,上式取等号, ∴=30°,即 α =60°. 三、解答题 10.解:(1)f(x)=cos 2x=sin=sin 2. 所以要得到 f(x)的图象,只需要把 g(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得的图象向上平移 个单位长度即可. (2)h(x)=f(x)-g(x)=cos 2x-sin 2x+=cos+. 当 2x+=2kπ +π ,即 x=kπ +π (k∈Z)时,h(x)取得最小值-+=. h(x)取得最小值时,对应的 x 的集合为. 11.解:(1)由图可知 T=4=π , ω ==2,又由 f=1, 得 sin(π +φ )=1,sin φ =-1. ∵|φ |<π ,∴φ =-. (2)由(1)知 f(x)=sin=-cos 2x. 因为 g(x) =-cos 2x =cos 2xsin 2x=sin 4x, 所以 2kπ -≤4x≤2kπ +(k∈Z), 即-≤x≤+(k∈Z). 故函数 g(x)的单调递增区间为(k∈Z). 12.解:(1)因为 BD=atan θ ,所以△ABD 的面积为 a tan θ . 设正方形 BEFG 的边长为 t,则由=,得=, 解得 t=,则 S2=, 所以 S1=a tan θ -S2=a tan θ -,则 y==-1. (2)因为 tan θ ∈(0,+∞), 所以 y=-1=≥1, 当且仅当 tan θ =1 时取等号,此时 BE=t=.所以当 BE 长为时,y 有最小值 1.
2 2 2

4



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