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湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高三起点考试理科数学


湖北省部分重点中学 2014-2015 学年度上学期高三起点考试

数 学 试 卷(理 科)
命题人: 武汉中学 方玉林 审题人:武汉四中
本卷满分 150 分

彭朝军

考试时间:8 月 10 日 14:00-16:00

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1 . i 为虚数单位, z ? A. 2-i 2.若二项式

5i , 则 z 的共轭复数为 1 ? 2i
B. 2+i C. -2-i

(

) D. -2+i )

2x +
B.

a x
1 2

8

的展开式中的常数项为 70,则实数 a 可以为(

A.2

C.

2

D.

2 2

3.若某程序框图如图所示,则输出的 n 的值是 ( A. 3 C. 5 B. 4 D. 6

)

开始

p=1,n=1

n=n+1 p=p+2n?1 否

p>20 ? 是 输出 n 结束 (第 3 题图)

4. .直线 l:y 与圆 Ox 相交于 A , B 两点,则 "k ?1 "是“△ABO 的面积为 ? k x ? 1 : ? y? 1
2 2

1 ”的( ) 2 A . 充分而不必要条件 C . 充分必要条件

B . 必要而不充分条件 D . 既不充分又不必要条件
)

5. 已知函数 y = 2 sin x 的定义域为[a,b] ,值域为[-2,1] ,则 b-a 的值不可能是( A.

5? 6

B.π

C.

7? 6

D. 2π

? x? y?2?0 ? 6.若 x , y 满足 ? k x ? y ? 2 ? 0 且 z?y 的最小值为-2,则 k 的值为( ? x ? y?0 ?
A. 1 B.-1 C. 2 D. --2



7.在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A?2,0,0? , B?2,2,0? , C?0,2,0? , D 1 ,1 , 2 ,若 在 xO y , yO z , zOx 坐标平面上的正投影图形的 S 1 , S 2 , S 3 分别表示三棱锥 D ? A B C 面积,则( A C ) B D

?

?

S S S 1? 2? 3 S1 ? S3 且 S3 ? S2

S1 ? S2 且 S3 ? S1 S2 ? S3 且 S1 ? S3
2

8.已知 a ? b ,椭圆 C 1 的方程为 的离心率之积为

x2 y2 x2 y2 ,双曲线 的方程为 C ? ? 1 ? ? 1,C 1 与C 2 a2 b2 a2 b2
) C. x? 2 y? 0 的夹角为 ) D. 2 x?y? 0 π 3 ,若对一切实数 x ,

3 2

,则 C 2 的渐近线方程为( B.

y?0 A . x? 2
9. 已知向量 ≥

2 x?y?0
a =1, a 与 b

a , b 满足
恒成立,则

xa + 2b

a+ b

b 的取值范围是(

A.

1 ,∞ 2

B.

1 ,∞ 2

C.

1, ∞

D.

1, ∞

10.已知 f , x?? ( x )l ?? n ( 1 x ) ?? l n ( 1 x ) (1 ,1 )。现有下列命题: ①f ( ? x ) ? ? f () x;② f ( 号是( A.① ② ③ ) B.② ③ C.① ③ D.① ②

2 x ) ?2f (x );③| f( x ) | ? 2 |x |。其中的所有正确命题的序 x? 1
2

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答案填 在答题卡对应题号 的位置上. ....... (一)必考题(11—14 题)

? 1 ? x ? 2 ? 5 11..不等式 x 的解集为
12.

.

1 已知偶函数 f ? x ? 在 ?0, ?? ? 单调递减, f ?2? ? 0 .若 f ?x? ??0,则 x 的取值集合
是__________.
2 2 x y 1 1 ( a? b? 0 )相交于 A,B,若 M 的直线与椭圆 C : 2 ? 2 ? a b 2

13.过点 M(1 ,1) 作斜率为 ?

是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率为 14. 以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合, B 表示具有如下性质的函数 ? ( x ) 组成的集合: 对于函数 ? ( x ) ,存在一个正数 M ,使得函数 ? ( x ) 的值域包含于区间 [? MM , ]。例如, 当? 时, ? ( x )? s i n x )?A, ? )?B。现有如下命题: ) ? x3, ? 2 1(x 2(x 1(x ①设 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 D , 则 “ f (x b?R, ? a?D, )? A” 的 充 要 条 件 是 “ ? f (a ) ?b”; ② 函数 f (x )? B的充要条件是 f ( x ) 有最大值和最小值; ③ 若函数 f ( x ) , g ( x ) 的定义域相同,且 f (x ,g )? A (x )? B,则 f () x ? g () x ? B ④ 若函数

x f( x ) ? a l n ( x ? 2 ) ?2 ( x ?? 2, a ? R )有最大值,则 f (x )? B。 x? 1

其中的真命题有__________________.(写出所有真命题的序号) (二)选考题(第 15、16 两题中任选一题作答,如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 15. (选修 4-1:几何证明选讲)已知 AB,BC 是圆 O 的两条弦, AO ? BC,AB=

3 ,

BC= 2 2 ,则圆 O 的半径等于________。 16 . ( 选修 4-4 :坐标系与参数方程 )已知曲线 C 1 的参数方程是

?x ? ? ? ?y ? ?

t

?,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立 t为参数 3t ? 3

极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程是 ? ? 2 ,则 C 1 与 C 2 交点的直角坐标为________ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ΔABC 中 , 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c, 已 知

2 a? b c o s ( A ?C ) ? c c o s C
(1)求角 C 的大小, (2)若 c=2,求使 ΔABC 面积最大时,a,b 的值。

18. (本小题满分 12 分)已知各项均为正数的数列 { a n } 满足: S n 为数列 { a n } 的前 n 项和, 且 2, a n , S n 成等差数列. (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2) 若 a n ? ( )
2

1 2

bn

,cn ?

bn an

求数列 { c n } 的前 n 项和.

19. (本小题满分 12 分)如图, ? 两点分别是线 A B C中, ? B ? 9 0 , A B ? 2 , B C ? 1 , D 、 E 段A B 、 A C 的中点,现将 ? A B C沿 DE 折成直二面角 AD ? EB ?。 (1) 求证: 面 ; A D C ? 面 A B E A (2) 求直线 AD 与平面 ABE 所成角的正切值。 A

D

E D C

E C

B

B

20. (本小题满分 12 分)某省进行高考改革,外语实行等级考试,其他学科分值如下表: 科目 分值 语文 180 数学 150 科目 A 120 科目 B 100 科目 C 100 科目 D 100

(1) 有老师建议语文放在首场,数学与科目 A 不相邻,按这位老师的建议安排考试,前三科 总分不小于 400 的概率为多少? (2) 若前三场科目中要安排语文,求前三场考试总分 ξ 的分布列及期望值。
2 2 x y ? ? 1 ( a? b? 0 )的离心率为 2 2 a b

21. (本小题满分 13 分) 已知点 A (0,-2) ,椭圆 E :

3 2

, F 是椭圆的焦点,直线 AF 的斜率为

2 3 , O 为坐标原点. 3

(1) 求 E 的方程; (2) 设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P , Q 两点,当 ?OPQ的面积最大时,求 l 的方程.

22. (本小题满分 14 分)已知函数 (1)若 (2)讨论 f (x) f(x)

f (x) = ln( 1 + 2x ) +

ax

(a<0)

在 x =0 处取极值,求 a 的值, 的单调性,

(3)证明

1+

1 3

1+

1 9

?

1+

1

3

n

<

e

,

( e 为自然对数的底数, n∈N? )



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