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高中数学联合竞赛模拟试题五



高中数学联合竞赛模拟试题五
第一试

一、选择题(每小题 6 分,共计 36 分) y 1. 数集 M={s|s=x2+bx+c,x∈R}与 N={t|t=y2-by+c,y∈R} 的关系为 A.M∩N B.M=N C.M∪N D. 不 B A 能确定 1 2. 已知函数 y=2x2 在[a,b](a<b)上的值域为[0,2],则点(a,b) 的轨迹

是图中的 A.线段 AB,BC B.线段 AB,OC C.线段 OA,BC D. 线 x C 段 OA,OC O -1 3. 复 数 z1 = 1 1 cos θ ? isin θ cos θ ? isin θ 的关系为 ? , z2 ? ? 1 ? cos θ ? isin θ 1 ? cos θ ? isin θ 1 ? cos θ ? isin θ 1 ? cos θ ? isin θ A.z1>z2 B.z1=z2 C.z1<z2 D.不能比较大小 2 2 4. 设△ABC 的三个内角的对边分别为 a,b,c,如果 a =b(b+c),b =c(c+a),那么下列等式中不成立的是 1 1 1 A.∠A=2∠B=4∠C B. ? ? a b c 1 C.cosC-cosB-cosA= D.sin2A+sin2B+sin2C=2 2 5. 给定四棱锥 S-ABCD, 其中底面四边形不是平行四边形, 用 一个与四条侧棱都相 S 交的平面截这个四棱锥, 截得四边形 A'B'C'D', 记集合 M={四 边形 A'B'C'D'为平行 D' 四边形},则有 A.M 为空集 B.M 为无 A' C' C.M 为单元素集合 D.M 的元素个数不确定 B' 6. 红、黄、蓝变色灯的拉线开关是这样设定的:接上电源就出 现红色,拉第一次开 关后灯变为黄色,拉第二次开关后灯变为蓝色,拉第三次开 关后灯又变为红色, A D 如此循环往复。现在对编号为 1,2,3,……,1997 的 1997 盏变色灯通上电源, 先将编号为 2 的整数倍的灯的开关拉一下,然后将编号为 3 的整数倍的灯的开关 C 拉一下,最后将编号为 5 的整数倍的灯的开关拉一下,三次 拉完后,黄色灯的盏 B A.1530 B.1464 数为 二、填空题(每小题 9 分,共计 54 分) 已知(-1)n23n≡bn(mod9)(0≤bn≤8),则 bn 的取值集合为__________. D 1. 方程 log5(3x+4x)=log4(5x-3x)的解集为___________. A 2. 如图,三棱柱上有一个空间五边形 ABCDE,AB 的中点为 A1,BC 的 中点为 A2, CD 的中 E A4 A 3 点为 A3,DE 的中点为 A4,连结 A1A3,A2A4,M 是 A1A3 的中点,N 是 A2A4 的中点,则 M N MN A1 =___________. AE C 4x ? 2 A 2 B 3. 双曲线 y2-x2=1 与 y= 的交点为___________.
x? 2

4. 对于 Sn={1,2,3,…,n}的每一个非空子集 A,我们将 A 中的每一个元素 k(1≤k≤n)都乘以(-1)k,然后求和,则所有 这些和的总和为___________. 5. 在直角坐标系内,Rt△OAB 三个顶点的坐标为 O(0,0),A(1,0),B(1,2).于斜边 OB 内任取一点 C(x,2x)(0<x<1), 过 C 作 CD⊥OA 于 D,CE⊥AB 于 E,记△OCD 的面积为 S1(x),矩形 CDAE 的面积为 S2(x),△CEB 的面积为 S3(x), 又对同一个 x,记 f(x)为 S1(x)、S2(x)、S3(x)中的最大值,当 C 在线段 OB 内变化时,f(x)的最小值为___________. - + 三、(20 分)函数 y=(x+3)+lg[10 3+10x(x 4)]是否有最小值?若有,请求出来,若无,请作出证明。

四、(20 分)对于曲线 C1:3(x2+2y2)2=2(x2+4y2)上除原点外的每一点 P,求证:存在过 P 点的直线与椭圆 C2:x2+2y2=2 相交 于点 A、B,使△AOP 与△BOP 均为等腰三角形.

五、(20 分)某县位于沙漠地带, 人与自然长期进行顽强的斗争, 到 1997 年底全县的绿化率已经达到 30%(成为绿洲), 从 1998 年开始,每年将出现这样的局面,原有沙漠面积的 16%被栽上树,改造为绿洲,而原有绿洲面积的 4%又被侵蚀,变为 沙漠。 ⑴设全县面积为 1,而 1997 年底绿洲面积为 a1=30%,经过 n 年绿洲面积为 an+1,求证:

4 4 an+1= a n ? 5 25 ⑵至少需要经过多少年的努力,才能使全县的绿化率超过 60%(年数取整,四舍五入)。

第二试
一、 (50 分)在锐角△ABC 中,BD 是 AC 边上的高,E 是 AB 边上一点,满足∠AEC=45° ,BD=2CE,求证:DE∥BC 的 充要条件是 CE=AC+AD.

二、 (50 分)若|lgx|>|lg4x|>|lg2x|,则

2 1 ?x? 4 2

三、 (50 分)有 n(n≥6)名乒乓球选手进行单循环赛(无平局),比赛结果显示:任意 5 人中既有 1 人胜于其余 4 人,又有 1 人负于其余 4 人,问恰胜两场的人数有几个?



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