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2015年高考预测金卷 理科数学(北京卷)



2015 年高考预测金卷(北京卷)

理科数学
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的

1.复数
A.第一象限

,则

对应的点所在的象限为( B.第二象限

) D.第四象限 )



C.第三象限

2.设全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={0,1,2},集合 b={2,3},则(?UA)∪B=(
A. ? B. {1,2,3,4} C. {2,3,4} D. {0,11,2,3,4}

3.已知全集
A.

集合 B. C.

,则

( D.

)

4.指数函数

与二次函数

在同一坐标系中的图象可能的是

5.曲线
积为(

( 为自然对数的底数)在点 )

处的切线 与

轴、

轴所围成的三角形的面

A.

B.

C. ,若 C.

D. ,则 D. 的值为( )

6.设随机变量 服从正态分布
A. B.

7.已知 x,y 满足约束条件

且目标函数

的最大值为-6,



的取值范罔是

A.

B.

C.

D. 为等腰直角三角形, , 为斜边 的高, 点 在射线 上, 则

8.如图,
的最小值为

A.

B.

C. 上的一个动点, 则点 到直线 ) B. C.

D. 和 的距离之

9.已知 是抛物线
和的最小值是( A.

D.

10.已知函数 f(x)=
判断正确的是( )

,则下列关于函数 y=f[f(kx)+1]+1(k≠0)的零点个数的

A. 当 k>0 时,有 3 个零点;当 k<0 时,有 4 个零点 B. 当 k>0 时,有 4 个零点;当 k<0 时,有 3 个零点 C. 无论 k 为何值,均有 3 个零点 D. 无论 k 为何值,均有 4 个零点

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置.

11.正项等比数列 12.如图,在


中, 中,

, 是

,则数列 边上一点,

的前 项和等于

. ,则 的长

13.已知实数 x,y 满足 x>y>0,且 x+y 2,则

的最小值为





14.一个几何体的三视图如图所示,该几何体体积为____________.

15.设函数

的定义域分别为 ,则称函数 为 在

,且

,若对于任意

,都有 ,

上的一个延拓函数.设

为 ①当 ③ ⑤

在 R 上的一个延拓函数,且 g(x)是奇函数.给出以下命题: 时, 的解集为 ,都有 ; . ②函数 g(x)有 5 个零点; ④函数 的极大值为 1,极小值为-1;

其中正确的命题是________. (填上所有正确的命题序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答 题卡上的指定区域内.

16.(本小题满分 12 分)设
并且

是锐角三角形,三个内角

, , 所对的边分别记为 , , ,

. (Ⅰ)求角 (Ⅱ)若 的值; , ,求 , (其中 ) .

17.(本小题满分 12 分)
如图,已知四棱锥 (1)求证: (II)求二面角 ; 的余弦值. 的底面为菱形, .

18.(本题满分 12 分) 甲、乙、丙三人参加某次招聘会,假设甲能被聘用的概率是

,甲、丙两人

同时不能被聘用的概率是 立.

,乙、 丙两人同时能被聘用的概率为

,且三人各自能否被聘用相互独

(1) 求乙、丙两人各自被聘用的概率; (2) 设 ξ 为甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值,求 ξ 的分布列 与均值(数学期望)

19.(本小题满分 10 分)
已知 (1)求数列 是数列 的前 n 项和,且

的通项公式;

(2)设

,记

是数列

的前 n 项和,证明:



20.(本小题满分12分)已知椭圆

的离心率为

,椭圆的短轴端点与

双曲线 (1)求椭圆 (2)求

的焦点重合,过点 的方程; 的取值范围。 , . 在 时,若函数 .

且不垂直于 轴的直线 与椭圆

相交于

两点。

21.已知函数
(1)设 ① 若函数 ② 当

处的切线过点 在

,求

的值; 的取值范围;

上没有零点,求

(2)设函数

,且

,求证:当

时,

.

数学理 word 版参考答案
一.DCBCB BCBCC 二.11.1022; 12.

5 6 2

13.

3+2 2 4

14.

4 3 3

15.①③⑤

16.(Ⅰ)



, (Ⅱ) 又 , ,

. ,

………………………… , ,

6分

, 12 分

.…………………………

17. 18.【知识点】离散型随机变量的期望与方差;互斥事件的概率加法公式;离散型随机变量及其分布
列.K5 K6

(1)

(2) 见解析

解析:(1)设乙、丙两人各自被聘用的概率分别为 P1、P2,

则甲、丙两人同时不能被聘用的概率是(1-)·(1-P2)= ,2 分 解得 P2=,3 分

乙、丙两人同时能被聘用的概率为 P1·P2= ∴P1=,5 分

因此乙、丙两人各自被聘用的概率分别为、.6 分 (2)ξ 的可能取值有 1、3,7 分

则 P(ξ +×(1-)×+××(1-)= ,8 分

P(ξ =3)= (1-)×(1-)×(1-)+××= ,9 分 因此随机变量 ξ 的分布列如表所示 ξ P 1 3

所以随机变量 ξ 的均值(即数学期望)E(ξ )=1× +3× = .12 分 【思路点拨】 (1)记甲,乙,丙各自能被聘用的事件分别为 A1,A2,A3,由已知 A1,A2,A3 相互独立, 由此能求出乙, 丙各自能被聘用的概率. (2)ξ 的可能取值为 1,3.分别求出 P(ξ =1) 和 P(ξ =3) , 由此能求出 ξ 的分布列和数学期望.

19. 20.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.H5 H8

(1)

; (2)

解析: (1)由题意知



。又双曲线的焦点坐标为





椭圆的方程为 (2)若直线 的倾斜角为 当直线 的倾斜角不为

。 ,则 , ,

时,直线 可设为

,由









,综上所述:范围为



【思路点拨】 (1)由双曲线

=1 得焦点

,得 b=

.又

,a =b +c ,联

2

2

2

立解得即可; (2)由题意可知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣4) ,与椭圆方程联立 得到, (4k +3)x ﹣32k x+64k ﹣12=0,由△>0 得 数的关系可得 =x1x2+y1y2,进而得到取值范围. , 处的切线斜率 ……………2 分 ,所以函数 代入,得 . ……………4 分 在 处的切线方程 ,
2 2 2 2

.设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,利用根与系

21.(1)由题意,得
所以函数 , 又 将点 在

(2)方法一:当

,可得

,因为

,所以



①当

时,

,函数



上单调递增,而



所以只需

,解得

,从而

.

……………6 分

②当 当 所以函数

时,由 时, 在 ,

,解得 单调递减;当

, 时, , , 单调递增.

上有最小值为

令 综上所述,

,解得

,所以

.

. ……………10 分 方法二:当 ①当 ,

时,显然不成立;

②当



时,

, 令

, 则

, 当

时,



函数

单调递减,

时,

, 函数

单调递减, 当

时,

, 函数

单调递增,又



,由题意知

.

(3)由题意,



而 令

等价于



, ……………12 分 则 令 因 ,且 ,则 , 所以 , ……………14 分 所以导数 从而函数 在 在 . 上单调递增,于是 上单调递增,即 ……………16 分 , , , ,

-END-

-END-

-END-



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