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13级:2.2(3)独立重复试验与二项分布



选修2-3第二章

2.2(3)
独立重复试验与二项分布

一、复习回顾 1、条件概率 对于两事件A和B, 当P ( A ) > 0 时, 则 P(AB)/P(A) 称 P( AB) / P( A) 为事件A 发生的条件下 事件 B 发生的条件概率,记为 P ( AB) P ? B A? ? P ( A) 说明:

>
1)可加性:若B、C互斥则

P ? B ? C A? ? P ? B A? ? P ? C A?
2

2). 条件概率的计算方法. n( AB ) P ? B A? ? P ( AB ) P ? B A? ? P ( A) n( A) (一般概型) (古典概型) 3)、概率 P(B|A)与P(AB)的区别

(1)在P(B|A)中,事件A,B发生有时 间上的差异,A先B后;在P(AB)中,事 件A,B同时发生。
(2)样本空间不同,在P(B|A)中,事件 A成为样本空间;在P(AB)中,样本 空间仍为?

3

2、相互独立事件 如果事件A是否发生对事件B发生的概率 没有影响(即P(AB)=P(A)P(B)), 则称事件A 与事件B相互独立. (1)若事件A与B相互独立,那么A与B,A 与B,A与B也是相互独立事件

(2)若事件A1,A2……,An相互独立则

P(A1A2……An)=P(A1)· P(A2)……P(An)
4

(3):若设n个独立事件A1,A2,…,An 发生的概率分别为P1,P2,…,Pn则 “A1,A2,…,An”至少有一个发生”的概率为

P(A1?…?An) =1- (1-p1 ) …(1-pn )

“ A1 , A2 , ?, An 至少有一个不发生”的概率为

P ( A1 ? A2 ? ? ? An ) ? 1 ? P ( A1 ) P ( A2 ) ? P ( An )
=1- p1 … pn
5

二、新课教学 考查以下试验:有何共同的特点? (1)、投掷一枚相同的硬币5次,每次 正面向上的概率为0.5 (2)、某同学玩射击气球游戏,每次射击 击破气球的概率为0.7,现有气球10个。 (3)、口袋内装有5个白球、3个黑球, 有放回地抽取5个球。 (4)、生产一种零件,出现次品的概率 是0.04,生产这种零件4件.
6

(1)、投掷一枚相同的硬币5次,每次正面向 上的概率为0.5 (2)、某同学玩射击气球游戏,每次射击击破 气球的概率为0.7,现有气球10个。 (3)、口袋内装有5个白球、3个黑球,放回地 抽取6个球。 (4)、生产一种零件,出现次品的概率是0.04, 生产这种零件4件.

共同特点 ①、包含了n个相同的试验; 5次、10次、6次、4次
7

(1)、投掷一枚相同的硬币5次,每次正面向 上的概率为0.5 (2)、某同学玩射击气球游戏,每次射击击破 气球的概率为0.7,现有气球10个。 (3)、口袋内装有5个白球、3个黑球,放回地 抽取5个球。 (4)、生产一种零件,出现次品的概率是0.04, 生产这种零件4件.

共同特点 ②、每次试验相互独立;

③、每次试验只有两种可能的结果:A或 A
8

——

(1)、投掷一枚相同的硬币5次,每次正面向 上的概率为0.5 (2)、某同学玩射击气球游戏,每次射击击破 气球的概率为0.7,现有气球10个。 (3)、口袋内装有5个白球、3个黑球,放回地 抽取5个球。 (4)、生产一种零件,出现次品的概率是0.04, 生产这种零件4件.

共同特点 ④、每次出现A的概率相同为p , 的概 A 率也相同,为1-p;
9
——

(1)、投掷一枚相同的硬币5次,每次正面向 上的概率为0.5 (2)、某同学玩射击气球游戏,每次射击击破 气球的概率为0.7,现有气球10个。 (3)、口袋内装有5个白球、3个黑球,放回地 抽取5个球。 (4)、生产一种零件,出现次品的概率是0.04, 生产这种零件4件.

共同特点 ⑤、试验”成功”或“失败”可以计数, 即试验结果对应于一个离散型随机变量.
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五大共同特点 ①、包含了n个相同的试验; ②、每次试验相互独立; ③、每次试验只有两种可能的结果:A或 A
——
——

④、每次出现A的概率相同为p , 的概率 A 也相同,为1-p; ⑤、试验”成功”或“失败”可以计数, 即试验结果对应于一个离散型随机变量.
11

一般地:在相同条件下重复做的n次试 验,各次试验的结果相互独立,就称为n次 独立重复试验. 问题? 在 n 次独立重复试验中,如果事件A在 其中1次试验中发生的概率是P,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次 的概率是多少? P(K)=CnkPk(1-P)n-k(k=0,1,2,…,n)
12

1、二项分布 一般地,在n次独立重复试验中,设事件A 发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的 概率为p,那么在n次独立重复试验中,事件A 恰好发生k次的概率为

P?X ? k ? ? C p ?1 ? p?
k n k

n?k

, k ? 0,1,2,?, n

此时称随机变量 X服从二项分布 记作 X~B(n,p),并称p为成功概率 ①、n为独立重复试验进行的总次数 ②、k为n次试验中,事件A发生的次数
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③、P为事件A在1次试验中发生的概率
④、Pn(k)=CnkPkqn-k是(p+q)n展开式中 的第k+1项 三、巩固运用

例1、某射手每次射击击中目标的概 率是0.8,求这名射手在10次射击中 (1)恰有8次击中目标的概率; (2)至少有8次击中目标的概率.

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例1、某射手每次射击击中目标的概 率是0.8,求这名射手在10次射击中 (1)恰有8次击中目标的概率; (2)至少有8次击中目标的概率. 解:设X为击中目标的次数,则X~B(10,0.8) (1)在10次射击中,恰有8次击中目标的概率为

P? X ? 8? ? C ? 0.8 ? ?1 ? 0.8?
8 10 8
10 ?8

10?8

? 0.30

(2)在10次射击中,至少8次击中目标的概率为 P? X ? 8? ? P? X ? 8? ? P? X ? 9? ? P? X ? 10?
? C ? 0.8 ? ?1 ? 0.8?
8 10 8

? C ? 0.8 ? ?1 ? 0.8?
9 10 9

10 ?9

15

? C ? 0.8 ? ?1 ? 0.8?
10 10 10

10 ?10

? 0.68

求解独立重复试验的步骤
(1)、判断是否为独立重复试验;

(2)、找出n、k、p;
(3)、运用公式求概率。 例2、实力相等的甲、乙两队参加乒乓 球团体比 赛,规定5局3胜制(即5局内谁 先赢3局就算胜出并停止比赛). ⑴试求甲打完5局才能取胜的概率. ⑵按比赛规则甲获胜的概率.
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例2、实力相等的甲、乙两队参加乒乓 球团体比 赛,规定5局3胜制(即5局内谁 先赢3局就算胜出并停止比赛). ⑴试求甲打完5局才能取胜的概率. ⑵按比赛规则甲获胜的概率.
解:甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的
1 1 概率为 ,乙获胜的概率为 . 2 2

⑴甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试 验,且甲第 5 局比赛取胜,前 4 局恰好 2 胜 2 负 ∴甲打完 5 局才能取胜的概率为.
王新敞
奎屯 新疆

17

1 2 1 2 1 3 P1 ? C ? ( ) ? ( ) ? ? . 2 2 2 16
2 4

⑵、按比赛规则甲获胜的概率.

(2) 记事件 A ? “甲打完 3 局才能取胜” , 记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜” , 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜” . 事件 D =“按比赛规则甲获胜” ,则 D ? A ? B ? C , 又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥, 故 P( D) ? P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C )

1 3 3 1 1 ? ? ? ? . 答: 按比赛规则甲获胜的概率为 . 8 16 16 2 2
18

练习:P58 1~3 P59 A1~3

作业
1)教P59 A 4 B 1~3 2)《红对勾》P93~P96



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