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高一数学正弦函数、余弦函数的性质1



高一数学必修4第一章

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
园艺20班 董家金

复习旧知
一、单调性 二、奇偶性

三、周期函数 四、对称性

学习新知

正弦函数的性质:
1 -6π -4π -5π -3π -1 -2π -π
O

r />
π
?
2

3? 2

3π 2π 4π

5π 6π

x

正弦函数的定义域为R. 正弦函数的值域为[-1,1].

最值
1 -6π -4π -5π -3π -1 -2π -π
O

π
?
2

3? 2

3π 2π 4π

5π 6π

x

? 当且仅当 x ? 2k ? ? , k ? Z ymax ? 1 ? ?? , k ? Z ymin ? ?1 当且仅当x ? 2k ? ? ?

奇偶性: 正弦函数是奇函数.

周期性

由: x ? 2k? ) ? sin x, sin(

正弦函数是周期函数.周期为 2k? ?k ? Z , k ? 0? 最小正周期. 2?
.

一般地,函数 y = A sin( wx + j )
(A ? 0, w 0) 的最小正周期是多少? 2? T? ?

单调性
-4π -5π -3π -1 -2π -π
O

-6π

π
?
2

3? 2

3π 2π 4π





? ?? 在每一个闭区间 [ ? 2k ???? ? 2k ????? ? ?? 2 ?

上都是减函数

? ? 正弦函数在每一个闭区间 [? ? 2k ???? ? 2k ??? 2 ?

上都是增函数;

对称性
-6π

-4π
-5π -3π

-2π


O

π
?
2

3? 2

3π 2π 4π





-1

正弦曲线关于点(kπ ,0)对称.
正弦曲线关于直线
x ? k? ?

?
2

?k ? Z ?

对称

新知探究

根据余弦函数的图象,你能说出它们具有 哪些性质?
?? ? 2

?? ? 2
?? ? 2 ?? ? 2

? ? 1 2
O

y

? 2
?? 2

y=cosx
?? 2
?? 2

?? 2

x

??? ? 2

-1

??? 2

探求新知

余弦函数的定义域为R.
余弦函数的值域为[-1,1].
当且仅当

x ? 2k ?, k ? Z

ymax ? 1

当且仅当 x ? 2k ? ? ? , k ? Z ymin ? ?1

奇偶性: 余弦函数是偶函数.
周期性: 弦 函 数 是 周 期 函 数 . 余 最小正周期为 2?

单调性
?? ? 2

?? ? 2
?? ? 2 ?? ? 2

? ? 1 2
O

y

? 2
?? 2

y=cosx
?? 2
?? 2

?? 2

x

??? ? 2

-1

??? 2

余弦函数在每一个闭区间 [?? ? 2k ????2k ???
上都是增函数; 在每一个闭区间 [2k ????? ? 2k ????? ? ?? 上都是减函数.

?? ? 2

?? ? 2
?? ? 2 ?? ? 2

? ? 1 2
O

y

? 2
?? 2

y=cosx
?? 2
?? 2

?? 2

x

??? ? 2

-1

??? 2

余弦曲线关于点

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? Z ? 对称. 2 ? ?

余弦曲线关于直线x=kπ 对称.

函数
sinx
cosx

对称轴 ? x ? ? k? 2

对称中心

(k? , 0)
( ? k? , 0) 2

x ? k?

?

波峰、波谷处为对称轴

与横轴的交点是对称中心

理论迁移

例1. 求下列函数的最大值和最小值, 并写出取最大值、最小值时自变量x的集 合;再求其对称轴与对称中心. (1) y=cosx+1,x∈R;

(2)y=-3sin2x,x∈R.

化 化 例2 比较下列各组数的大小: 入 同 ? ? (1) sin(? )与 sin( ? ); 同 名 18 10 一 23? 17 ? (2) cos(? )与 cos( ? ). 单 5 ? 调 区 ? ? (3) cos 与 sin 间
10 10

理论迁移

例3 求下列函数的单调递增区间.
1 ? (1) y ? sin( x ? ) 2 3 2? (2) y ? 2 sin( ? 3 x) 3

课堂练习
y ? 1.函数 ? 2 sin 2x

的奇偶数性为(

).

A. 奇函数 B. 偶函数 数 D. 非奇非偶函数
? 2.下列函数在
?

C.既奇又偶函

[ ,? ] 2 上是增函数的是(

A. y=sinx y=cos2x

B. y=cosx

C. y=sin2x

) D.

? 3.把下列各等式成立的序号写在后面的

横线上。 ① cos x ? 2 ②
2

2sin x ? 3
cos x ? 0.5
2

③ sin x ? 5sin x ? 6 ? 0 ④

课后作业

1.课本第41页第3、5题



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