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四川高考文科数学试题2006年—2013年数列解答题


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四川高考文科数学试题 2006 年—2013 年数列解答题
1. (2006 年四川高考文科 17 题)数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ?1? n ? 1? (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)等差数列 ?bn ? 的各项为正,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,求 Tn

2. (2007 年四川高考文科 22 题)已知函数 f(x)=x2-4,设曲线 y=f(x)在点(xn,f(xn) )处的切线与 x 轴的交 + 点为(xn+1,u) (u,N ) ,其中为正实数. (Ⅰ)用 xx 表示 xn+1; (Ⅱ)若 a1=4,记 an=lg
xn ? 2 ,证明数列{a1}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式; xn ? 2

(Ⅲ)若 x1=4,bn=xn-2,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,证明 Tn<3.

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为理想而奋斗!

3. (2008 年四川高考文科 21 题)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2an ? 2n , (Ⅰ)求 a1 , a4
n (Ⅱ)证明: an ?1 ? 2a 是等比数列;

?

?

(Ⅲ)求 ?an ? 的通项公式

4. (2009 年四川高考文科 22 题)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn , 对任意的正整数 n,都有 an ? 5sn ? 1 成立,记

bn ?

4 ? an (n ? N ? ). 1 ? an

w.w. w. k.s.5 .u.c.o.m

(Ⅰ)求数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 R n ,是否存在正整数 k,使得 Rk ? 4k 成立?若存在,找出一个正整数 k;若不存 在,请说明理由; (Ⅲ)记 cn ? b2n ? b2n?1 (n ? N ? ), 设数列 | cn | 的前 n 项和味 Tn ,求证:对任意正整数 n,都有 Tn ?

3 . 2

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为理想而奋斗!

5. (2010 年四川高考文科 20 题)已知等差数列 {an } 的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;
w_w w. k#s5_ u.c o*m

(Ⅱ)设 bn ? (4 ? an )qn?1 (q ? 0, n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn

6. (2011 年四川高考文科 20 题)已知 {an } 是以 a 为首项,q 为公比的等比数列, Sn 为它的前 n 项和. (Ⅰ)当 S1 、 S 3 、 S4 成等差数列时,求 q 的值; (Ⅱ)当 Sm 、 Sn 、 S l 成等差数列时,求证:对任意自然数 k, am ? k 、 an ? k 、 al ? k 也成等差数列.

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为理想而奋斗!

7. (2012 年四川高考文科 20 题) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 常数 ? ? 0 , 且 ?a1an ? S1 ? Sn 对一切正整数 n 都 成立。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 a1 ? 0 , ? ? 100 ,当 n 为何值时,数列 {lg

1 } 的前 n 项和最大? an

8.(2013 年四川高考文科 16 题) 在等比数列 {an } 中, a2 ? a1 ? 2 ,且 2a2 为 3a1 和 a3 的等差中项,求数列 {an } 的首项、公比及前 n 项和。

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为理想而奋斗!

四川高考文科数学试题 2006 年—2011 年数列解答题答案
1. (2006 年四川高考文科 17 题) 解: (Ⅰ)由 an?1 ? 2Sn ? 1 可得 an ? 2Sn?1 ?1? n ? 2? ,两式相减得

an?1 ? an ? 2an , an?1 ? 3an ? n ? 2? ,又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1
故 ?an ? 是首项为 1 ,公比为 3 得等比数列,∴ an ? 3n?1 (Ⅱ)设 ?bn ? 的公比为 d ,由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d ,又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9 由题意可得 ? 5 ? d ? 1?? 5 ? d ? 9 ? ? ? 5 ? 3 ? ,解得 d1 ? 2, d2 ? 10
2

∵等差数列 ?bn ? 的各项为正,∴ d ? 0 ,∴ d ? 2 ∴ Tn ? 3n ? 2. (2007 年四川高考文科 22 题)

n ? n ? 1? ? 2 ? n 2 ? 2n 2

( Ⅰ ) 由 题 可 得 f '( x) ? 2 x . 所 以 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( xn ,f x( n
2 y ? f ( xn ) ? f '( xn )( x ? xn ) .即 y ? ( xn ? 4) ? 2xn ( x ? xn ) .

处 ) )的 切 线 方 程 是 :

2 2 令 y ? 0 ,得 ?( xn ? 4) ? 2xn ( xn?1 ? xn ) .即 xn ? 4 ? 2xn xn?1 .

显然 xn ? 0 ,∴ xn ?1 ?

xn 2 ? . 2 xn

(Ⅱ)由 xn ?1 ?

x ( x ? 2)2 ( x ? 2)2 xn 2 2 ,同理 xn?1 ? 2 ? n . ? ,知 xn?1 ? 2 ? n ? ? 2 ? n 2 xn 2 xn 2 xn 2 xn



xn ?1 ? 2 x ?2 2 x ?2 x ?2 ?( n ) .从而 lg n?1 ? 2lg n ,即 an?1 ? 2an .所以,数列 {an } 成等比数列.故 xn ?1 ? 2 xn ? 2 xn?1 ? 2 xn ? 2
x ?2 x1 ? 2 ? 2n?1 lg 3 .即 lg n ? 2n?1 lg 3 . x1 ? 2 xn ? 2
n?1

an ? 2n?1 a1 ? 2n?1 lg

n?1 2(32 ? 1) x ?2 从而 n ? 32 ,所以 xn ? 2n?1 xn ? 2 3 ?1

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 xn ?
n?1

2(32 ? 1) 3
2n?1

n?1

?1

,∴ bn ? xn ? 2 ?

4 3
2n?1

?1

?0

b 32 ? 1 1 1 1 1 ∴ n?1 ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ? 21?1 ? ,当 n ? 1 时,显然 T1 ? b1 ? 2 ? 3 . 2 bn 3 3 ?1 3 ? 1 3 3
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为理想而奋斗!

当 n ? 1 时, bn ?

1 1 1 bn ?1 ? ( ) 2 bn ? 2 ? ? ? ( ) n ?1 b1 ,∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn 3 3 3

1 1 ? b1 ? b1 ? ? ? ( ) n ?1 b1 ? 3 3

1 b1[1 ? ( ) n ] 1 3 ? 3 ? 3 ? ( ) n ? 3 .综上, Tn ? 3 (n ? N *) . 1 3 1? 3

3. (2008 年四川高考文科 20 题) (Ⅰ)因为 a1 ? S1 , 2a1 ? S1 ? 2 ,所以 a1 ? 2, S1 ? 2 ,由 2an ? Sn ? 2n 知

2an?1 ? Sn?1 ? 2n?1 ? an?1 ? Sn ? 2n?1 ,得 an ? Sn ? 2n?1 ①
所以 a2 ? S1 ? 22 ? 2 ? 22 ? 6, S2 ? 8 , a3 ? S2 ? 23 ? 8 ? 23 ? 16, S2 ? 24

a4 ? S3 ? 24 ? 40
n ?1 ? Sn ? 2 n ? 2 (Ⅱ)由题设和①式知 an ?1 ? 2an ? S n ? 2

?

? ?

?

n ?1

? 2 n ? 2n

所以 +1 ? 2 是首项为 2,公比为 2 的等比数列。 (Ⅲ) an ? ? an ? 2an?1 ? ? 2 ? an?1 ? 2an?2 ? ? ?? 2n?2 ? a2 ? 2a1 ? ? 2n?1 a1 ? ? n ? 1? ? 2n?1 4. (2009 年四川高考文科 22 题) 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 5a1 ? 1,? a1 ? ? ∴ an?1 ? an ? 5an?1 ,即 an ?1 ? ? ∴

1 1 1 an ,∴数列 {an } 成等比数列,其首项a1 = ? ,公比 q 为? 4 4 4

1 ,又∵ an ? 5Sn ? 1, an?1 ? 5Sn?1 ? 1 4

= ?

1 4
1 11 4 1 ?4



=

4+ ? 1?

(Ⅱ)不存在正整数 k ,使得 Rk ? 4k 成立 下证:对任意的正整数 n ,都有 Rk ? 4n 成立 由(Ⅰ)知 bn ? 4 ?

w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

5 (?4) n ? 1

? b2 k ?1 ? b2 k ? 8 ?

5 2k 1 (? )2 k ?1 ? 1 (?4) ? 1 4 5 20 ? 8? k ? k 16 ? 1 16 ? 4 15 ?16k ? 40 ? 8? k ?8 (16 ? 1)(16k ? 4) ?

5

w.w. w. k.s.5 .u.c.o.m

∴当 n 为偶数时,设 n=2m(m∈N*), 则 Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m-1+b2m)<8m=4n; 当 n 为奇数时,设 n=2m-1(m∈N*),
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为理想而奋斗!

则 Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m-3+b2m-2)+b2m-1 <8(m-1)+4=8m-4=4n. ∴对一切的正整数 n,都有 Rn<4n. ∴不存在正整数 k,使得 Rk≥4k 成立. (3)由(1)知 bn ? 4 ?

5 . (?4) n ? 1

∴cn=b2n-b2n-1=

5 5 ? 2 n ?1 4 ?1 4 ?1
2n

=

25 ? 16n (16n ? 1)(16n ? 4) 25? 16n 25? 16n 25 ? ? n . n 2 n n 2 (16 ) ? 3 ? 16 ? 4 (16 ) 16

=

13 4 ,∴ c1 ? . 3 3 3 当 n=1 时, T1 ? . 2
又 b1=3, b2 ?

1 1 [1 ? ( ) n?1 ] 2 4 1 1 1 4 16 当 n≥2 时, Tn ? ? 25? ( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ? 25? 16 1 3 3 16 16 16 1? 16 1 2 4 69 3 ? ? 25 ? 16 ? ? . 1 3 48 2 1? 16
5. (2010 年四川高考文科 20 题) 解:(1)设{an}的公差为 d ,由已知得

?3a1 ? 3d ? 6 解得 a1=3,d=-1,故 an=3-(n-1)(-1)=4-n …5 分 ? ?8a1 ? 28d ? ?4
(2)由(1)的解答得,bn=n·qn 1,于是 - Sn=1·q0+2·q1+3·q2+……+(n-1)·qn 1+n·qn. 若 q≠1,将上式两边同乘以 q,得 + qSn=1·q1+2·q2+3·q3+……+(n-1)·qn+n·qn 1. 将上面两式相减得到


(q-1)Sn=nqn-(1+q+q2+……+qn 1) =nqn-

w_w w. k#s5 _u.c o*m

qn ? 1 q ?1

于是 Sn=

nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 (q ? 1)2
n( n ? 1) 2

若 q=1,则 Sn=1+2+3+……+n=

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为理想而奋斗!

? nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 (q ? 1) ? ? (q ? 1) 2 所以,Sn= ? ? n(n ? 1) (q ? 1) ? ? 2
6. (2011 年四川高考文科 20 题)

……………………12 分

解: (Ⅰ)由已知, an ? aq n ?1 ,因此 S1 ? a , S3 ? a(1 ? q ? q2 ) , S4 ? a(1 ? q ? q 2 ? q3 ) . 当 S1 、 S 3 、 S4 成等差数列时, S1 ? S4 ? 2S3 ,可得 aq3 ? aq ? aq2 .
1? 5 . 2 (Ⅱ)若 q ? 1 ,则 {an } 的每项 an ? a ,此时 am ? k 、 an ? k 、 al ? k 显然成等差数列.

化简得 q2 ? q ? 1 ? 0 .解得 q ?

若 q ? 1 ,由 Sm 、 Sn 、 S l 成等差数列可得 Sm ? Sl ? 2Sn ,即

a(q m ? 1) a(q l ? 1) 2a(q n ? 1) ? ? . q ?1 q ?1 q ?1

整理得 qm ? ql ? 2qn .因此, am? k ? al ? k ? aqk ?1 (qm ? ql ) ? 2aqn? k ?1 ? 2an? k . 所以, am ? k 、 an ? k 、 al ? k 也成等差数列.
7.(2012 年四川高考文科 20 题)取 n=1,得 ?a 1

? 2s1 ? 2a1 , a1 (?a1 ? 2) ? 0

若 a1=0,则 s1=0, 当 n ? 2时,a n ? sn ? sn?1 ? 0, 所以a n ? 0 若 a1 ? 0,则 a1 ?

2

?

,

2a n ? 当 n ? 2时,

2

?

? s n , 2a n ?1 ?

2

?

? s n ?1 ,

上述两个式子相减得:an=2an-1,所以数列{an}是等比数列 综上,若 a1 = 0,

则a n ? 0
2n

若 a1 ? 0,则a n ?

?
1 , 所以,bn ? 2 ? n lg 2 an

(2)当 a1>0,且 ? ? 100 时,令bn ? lg

所以,{bn}单调递减的等差数列(公差为-lg2)

100 100 ? lg ? lg 1 ? 0 6 64 2 100 100 ? lg1 ? 0 当 n≥7 时,bn≤b7= lg 7 ? lg 128 2
则 b1>b2>b3>>b6= lg 故数列{lg

1 }的前 6 项的和最大 an

8.解:设等比数列

{an } 的公比为 q ,依题意

a1q ? a1 ? 2, 4a1q ? 3a1 ? a1q2 解得 q ? 3 或 q ? 1 a1 (q ?1) ? 2?q ? 1?q ? 3, a1 ? 1 ? an ? 3 ,
n?1

由于

Sn ?

3n ? 1 2

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