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【步步高】2014届高考数学一轮复习 2.2.1 椭圆的标准方程(二)备考练习 苏教版



2.2.1
一、基础过关
2 2

椭圆的标准方程(二)

1. 椭圆 25x +16y =1 的焦点坐标为__________. 2. 椭圆 +y =1 的两个焦点为 F1、 2, F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交, F 过 一个交点为 P, 4 则 PF2=________. 3. 已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0),M 为椭圆上一动点,F1 为椭圆的左焦点,则线段 MF1 的中点

x2

2

x2 y2 a b

P 的轨迹是____________________. x2 y2 x2 y2 4. 曲线 + =1 与 + =1 (0<k<9)的关系说法正确的是________(填序号). 25 9 9-k 25-k
①有相等的焦距,相同的焦点; ②有相等的焦距,不同的焦点; ③有不相等的焦距,不同的焦点. 5. 已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3,0),且 a=2b,则该椭圆的标准方程是 ______________. 2 2 ?0,π ?,方程 x + y =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 α 的取值范围是 6. 设 α ∈? ? 2? sin α cos α ? ________.

x y 4 7. 椭圆 2+ 2=1 (a,b>0)的两个焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆 C 上,且 PF1⊥F1F2,PF1= , a b 3 14 PF2= .求椭圆 C 的方程. 3
8. △ABC 的三边 a,b,c 成等差数列,且 a>b>c,A,C 的坐标分别为(-1,0),(1,0),求顶 点 B 的轨迹方程. 二、能力提升

2

2

x y → → → 9. 设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,若点 P 在椭圆上,且PF1·PF2=0,则|PF1+ 16 7 → PF2|=________. ? 1 ? ? 1?2 2 10.已知 A?- ,0?,B 是圆 F:?x- ? +y =4(F 为圆心)上一动点,线段 AB 的垂直平分线交 2 ? ? ? 2? BF 于 P,则动点 P 的轨迹方程为____________________________________.
11. 曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于常数 a (a>1)的点的轨 迹,给出下列三个结论: ①曲线 C 过坐标原点;②曲线 C 关于坐标原点对称;③若点 P 在曲线 C 上,则△F1PF2 的 1 2 面积不大于 a . 2 其中,所有正确结论的序号是__________. 12.已知点 M 在椭圆 + =1 上,MP′垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为 P′,并且 M 为 36 9
2

2

2

x2

y2

-1-

线段 PP′的中点,求 P 点的轨迹方程.

x2 y2 → 13.P 是椭圆 2+ 2 =1 (a>b>0)上的任意一点,F1,F2 是它的两个焦点,O 为坐标原点,OQ= a b PF1+PF2,求动点 Q 的轨迹方程.
三、探究与拓展 1 14.在面积为 1 的△PMN 中,tan∠PMN= ,tan∠MNP=-2,建立适当的平面直角坐标系,求 2 以 M,N 为焦点,且经过点 P 的椭圆的方程. → →

-2-

答案 3? 7 x y ? ?π π ? 1. ?0,± ? 2. 3. 椭圆 4.② 5. + =1 6. ? , ? 20? 2 16 4 ? ?4 2? 7. 解 因为点 P 在椭圆 C 上, 所以 2a=PF1+PF2=6,a=3. 在 Rt△PF1F2 中,F1F2= PF2-PF1=2 5,故椭圆的半焦距 c= 5,从而 b =a -c =4, 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 9 4 8. 解 由已知得 b=2,又 a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b=4,即 AB+BC=4, ∴点 B 到定点 A、C 的距离之和为定值 4,由椭圆定义知 B 点的轨迹为椭圆的一部分,其 中 a′=2,c′=1. ∴b′ =3.又 a>b>c, ∴顶点 B 的轨迹方程为 + =1 (-2<x<0). 3 4 2 2 9. 6 10.x + y =1 3 4 11.②③ 12.解 设 P 点的坐标为(x,y),M 点的坐标为(x0,y0). ∵点 M 在椭圆 + =1 上, 36 9 ∴ + =1. 36 9
2 2 2 2 2 2 2 2

x

2

y

2

x2 y2

x2

y2

x2 0

y2 0

?x0=x, ? ∵M 是线段 PP′的中点,∴? y ?y0=2. ? ?x0=x, ? 把? y ?y0=2 ?
得 代入 + =1, 36 9
2 2

x2 0

y2 0

+ =1,即 x +y =36, 36 36
2 2

x2

y2

∴P 点的轨迹方程为 x +y =36. → → → 13.解 由OQ=PF1+PF2, → → → → 又PF1+PF2=2PO=-2OP, 设 Q(x,y), 1→ 1 → 则OP=- OQ=- (x,y) 2 2 =?- ,- ?, 2? ? 2

? x

y?

? ? 即 P 点坐标为?- ,- ?, 2? ? 2
x y
又 P 点在椭圆上,

-3-

∴ 即

?-x?2 ?-y?2 ? 2? ? 2? ? ? ? ?
a2 x
2 2


2

b2

=1,

4a

+ 2=1, 4b

y

∴Q 的轨迹方程为

x2 y2 2+ 2=1 (a>b>0). 4a 4b
14.解

如图所示,以 MN 所在的直线为 x 轴,线段 MN 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐标 系.

x2 y2 设椭圆的方程为 2+ 2=1 (a>b>0),M(-c,0),N(c,0),P(x0,y0). a b
1 由 tan∠PMN= , 2 tan∠PNx=tan(π -∠MNP)=2, 得直线 PM,PN 的方程分别是 1 y= (x+c),y=2(x-c). 2

?x =5c, ? 3 联立解得? 4 ? ?y =3c,
0 0

?5 4 ? 即点 P? c, c?. ?3 3 ? 1 又∵S△PMN= MN·|y0| 2 1 4 4 2 = ×2c× c= c , 2 3 3
4 2 3 ∴ c =1,即 c= , 3 2 ∴点 M?-

? ?

3 ? ? 3 ? ,0?,N? ,0?, 2 ? ?2 ?

P?

?5 3 2 3? , ?. 3 ? ? 6 ?5 3 ? + ? 6 ?5 3 ? - ? 6
3?2 ?2 3?2 ? +? ? 2? ? 3 ? 3?2 ?2 3?2 ? +? ? = 15, 2? ? 3 ?
-4-

∴2a=PM+PN = +

即 a=

15 15 3 2 2 2 .∴b =a -c = - =3. 2 4 4

∴所求椭圆的方程为 + =1. 15 3 4

x2

y2

-5-



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