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几个常用函数的导数成稿


1.2.1几个常用函数的导数

一、知识回顾 1.导数的定义: 2.导数的几何意义: 曲线在某点处的切线的斜率;

导数物理意义: 物体在某一时刻的瞬时速度

3.求函数的导数的方法是:(三步法)
步骤:
(1) 求增量 Dy = f ( x0+ Dx ) - f ( x0 ); Dy f ( x0+ Dx ) - f (x0) = ( 2) 算比值 ; Dx Dx Dy ( 3) 求极限 y ? = lim . Dx ? 0 D x

说明:上面的方法中把x0 换x即为求函数 y=f(x)的导函数.

二、认知新知
公式1: C ' = 0 (C为常数 )

证明: y = f ( x) = C
Dy = f ( x + Dx) - f ( x) = C - C = 0 Dy =0 Dx
' '

Dy ? f ( x) = C = lim =0 Dx ?0 Dx

公式2: x =
'

1

证明: y = f ( x) = x
Dy = f ( x + Dx) - f ( x) = x + Dx - x = Dx
Dy =1 Dx
Dy ? f ( x) = x = lim =1 Dx ?0 Dx
' '

1 1 ' 公式4: ( ) = - 2 x x

1 1 Dy f ( x + Dx) - f ( x) x + Dx x 1 ? = = =- 2 Dx Dx Dx x + x?Dx

Dy 1 1 ? y? = lim = lim (- 2 )=- 2 Dx ?0 Dx Dx ?0 x + x?Dx x

公式3:(x ) = 2 x
2 '

Dy f ( x + Dx) - f ( x) ? x + Dx ? - x = = = 2 x + Dx Dx Dx Dx
2 2

Dy ? y? = lim = lim (2 x + Dx) = 2 x Dx ?0 Dx Dx ?0

公式5: ( x ) =
'

1 2 x

Dy f ( x + Dx) - f ( x) x + Dx - x ? = = Dx Dx Dx ( x + Dx - x )( x + Dx + x ) 1 = = Dx( x + Dx + x ) x + Dx + x

Dy 1 1 ? y? = lim = lim ( )= Dx ?0 Dx Dx ?0 x + Dx + x 2 x

小结

几个常函用数的导数
1.C =
'

0

(C为常数 )

2. x = 1
'

3 ( . x ) = 2x
2 '

1 1 ' 4 ( . ) = - 2 x x

5 ( . x) =
'

1 2 x

三、基本初等函数的导数公式
?-1 + ? 2.( x ) = ?x (?? Q ) 3.(sin x )? = cos x ?

1.(C )? = 0 (C是常数)

4.(cos x )? = - sin x
1 7.(log a x )? = (a ? 0, a ? 1) x ln a
1 8.(ln x )? = x
x ? 5.(a ) = a ln a (a ? 0, a ? 1) x x ? 6.(e ) = e x

练习:1.求下列函数的导数:
(1) y = -9 (2) y = 5 x 3 (3) y = log 2 x (4) y = 2 x
2 5

(1) y ' = 0 解:
1 (3) y = x ln 2

3 (2) y ' = x 5

-

(4) y ' = 2x ln 2

四、导数的运算法则
法则1: 两个函数的和(或差)的导数,等于这 两个函数的导数的和(或差),即:

[ f ( x) ? g ( x)]? = f ?( x) ? g ?( x).

法则 2: 两个函数的积的导数,等于第一个
函数的导数乘以第二个函数 数

加上第一个函

乘以第二个函数的导数
[ f ( x) g ( x)]? = f ?( x) g ( x) + f ( x) g ?( x).
特别地:

[Cf ( x)]? = Cf ?( x).(C为常数)

法则3 :两个函数的商的导数,等于分 子的导数与分母的积,减去分母的导数 与分子的积,再除以分母的平方,即:

f ( x) f ?( x) g ( x) - f ( x) g ?( x) [ ]? = 2 g ( x) g ( x)

其中g ( x) ? 0

五、课堂练习

(1)求函数h( x) = x sin x的导数.
解 : (1)h?( x) = ( x sin x)? = x? sin x + x(sin x)? = sin x + x cos x

3 2 (2)求函数g ( x) = x - x - 6 x + 2的导数. 2
3

3 2 解:g ?( x) = ( x - x - 6 x)? 2 3 2 3 2 = ( x )? - ( x )? - (6 x)? = 3 x - 3 x - 6 2
3

(3)用两种方法求 y=(2x +3)(3x-2)的导数
2 2 解: 法一: y? = (2x + 3)?(3x - 2) + (2x + 3)(3x - 2)?

2

= 4 x ( 3 x - 2) + ( 2 x + 3) ? 3
2

= 18 x - 8 x + 9 3 2 法二: y? = (6 x - 4 x + 9 x - 6)?
2

= 18 x - 8 x + 9
2
小结:对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系 式为可以直接应用公式的基本函数的模式.

x ( 4) y = 的导数 sin x

2

( x ) ? sin x - x ? (sin x) 解:y = 2 sin x 2 2 x sin x - x cos x = 2 sin x
2 ' 2 '

'

探 究 ?

1 y= 画出函数 x 的图象。

根据图象,描述它的变化 情况,并求出曲线在点(1, 1)处的切线方程。

求切线方程的步骤:
(1)求出函数在点x0处的变化率 f ?( x0 ) ,得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即

y - f ( x0 ) = f ?( x0 )( x - x0 ).

六、小结
求导数的方法:
(一)根据导数的概念求导数:
f ( x + Dx ) - f ( x ) y ' = f '( x ) = lim Dx ? 0 Dx

(二)根据导数公式及导数的运算法则求导数:

1.[f ( x ) ? g( x )]' = f '( x ) ? g '( x );
2.[f ( x ) ? g( x )]' = f '( x ) g( x ) + f ( x ) g '( x );

3.[c ? f ( x )]' = c ? f '( x );
f ( x) f '( x ) g( x ) - f ( x ) g '( x ) 4.[ ]' = (其中g( x ) ? 0). 2 g( x ) [g( x )]

巩固练习
求下列函数的导数:
(1) y = log2 x
(3) y = 2 x 5 - 3 x 2 - 4

(2) y = 2e x
(4) y = 3cos x - 4sin x

1 (1) y ' = 解: x ln 2

(2) y ' = (2e x )' = 2(e x )' = 2e x
(3) y ' = (2 x5 )'- (3 x 2 )'- 4' = 10 x4 - 6 x
(4) y ' = (3cos x )'- (4sin x )' = -3sin x - 4cos x

一、复合函数的导数
1.复合函数:由几个函数复合而成的函数,叫 复合函数.由函数y=f(u)与u=g(x)复合而成的函 数一般形式是y=f(g(x)),其中u称为中间变量.

讲解范例:

例1试说明下列函数是怎样复合而成的?

(1) y = (2 - x )
(3) y = cos(

2 3

(2) y = sin x

2

?
4

- x)

说明:讨论复合函数的构成时,“内层”、“外 层”函数一般应是基本初等函数,如一次函数、

二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等.

二、复合函数的导数: 复合函数y=f(g(x)) 的导数和 y=f(u),u=g(x)的导 数间的关系为: y'x=y'u u'x 或f'x(g(x))=f' (u) g' (x). 3.复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对 中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导 数. 4.复合函数求导的基本步骤是: 分解——求导——相乘——回代.

例3求下列函数的导数:

(1) y = (2x + 1)
2

5

(2) y = sin x

2

(3) y = sin (2 x + ) 3

?

小结 :
引入中间变量,将复合函数分解成为较简单的函
数,然后再用复合函数的求导法则求导; ⑵复合函数求导的基本步骤是: 分解——求导——相乘——回代.

⑴复合函数的求导,要注意分析复合函数的结构,

3 例2 求曲线y = 3 (3x 2 + 1)在点( 1, 4)处的切线方程。

【解析】

自学课本:P50,例3

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